Параллелепипед
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Урок математики в 10 классе по теме: «Параллелепипед».

Цель: познакомить с новым многогранником – параллелепипедом, ввести понятие параллелепипеда, рассмотреть его элементы и свойства.

Задачи:

- обучающие: сформировать понятия параллелепипеда и его элементов,  сформировать умение изображать параллелепипед и его элементы на плоскости, рассмотреть свойства граней и диагоналей параллелепипеда;

- развивающие: сформировать умения сравнивать, классифицировать, проводить анализ, выделять свойства в изучаемом объекте;

- воспитательные: воспитывать наблюдательность, любознательность, трудолюбие.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы работы учащихся: индивидуальная, коллективная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: мультимедийный видеопроектор, компьютер, модели геометрических тел.

План урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация знаний.

ІІІ. Постановка целей урока.

ІV. Объяснение нового материала.

V. Исследовательская работа по группам.

      VІ. Применение свойств параллелепипеда при  решении задач.

      VІІ. Итог урока. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент

Приветствие учащихся,  проверка  готовности учащихся к уроку.

2. Актуализация знаний

Учитель: На прошлом уроке мы познакомились с одним из многогранников – тетраэдром. Вспомним, по какому плану мы работали.

Учащиеся сообщают:

1. Определение тетраэдра и его обозначение.
2.         Изображение тетраэдра на плоскости.
3. Элементы (грани – боковые и основание, ребра, вершины).
4. Сечения тетраэдра.

Проверка у доски домашнего задания:

 1) Один ученик записывает на доске решение домашней задачи № 63 а.

Дано:  (рис. 1).

Найти: АА2, АВ2.

Решение:

1. A1B1 || А2В2 (по свойству 1° параллельных плоскостей).

2.

3. Так как A1A2 = 2 A1A и А1А2 = 12 см, то A1A = 12 : 2 = 6 см.

4. АА2 = 12 + 6 = 18 см.

5.  (Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.)

2) Двое решают по карточкам индивидуального опроса.

1 ученик. Отрезки АВ, АС и AD не лежат в одной плоскости. Точки К, М и N - соответственно их середины.

а) Докажите, что плоскости (BCD) и (KMN) параллельны.

б) Найдите площадь ΔВСD, если SKMN = 36 м2. (Ответ: SBCD = 144 м2.)

2 ученик. Три прямые, проходящие через точку М и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В и С, а вторую - в точках А1, В1 и С1.

а) Докажите, что ABC ~ ΔA1B1C1.

б) Найти  если МС = CC1. (Ответ: 1/2.)

3) Остальные обучающиеся отвечают на вопросы (устно).

1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым: а) имеющим общую точку; б) не имеющим общих точек?

2) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

3) Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями, не равны?

4) Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями, не равны.

5) Прямая а пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В. Прямая b, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.

6) Плоскости α  и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

3. Постановка целей урока

Сегодня мы рассмотрим еще один  многогранник – параллелепипед.

Тема урока: Параллелепипед. (Слайд 1)

Исходя из темы, попробуйте сформулировать цели нашего урока.

4. Изучение нового материала

      Рассмотрим данные предметы, эти предметы объединяет одинаковая форма
     (Слайд 2,3)

      Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1параллельны.  (Модель параллелепипеда). (Слайд 4)

       Какими фигурами являются четырехугольники ABB1 A1, … и почему? По аналогии с тетраэдром назовем элементы  параллелепипеда. Вводим названия элементов параллелепипеда. (Слайд 5,6,7)

Учащиеся:

1. Грани параллелепипеда – параллелограммы, из которых составлен параллелепипед.     Их шесть: ABB1 A1 и т.д.

2. Ребра.
3. Вершины.
4. Смежные грани.
5. Противоположные грани.
6. Противоположные вершины.
7. Диагональ параллелепипеда.

Вопрос обучающимся: попробуйте сформулировать определение параллелепипеда (выслушиваются ответы детей).

Учитель: Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

На доске и в тетрадях изображается параллелепипед, обозначается ABCDA1B1C1D1.. (Слайд 8,9,10,11)

Подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Учитель: Рассмотрим частные случаи параллелепипеда. (Слайд 12)

Демонстрируются виды параллелепипеда на моделях, строится схема классификации.

Учащиеся дают определения прямого и прямоугольного параллелепипеда.

Учитель: Рассмотрим свойства параллелепипеда. (Слайд 13)

Назовем планиметрическую фигуру,  пространственным аналогом которой является параллелепипед. Визуальное сходство фигур поможет нам сформулировать свойства параллелепипеда.

Учащиеся: Параллелограмм.

Учитель: Какие элементы параллелепипеда «аналогичны» сторонам параллелограмма?

Учитель: Каковы свойства сторон параллелограмма?

Учащиеся: Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.

Учитель: Изучите модель параллелепипеда и определите, какими свойствами обладают его грани?

Учащиеся: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Учитель: Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?

Учитель: Сформулируйте аналогичные утверждения для параллелепипеда.

Учащиеся: Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

(Слайд 15)

Учитель: Мы должны доказать или опровергнуть эти утверждения.

5.  Исследовательская работа по группам

Класс разбит на 3 группы.

1 группа выясняет, верно или нет  утверждение о том, что противолежащие грани параллелепипеда параллельны.

Для группы предложена карточка с вопросами:

О каких гранях идёт речь?

Сколько пар граней достаточно рассмотреть для  доказательства их параллельности?

Если взять грань AA1B1B, тогда какая будет ей противоположной?

Что используют для доказательства параллельности плоскостей?

Можно ли выделить такие пары прямых?

Из какой фигуры можно сделать вывод, что АА1|| DD1?

Почему AB||CD?

Что ещё нужно знать о выбранных прямых одной плоскости?

Выполняется это условие?

Какой вывод сделаем? (Слайд 13)

2 группа выясняет, верно или нет  утверждение о том, что противолежащие грани параллелепипеда равны.

Для этой группы предложена карточка с вопросами:

О каких гранях идёт речь?

Сколько пар граней достаточно рассмотреть для  доказательства их параллельности?

Что представляют собой грани параллелепипеда?

В каком случае два параллелограмма равны?

Если взять грань AA1D1D, тогда какая будет ей противоположной?

Сколько пар равных элементов достаточно найти?

Можно ли взять стороны AD и AA1 и ∠A1AD параллелограмма АА1 D1D? Почему?

Тогда назовите соответствующие элементы второго параллелограмма

Будет ли выполнятся равенство соответствующих элементов?

Какой сделаем вывод? (Слайд 13)

3 группа –  диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для этой группы предложена карточка с вопросами:

Сколько пар диагоналей достаточно рассмотреть для  доказательства их свойства?

Какой четырехугольник мы  можем рассмотреть и почему?

Чем является четырехугольник A1B1CD?

Почему A1B1׀׀CD и A1B1=CD?

Какой сделаем вывод? (Слайд 14,15)

Результаты исследования записываются в тетрадь.

      VІ.  Применение свойств параллелепипеда при  решении задач.

1. Решим задачу 1 (слайд 16)
2. Решите задачу 2

Диагонали А1C = 10 см и В1D = 8см   параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 образуют угол  60° . Найти ребро АВ.

3. № 112 

Установить зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями. Аналогично  установить зависимость между ребрами параллелепипеда  и его диагоналями.

VІІ.   Итог урока.

Чему научились на уроке?

Нужны ли вам эти знания для дальнейшей жизни? Где в жизни вы сможете применить полученные знания?

Домашнее задание. (Слайд 17)

1. Вопрос 15, №76,78.
2. Творческое задание – создать модель тетраэдра и параллелепипеда (картон и спицы). На одной из модели сделать сечение.