Планиметрия с нестандартными задачами
элективный курс по геометрии (8, 9, 10, 11 класс)

Программа элективного курса

"Планиметрия с нестандартными задачами"

Захарова Светлана Николаевна

Учитель математики

                                                       Пояснительная записка.

        По результатам эксперимента ЕГЭ, уровень решения заданий по геометрии оставляет желать лучшего.  Почему же детям трудно дается данная область математики?

        Геометрическое мышление требует максимум абстракции понятий конкретных прообразов.   Знание азов геометрического моделирования предметов на плоскости, развитого образного мышления          и глубокого логичного рассуждения, не формируется у учащихся в полной мере.

         Главный шаг на пути решению задач состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно, или может возникнуть вдруг, в один миг, после безуспешных попыток и продолжительных сомнений. Назовем ее «блестящей идеей». Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания. Не может быть хороших идей, если в памяти не хранится достаточно необходимых фактов.

     Занятие геометрией способствует развитию интуиции, воображения, что предшествует способности видеть в уме, которое лежит в основе любого творческого процесса, успешности в жизни. Геометрия располагает огромными возможностями для эмоционального, эстетического и духовного развития человека.

 Цель:  Сформировать навыки исследовательской и логической деятельности, основы для гармоничного развития личности, в определении профессиональных ориентиров.

 Задачи: Подготовить ученика к сдаче ЕГЭ, быть конкурентоспособным и подготовленным к продолжению образования в вузах;  Воспитать устойчивый, целеустремленный характер, научить довести начатое дело до конца;   Самостоятельность при решении задач, в результате которой учащиеся  добывают геометрическое знание и развивают специальные качества и умения.

Данный элективный курс содержит  необходимые сведения  для успешного решения конкурсных и олимпиадных задач по планиметрии. В программу включены  важные темы геометрии,  тренировка  по этим задачам, акцентируя внимание на интересных, занимательных темах  заинтересуют учащихся,  показывая геометрию во всей ее многогранности.

                                                    Содержание        

         Тема 1.  Длины медианы, высота, биссектрисы треугольника. Четыре замечательные точки треугольника.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Тема 2. Еще раз о прямоугольном треугольнике. Свойства, признаки, пропорциональные отрезки. Соотношения между сторонами и углами.  

Тема 3. Задачи на подобие, составление пропорции. Отношение периметров и площадей подобных фигур.  

Тема 4.  Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей для треугольника и правильных многоугольников. Площади вписанных и описанных окружностей, частей окружностей.

Тема 5. Соотношения между отрезками, возникающими при пересечении прямых с окружностью.

Окружность и две пересекающие ее прямые. Свойство хорд в окружности. Свойство секущих к окружности.

Тема 6. Задачи на построение. Метод подобия. Построение четвертого пропорционального к трем данным отрезкам. Построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника.

Тема 7. Вписанные и описанные четырехугольники. Признаки, формулы площади и радиусов. Теорема Птолемея.

Тема 8.  Задачи на движение, поворот и симметрия.  Композиции поворота и гомотетии.

Тема 9.  Метод проектирования. Теорема Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.

Тема 10. Наибольшие и наименьшие значения.

       Программа курса  рассчитана  на  35 часов с расчетом 1 час в неделю. В системе упражнений по каждой теме предлагаем демонстрационные задачи.

                                       Учебно-тематический план.

  Тема 1.

1. В равнобедренном треугольнике АВС с равными сторонами АВ и ВС биссектрисы АL и ВН пересекаются в точке F. Известно, что AF:FL=5:4 и АС=15. Найти периметр треугольника АВС.
2.  Прямоугольник, стороны которого равны 5 и 2, и треугольник со сторонами 5, 5, 6 имеют одну общую сторону и лежат относительно нее в одной полуплоскости. Найти меньшую диагональ трапеции, являющейся их общей частью.
3. В треугольнике АВС биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает противоположную сторону в точке К. Вычислите длину стороны ВС, если длины стороны АВ и отрезков КС и АК соответственно равны 16, 15 и 12.
4. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки P и Q так, что АР<АQ. Прямые ВР и ВQ делят медиану АМ на три равные части. Известно, что длина РQ=3. Найдите АС.

Тема 2.

1. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом равным 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
2. Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
4. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:2. Найти отношение площади треугольника к площади описанного около него круга.
5. В четырехугольник АВСД можно вписать окружность. Сторона АД равна 9, а сторона СД равна 2. Угол при вершине В равен , а угол при вершине Д равен arccos. Найти стороны АВ и ВС.
6. Биссектриса треугольника АВС пересекает окружность, описанную около нее, в точке К. Докажите, что проекция отрезка АК на АВ равна полусумме АВ и АС.

Тема 3.

1. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что  АК:ВК=1:2, а на стороне ВС взята точка М так, что СМ:ВМ=2:1. Пусть Н – точка пересечения прямых АМ и СК. Найти площадь треугольника АВС, если дано, что площадь треугольника ВНС равна 1.
2.  На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках Д и Е соответственно. Прямая ДЕ делит площадь треугольника АВС пополам и образует с прямой АВ угол 15º. Найти меры углов треугольника АВС.
3.  Во сколько раз надо уменьшить каждую сторону ромба, чтобы получить ромб, подобный данному, с периметром, в п раз меьшим периметра данного ромба.

Тема 4.

1. АВСД – квадрат со стороной а. Вычислите площадь звезды АКВLСМДN, если все стороны равны, а точки К, L, М, N удалены от сторон АВ, ВС, СД, АД соответственно на расстояние в.
2. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катеатх прямоугольного треугольника, как на диаметрах, равна площади полукруга построенного на гипотенузе.
3. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.
4. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75º описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равен 16.
5. В окружность радиуса вписан правильный треугольник АВС. Хорда ВД пересекает сторону АС в точке Е, АЕ:ЕС = 3:5. Найдите длину ВЕ.

Тема 5.

1. Диагонали четырехугольника АВСД, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что АВС= 72º, ВСД= 102º, АМД = 110º. Найдите АСД.
2. Две окружности касаются друг друга в точке А. Произвольная прямая, проходящая через А, вторично пересекает одну окружность в точке В, а другую – в точке С. Докажите, что центральные углы этих окружностей, соответствующие хордам АВ и АС, равны.

АВС= 72º,

3. Хорда АВ окружности с центром О разделена точками С и Д на три равных отрезка, и точки А, В, С и Д соединены с точкой О. Докажите, что лучи ОС и ОД не разделят угол АОВ на равные углы.

4. В каком отношении надо хордой разделить данную окружность, чтобы треугольник, образованный проведением касательных через концы хорды, был бы равносторонним?   ОТВ: 1:2.

5. Правильный шестиугольник АВСДЕF вписан в окружность радиуса 2. Из точки К, лежащей на продолжении стороны АF так, что КА<КF и КА =  - 1, проведена секущая КН, пересекающая окружность в точках  N и H. Известно, что внешняя часть секущей КN равна 2, а угол N FH – тупой. Найдите угол НКF.

Тема 6.

     1. Постройте  треугольник по углу, отношению сторон, этот угол заключающих, и радиусу вписанной окружности.

2. Постройте треугольник по двум углам и сумме радиусов вписанной и описанной окружностей.
3. Постройте прямоугольный треугольник  по катету и проекции другого катета на гипотенузу.
4. Дан отрезок длины 1. Постройте отрезок длины

Данным радиусом построить три вершины внешне касающиеся окружности. АВС= 72º,

5. Построить треугольник по трем его иедианам.

Тема 7.

1. В треугольнике АВС биссектрисы АД и СЕ пересекаются в точке О; АВС =    

60º. Докажите, что ОД=ОЕ.

2. Десять точек А делят окружность единичного радиуса на 10 равных дуг. Найдите разность:  
3. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.
4. В четырехугольник АВСД вписана окружность радиуса 4. Найти периметр и площадь этого четырехугольника, ВС=АД=10.
5. Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность, то произведение расстояний от точки, лежащей на этой окружности, до двух противоположных сторон равно произведению расстояния от этой точки до двух других сторон, а также произведению расстояний от той же точки до диагоналей.

Тема 8.

1. Диагональ ВД вписанного четырехугольника АВСД является биссектрисой угла АВС. Найдите площадь этого четырехугольника, если ВД = 6 см, АВС = 60º.   Ответ: 9 см².
2. На медиане ВМ треугольника АВС (ВМ>АС\2) отмечена точка К так, что ВК = АС\2. Известно, что  ВМА = 60º. Доказать, что АВ=КС.  
3. Укажите, где будет находиться бильярдный шар через 5 секунд, если его положение через секунду указано на рисунке пунктиром и известно, что за эту секунду шар не касался бортов. Радиус шара – полклеточки. Скорость шара постоянна.

4. На сторонах треугольника АВС во внешнюю (внутреннюю) сторону построены равносторонние треугольники. Доказать, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.
5. Дан треугольник АВС, угол С – прямой. СД – высота. Доказать, что медианы АМ и СN в треугольниках АДС и ДВС перпендикулярны.
6. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ; построены высота СД и перпендикуляр ДЕ к стороне ВС. Точка М – середина отрезка ДЕ. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

Тема 9.  Проектирование. Теорема Чевы и Менелая.

1. Дан треугольник АВС. АМ:МВ = 4:3. ВN – медиана. СК = АС. Найти ВР:РN.
2. Докажите свойство медианы треугольника: медианы пересекаются в одной точке делятся этой точкой 1:2.
3. Дан параллелограмм АВСД. Точка Н лежит на ДС так, что АР:РК = 3:1, ВР:РН = 2:3. Найти ДН:НС.
4. На сторонах АВ И АС треугольника АВС взяты точки М и N, такие, что  Отрезки В N и СМ пересекаются в точке К. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника ВСК?  

    ОТВ: 2/7.

Тема 10. Наибольшие и наименьшие значения.

1. Изх всех четырехугольников, вписанных в окружность, найти четырехугольник наибольшей площади.
2. Извсех прямоугольников данного периметра 2р найти прямоугольник наибольшей площади.
3. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади.
4. Найти наибольшее значение функции у= а sin x + b cos x, 0< х < 360.

Литература для учителя:

1. Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11. Задачник - М.: Дрофа, 1997.
2. Шарыгин И.Ф. Геометрия-8.(Теория и задачи). - М.: РОСТ, МИРОС, 1996.
3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. –М.: Просвещение, 1996.
4. Бунимович Е.А. и др. Матемаика. (Геометрия. Анализ данных Доли.). - М.: Просвещение, 1994.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. –М.: Просвещение, 1990.
6. Гусев В.А. Сборник задач по геометрии. 5-9 кл.: Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений. – М.: ООО « Издательство «Мир и образование», 2005.
7. Богушевский К.С. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. - М.: Просвещение, 1964.
8. Савин А.П. Математические миниатюры. –М.: «Детская литература», 1991.
9. Мазаник А.А. Реши сам. – Мн.: Нар. асвета, 1980.
10. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. –М.: Просвещение, 2002.
11. Буханов Г.Н. Сборник самостоятельных и контрольных работ по геометрии. –М.: Просвещение, 1965.
12.  Сканави М.И. Сборник задач по математике. Геометрия. -М.: ООО «Издательский дом «Оникс 21 век»:, 2003.
13. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2004. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2004.
14.  Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2005. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2005.
15. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., и др. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. – Ростов н\Д: «Феникс», 2003.
16. Клово А.Г., Калашников В.Ю., и др.  Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2004.
17. Попов С.В. Письменные экзамены по математике в центральные вузы России. Пособие. – Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2003.
18. Баишева М.И., Кутукова Л.Т. Тренировочные тесты. – Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2005.
19. Афанасьев А.Н., Малышев В.В., Савин А.С. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. –Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2003.
20. Попов С.В. ЕГЭ по математике. Книга для учащихся ОУ. - Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2002.
21.  Голиков А.И. Тесты по математике для подготовки к ЕГЭ. – Якутск: Центр тестирования ЯГУ, 2002.
22. Попов С.В. ЕГЭ по математике. – с. Чапаево Хангаласского улуса РС(Я): изд-во Ф-М Форума «Ленский Край», 2004.
23. Пойа Д. Как решать задачу. Журнал «Квантор»-1991». – М.: Учпедгиз, 1959.
24. Экзаменационные билеты по математике. Вопросы и ответы. Рекомендации экзаменаторов. – М.: БУКМЭН, 1996.
25. Попов С.В. ЕГЭ по математике. Книга для учащихся ОУ. - Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2001.
26. Тесты. Геометрия 11 кл. Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.

Литература для ученика:

1. Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11. Задачник - М.: Дрофа, 1997.
2. Шарыгин И.Ф. Геометрия-8.(Теория и задачи). - М.: РОСТ, МИРОС, 1996.
3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. –М.: Просвещение, 1996.
4. Бунимович Е.А. и др. Матемаика. (Геометрия. Анализ данных Доли.). - М.: Просвещение, 1994.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. –М.: Просвещение, 1990.
6. Гусев В.А. Сборник задач по геометрии. 5-9 кл.: Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений. – М.: ООО « Издательство «Мир и образование», 2005.
7. Мазаник А.А. Реши сам. – Мн.: Нар. асвета, 1980.
8. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. –М.: Просвещение, 2002.
9. Сканави М.И. Сборник задач по математике. Геометрия. -М.: ООО «Издательский дом «Оникс 21 век»:, 2003.
10. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2004. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2004.
11.  Денищева Л.О., Глазков Ю.А., и т.д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ-2005. Математика. –М.: Интеллект-Центр, 2005.
12. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., и др. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. – Ростов н\Д: «Феникс», 2003.
13. Клово А.Г., Калашников В.Ю., и др.  Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2004.
14. Попов С.В. Письменные экзамены по математике в центральные вузы России. Пособие. – Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2003.
15. Баишева М.И., Кутукова Л.Т. Тренировочные тесты. – Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2005.
16. Афанасьев А.Н., Малышев В.В., Савин А.С. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. –Якутск: ЯГУ им. М.К. Аммосова, 2003.
17. Попов С.В. ЕГЭ по математике. Книга для учащихся ОУ. - Новосибирск: Издательский центр НГУ, 2002.
18.  Голиков А.И. Тесты по математике для подготовки к ЕГЭ. – Якутск: Центр тестирования ЯГУ, 2002.
19. Попов С.В. ЕГЭ по математике. – с. Чапаево Хангаласского улуса РС(Я): изд-во Ф-М Форума «Ленский Край», 2004.
20. Пойа Д. Как решать задачу. Журнал «Квантор»-1991». – М.: Учпедгиз, 1959.
21. Экзаменационные билеты по математике. Вопросы и ответы. Рекомендации экзаменаторов. – М.: БУКМЭН, 1996.
22. Тесты. Геометрия 11 кл. Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.