Развитие образно-логического мышления учащихся с помощью решения нестандартных задач . 5-6 классы.
методическая разработка по внеклассной работе (5 класс) по теме

Развитие образно-логического мышления учащихся с помощью  решения нестандартных задач .  5-6 классы.

Методическая разработка учителя математики НОУ «Альтаир»

Кондаковой Марины Николаевны

г.Москва 2009 г.

        Преподаватели математики в общеобразовательной школе сегодня сталкиваются с проблемами усвоения детьми разного возраста и способностей изучаемого в рамках стандартной школьной программы материала. При этом на педагогических форумах и конференциях всё чаще звучат слова о том, что наблюдается устойчивое падение интереса школьников к самому предмету. А при неформальном общении учителя отмечают, что, если «раньше» домашнее задание и контрольные работы списывали у более успешных учеников в основном в старших классах, то теперь этим «заражаются» чуть ли не с начальной школы. В итоге математические кружки учащиеся посещают всё реже, их дружные когда-то ряды заметно поредели, а среди тех, кто вроде бы остался предан математике и готов заниматься сверх школьной программы, начинают появляться обычные рационалисты, которые ходят в кружок не потому, что им интересна математика и, особенно, нестандартные задачи в ней, а потому что этого требуют родители.

        Более того, высказываются мнения и о том, что на олимпиады по математике всё активнее стремятся не наиболее способные к математике ученики, а те, кто ставит перед собой цель поступить в вуз по результатам олимпиады. Здесь срабатывает обывательский подход «чем больше олимпиад, тем лучше» независимо от реальных успехов участия в них. А успехи в таких случаях, разумеется, весьма и весьма скромные. И потому преподаватели последнее время часто жалуются на то, что у них просто не из кого выбрать представителя школы для участия в городской (районной) олимпиаде, не говоря о конкурсах более высокого уровня.

        Но если в школе с высокой наполняемостью трудно «разыскать» и вырастить реальных участников математических олимпиад, то как быть учителю, работающему в малокомплектной школе да еще с коррекционным элементом? С одной стороны, если подходить к этому вопросу педантично, то всё зависит от того, какие ученики поступили в маленькую школу. А с другой стороны – даже самые слабые из них должны усвоить материал в рамках государственного стандарта. И, уже не думая о том, кого послать на олимпиаду, приходится искать методы, с помощью которых можно реально увлечь учащихся самим процессом решения математических задач. Иначе дети просто не усвоят программу и не сдадут ЕГЭ.

        В активных поисках решения этой проблемы вместе с администрацией нашей маленькой школы (всего 25-30 учащихся с первого по одиннадцатый класс) мы решили организовать математический кружок, в котором по замыслу (а он осуществился) должны были заниматься все учащиеся 4-5 классов без исключения. Что в рамках школы полного дня не представляет особого труда – важно чтобы дети занимались в этом кружке не потому, что этого от них требуют, а потому что это их увлекает. Таким образом, в нашем кружке изначально не ставилась цель заниматься сверх школьной программы с самыми способными и нацеленными на изучение математики после школы учениками. Занятия в математическом кружке у нас формально добровольные, но я, как руководитель кружка, сразу поставила перед собой задачу именно заинтересовать учеников, а не просто уговорить заниматься дополнительно, потому что им это необходимо для усвоения школьной программы. Возник вопрос «чем и как заинтересовать, чтобы захотели сами».

        Ответ на этот вопрос нашёлся как бы сам собой, причём во время ведения обычных занятий согласно школьному расписанию. Предлагая детям разных классов задачи, требующие логического подхода к решению, я увидела, что дети пытаются справиться с такими задачами, применяя к ним ранее усвоенные формулы и методы.

Но задачи на логику обычно не решаются с помощью распространенных схем, усваиваемых учениками при изучении программных тем.         

Получается, что, столкнувшись с такой нестандартной задачей, учащийся пытается найти решение неприменимыми к задаче способами и, затратив много времени, испытывает почти, как ему кажется, непреодолимые трудности. Общаясь с учениками по поводу их неудач, я пришла к выводу, что каждая нерешённая ребёнком задача становится для него серьёзным элементом антимотивации. То есть, чем больше задач, с которыми ученик, применяя стандартные схемы решения, в итоге не справляется, тем слабее интерес ребёнка как к самому процессу решения задач (включая и стандартные) в частности, так и к математике как школьному предмету в целом.

Накопившийся в процессе развития системы образования опыт, как известно, говорит в данной плоскости об одном:  падение интереса ученика к математике, порождённое накапливаемым постепенно страхом перед сложной задачей, рано или поздно (если учитель не принимает мер к «спасению ученика») приводит к откровенному нежеланию вообще решать какие бы то ни было задачи. Ученику начинает казаться (и он со временем убеждает себя в этом всё больше и больше), что математика – предмет не для него. Он, якобы, не только не интересный, но и вообще ему недоступный.

В то же время математические олимпиады, являющиеся своего рода соревнованиями между учащимися школ, больше всего нацелены на выявление учащихся с развитым логическим мышлением, сообразительностью и повышенным вниманием. Но если школы с большим количеством учащихся имеют возможность отбирать на олимпиады наиболее подготовленных и способных к математике учащихся, то в нашей частной школе с малой наполняемостью классов такой возможности нет. Зато есть возможность интенсивной индивидуальной работы практически с каждым учащимся. И было бы непростительно не воспользоваться этим плюсом.

Поставив перед собой цель подготовить каждого ученика к участию в олимпиаде по математике, я пришла к выводу о необходимости разработать на основе уже накопленного в системе образования опыта свой собственный курс по выводу учеников независимо от их математических способностей на уровень самостоятельного эффективного решения нестандартных задач.

В течение двух последних лет преподавания в гимназии «Альтаир» я занимаюсь формированием тематических блоков нестандартных задач, отличающихся друг от друга по уровню сложности, анализирую процессы их решения учащимися, выясняю, какие задачи детям наиболее интересны, с какими они справляются относительно быстро и самостоятельно, а какие вызывают у них трудности и требуют дополнительного обсуждения в диалоге. В процессе такой работы выяснилось, что большинство логических задач решаются учащимися с интересом, если условия задачи оформлены адекватно возрастному восприятию учеников. Говоря иначе, насколько описание задачи соответствует, во-первых, реалиям жизни, с которыми учащиеся сталкиваются повседневно, а во-вторых, их личным интересам.

То есть речь идет по сути об образном выражении математических задач с учётом индивидуальных особенностей восприятия детьми их словесного описания. В связи с чем можно отметить, что в озвученных в прессе намерениях составителями экзаменационных тестов для ЕГЭ по математике на 2010 год заложено рациональное зерно. Так, например, задачи основного раздела предполагается оформлять в виде экономических, финансовых, торговых и других ситуаций, с которыми взрослые люди сталкиваются практически ежедневно. Действительно, многие мои коллеги отмечают повышенный интерес старшеклассников именно к экономическим и бытовым темам (валютные операции, сделки, вычисление оптимальной цены на товар и т.п.). В то же время учащихся начальной и средней ступени (вплоть до 6-го класса) увлекают задачи с литературными и сказочными сюжетами. То есть интеграция школьных предметов играет весьма серьезную роль в повышении эффективности учебного процесса на уроках точных дисциплин, в первую очередь математики.

Существует достаточно для эффективного обучения методических приемов, способствующих формированию устойчивого интереса детей к математике. Один из них, как уже говорилось выше, –  сочетание в задачах неизведанного мира математики с волшебным миром сказки.

         Дети очень хорошо воспринимают математические задачи со сказочным сюжетом, испытывают неподдельный интерес к происходящему и считают себя активными участниками событий, в которых действуют их знакомые сказочные персонажи.

Они легче воспринимают текст задачи и незаметно для себя учатся логически мыслить. Задачи – сказки не только учат ребенка мыслить, но и пробуждают его чувство доброты. Будучи «не в силах» остаться равнодушным к трудностям, которые испытывают его сказочные друзья, школьник вступает в своего рода «математический бой», эмоционально нацеленный на победу, то есть верное решение задачи.

Условия задач со сказочным сюжетом в большинстве своем пространны в изложении. Однако этот несомненный с точки зрения математика минус преодолевается эффективными плюсами. Читая текст, ребенок испытывает желание разобраться в сказочной ситуации. Увлекаемые сказочным сюжетом,  дети сопереживают главным героям задачи-сказки и с охотой решают морально-этические проблемы с традиционных позиций русской культуры на фоне игровой мотивации. При этом условие в логических задачах-сказках можно изображать в виде геометрических фигур, таблиц и просто отдельных зарисовок.

         Для облегчения процесса решения логических задач, в том числе и задач-сказок, можно использовать и графический метод изображения условий, ориентированный на преимущественное развитие у детей образного мышления.

Графическое изображение логических задач помогает концентрации внимания при осмыслении ребенком условия задачи и развитию его логического мышления в непосредственной связи с образным восприятием. Необходимы и полезны в этой связи самостоятельные попытки детей строить (рисовать) схемы логических задач с последующим анализом.

        В качество примера приведу

Комментарий к оформлению и решению  задач для сказки

« Царевна- лягушка».

Условие задачи №1.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был царь. И было у него 3 сына: Василий – царевич, Фёдор – царевич да Иван-царевич.

Надумал царь женить сыновей, призвал их к себе и говорит: «Пора вам, ребятушки, жениться. Выходите-ка в чистое поле, возьмите тугие луки, натяните тетиву шелковую и пустите по стрелочке каленой. Где чья стрелочка упадет, там и невесту себе найдете».

Вышли братья во чисто поле, натянули свои тугие луки и выстрелили в разные стороны. Стрелы Василия-царевича и Фёдора – царевича упали поблизости. И подняла одну дочь боярская, а другую –дочь купеческая. Пришли к ним царевичи, а девицы и говорят им: «Пойдем за вас замуж, если разгадаете нашу лукавую речь».Согласились царевичи.

Дочь боярская: «Залетела  ко мне во двор стрела Федора-царевича».

Дочь купеческая: «У меня ничьей стрелы нет»

Вопрос: Кого должен взять в жены Василий - царевич, если обе невесты, лукавя, говорили неправду?

Эта задача является простейшей в серии логических задач и, строго говоря, схемы для решения не требует, однако учитывая сложность восприятия на слух учащимися, рекомендуется предложить им зафиксировать условие в следующем виде:

Б→ +Ф

             К→  - Ф           К→ -В

Решение: по условию оба высказывания ложные. Значит: боярская дочь поймала стрелу Василия-царевича, но у купеческой дочери есть стрела. Нотак как стрела Василия-царевича у боярской, то у купеческой дочери стрела Фёдора-царевича.

       Решение подобных задач при всей их нестандартности основывается на общеизвестных принципах целеполагания. Основными целями работы над задачами в принципе являются:

а) объяснить и закрепить понятие «истинно и ложно»;

б) научить построению отрицаний к высказываниям;

в) формировать и развивать  образное мышление учащихся;

г) научить решать задачи нестандартными методами, используя понятия математической логики.

Большинство последовательно усложняющихся задач сказки «Царевна-лягушка содержит по два заведомо ложных утверждения. Для правильного решения таких задач требуется построить утверждения, противоположные данным, а значит истинные, и лишь после этого решить, как следует поступить герою. Простейшие задачи этой сказки позволяют выработать у детей навык построения схем утверждений, помогающих осмыслить условия и упрощающих последующий анализ ситуации и вытекающую из его результатов мотивацию решения.

Специальной дидактической задачей этой сказки является выработка у детей навыков:

1. графического изображения условия задачи;
2.  анализа условия с помощью графических схем;
3. построения отрицаний к высказываниям и их графического изображения;
4. логического умозаключения, являющегося решением задачи.

Хотя простейшие задачи на сюжетной основе этой сказки могут быть решены и без введения графических схем, на них нужно отработать навык графического изображения условий и построения отрицаний, без которого осмысленное решение более сложных логических задач и объяснение этих решений будет представлять для детей значительные трудности. Тем не менее необходимо добиваться от детей проработки истинных утверждений, используя отрицания.

При решении детьми задач такого рода следует обращать особое внимание на то, чтобы, высказывая суждение, являющееся решением задачи, ребенок руководствовался не симпатией или антипатией к определенному герою сказки (например, волк традиционно плохой – ему верить нельзя), а условием задачи и его анализом. В сказку включены задачи с ориентированием по карте, что помогает закреплять понятия «право – лево».

        Для наглядности привожу таблицы примерных планов занятий математического кружка в нашей школе.

Задача-сказка разбивается на несколько задач по планированию. Эти задачи для учащихся 4-5 классов. Занятие проводится 1-2 раза в неделю с использованием наглядности и иллюстраций.

План №1

На занятиях можно использовать и другие виды задач, без сказочного сюжета.

Примерное планирование занятий. Задачи решаются более подготовленными детьми.

План №2 (второе полугодие).

Примеры задач по некоторым темам

Тема: «Интервалы».

☺ Нам каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкина, а на другом – до Палкина. Вдумчивый Наблюдатель заметил, что на каждом столбе сумма равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкина?

 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них-30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых «Мерседесов». Известно, что никакие два «Мерседеса» разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие–то три «Мерседеса» разного цвета стоят рядом.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 ч.

И действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 ч утра, а последний – в 7 ч вечера. Через какие интервалы времени вынимают письма из ящика?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят старинные стенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый час (столько ударов, сколько показывает часовая стрелка).

Однажды, открыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар. Через полчаса часы в кабинете пробили ещё раз – опять один удар. Спустя полчаса – ещё один удар. Наконец, ещё через полчаса часы снова пробили один раз.

Какое время показывает часы, когда хозяин входил в кабинет?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На прямой расположили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так несколько раз.

Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек будет нечетным.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Двое часов начали и закончили одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые – через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

Тема: «Промежутки».

☺ Улитка ползет вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь – спускается на 4 м. за какое время улитка доберется от подножья до вершины столба?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбаков?

☺ Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбаков. Сколько бревен они распилили?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбаков упали, а два крайних так и остались закрепленными. Сколько распилов сделали зайцы?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Во сколько раз лестница на четвертый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4 –го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На линейке нет делений. Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерить расстояние от1 до 9 см с точностью до 1 см.

Тема: «Простейшая геометрия».

☺ Можно ли в тетрадном листе вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На большом круглом торте сделали 10 распилов так, что каждый разрез идёт от края и проходит через центр торта. Как это могло быть?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ У двух человек два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого – четыре. Как это могло быть?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Можно испечь такой торт, который может быть разделен одним прямолинейным разрезом на 4 части?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трёх прямолинейных разрезов?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ У Джузеппе есть лист фанеры. Размером 22×15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5.Как это сделать?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковер-самолет будет летать только тогда. Когда он имеет прямоугольную форму».

У Ивана-царевича был ковер самолет размером 9 ×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1× 8.

Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1 ×4, чтобы получился прямоугольник 8×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по другому. Она разрезала ковер на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковер – самолет размером 10×10. Скажите как же Василиса премудрая переделала ковер?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся черных и вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 13 пленных, а на флаге – 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флаг и ширина полос не изменилась, а число полос стало равным 10?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т.е. имела участки границы) с тремя другими?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

☺ Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком. Вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвертая вершина нижнего листка не видна – она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно равны между собой. Какая часть нижнего листка больше – закрытая или открытая?

☺ Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А  если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

         Итак, задачи-сказки и просто  нестандартные задачи  позволяют сохранить интерес  к математике не только на протяжении обучения детей в начальной школе, но и в дальнейшем.

В этом случае не возникает проблем в организации внеклассной работы по математике в средней школе.

Такой эксперимент я провожу с учащимися 4-го и 5-го класса в рамках работы школьного математического кружка.  Аналогичные решаемым во время работы кружка задачам я предлагала на внутришкольных олимпиадах, где мои ожидания оправдались – ученики успешно справились с олимпиадными заданиями без моей помощи.

В результате проделанной работы в рамках математического кружка по итогам прошлого года определились кандидаты на участие в городских олимпиадах, что свидетельствует о верности избранного мною дидактического метода.