Касательная и хорда. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Подготовка к ОГЭ Задние №10 Тема: « Касательная,хорда,секущая , радиус.» Источник: https://oge.sdamgia.ru/?redir=1

Слайд 2

Повторим теоремы по этой теме. D B A C C₁ α 1.Угол между касательной и хордой,проходящей через точку касания,измеряется половиной заключённой в нём дуги.

Слайд 3

E C A D B 2.Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды.

Слайд 4

M B C A D K L 3.Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется суммой заключенной между ними дуг.

Слайд 5

. B A M P Q 4.Угол между двумя секущими ,проведенными из одной точки ,измеряется полуразностью заключенных между ними дуг.

Слайд 6

2 ) M K A B 1 5.Угол между касательной и секущей ,проведенными из одной точки ,измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.

Слайд 7

) M L K 6. Угол между двумя касательными ,проведенными из одной точки ,равен 180⁰ минус величина заключенной внутри него дуги,меньшей полуокружности.

Слайд 8

О М N K 30⁰ ₍ 15 H Найти: MN=? Проведем прямую от точки М в точку N. ∠MKO= 30⁰ , ∠ MKO= 90⁰ =› ∠ HMK = 60⁰ ∠ HKN = ∠MKH = 60⁰ ∠KMH=∠MKN=60⁰=›∠HNK=180⁰-(KMH+MKN)=60⁰ Из этого сделаем вывод,что ▲ MNK- равносторонний =› MK=MN=15. Ответ: MN=15.

Слайд 9

Задача 2. О M N 12 15 Дано : ON=15 Найти: MN=? Рассмотрим ▲ MON ∠ OMN= 90⁰=› ▲ MON- прямоугольный ON- гипотенуза MO- катет Найдем MN: MN= ON²-OM²= √225-√144 =√81=9 Ответ: MN=9

Слайд 10

Задача 3 O M N K 10 10 } 16 Дано: OM=ON=10 MN=16 Найти: OK=? Рассмотрим ▲ MON OM=ON=10( по условию) => ▲ MON- равнобедренный OK- медиана проведенная к основанию => что NK=KN=8 Рассмотрим ▲ OKM: т.к OK- медиана проведенная к основанию,то она еще и высота=> ∠ OKM=90⁰=>▲OKM- прямоугольный; MO- биссектриса =10 KM- катет=8 Найдем OK: OK= OM²-MK²= √100-√64=√16=4 Ответ: OK=4

Слайд 11

о А В С Задача 4 Дано: ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72⁰ Т.к касательные проведены из одной точки ,то они равны => AB=CB => ▲ ABC –равнобедренный. От­ку­да ∠CAB=∠CBA=180⁰-∠ACB =54⁰ 2 Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, зна­чит, дуга AB равна 108⁰ ∠AOB- центраельный и равен дуге,на которую опирается=> ∠AOB= 108⁰ Рассмотрим ▲ OAB;OA=OB т.к радиусы=> ▲OAB- равнобедренный; =>∠ABO= 180⁰-108⁰ = 36⁰ Найти:∠ ABO

Слайд 12

Задача 5 О С В А а Ответ: ∠ ACB= 30 ⁰ Найдите величину (в градусах ) угла α, опирающегося на хорду AB ,равную градусу окружности. Решение: Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB. Так как по усло­вию за­да­чи хорда AB равна ра­ди­у­су, то тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, все его углы равны 60°. ∠AOB — цен­траль­ный и равен 60° Угол ACB — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и ∠ AOB. Таким об­ра­зом, ∠ ACB= 60⁰:2=30⁰

Слайд 13

Задача 6 Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см. O D A B C Н ай­дем от­ре­зок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­ник AOD — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем : AD = √ AO²- √OD² =√25- √16=3 . Тре­уголь­ник AOC — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Слайд 14

Задача 7 К окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если , AB =21, AO=75 . A B O Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок — ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния, по­это­му OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AB. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та OB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен: √75²-√ 21²=72

Слайд 15

Задача 8 Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44. Ответ дайте в гра­ду­сах. O A B D Ре­ше­ние. Угол ABC − пря­мой, так как он впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр. Сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник ABC − пря­мо­уголь­ный, а ∠ C= 90-44=46 Ответ: 46.