Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

         ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  БРАЗОВАНИЯ

    КОЛЛЕДЖ ЛАНДШАФТНОГО ДИЗАЙНА №18

Конспект урока по геометрии

9 класс

«Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания»

Подготовила

преподаватель математики и информатики

Колозян Элина Шаваршевна

Москва, 2012

Тема: Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку

           касания

Цель урока: сформулировать и доказать свойства еще одного вида углов, связанных с понятием окружности – углов между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания.

Задачи урока:  

образовательная: проверить знания теоретического материала по теме «Углы, вписанные в окружность»; рассмотреть связь градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже ранее изученных углов; отработать навык решения задач с использованием вновь сформулированных свойств;

развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;

воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.

Ход урока

I. Устная работа (по рисунку 1)

Устная работа проводится для того чтобы сориентировать учащихся на самостоятельную работу, которая последует вслед за этим. Чертеж, который использовался при опросе, будет являться подсказкой, поэтому в сильном классе его имеет место убрать, а в слабом – наоборот, оставить.

У. С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте

     определение и назовите их на чертеже

Д.1) Центральный угол (<АОС), вершина которого находится в центре

     окружности.

     2) Вписанный в окружность (<АВС), его вершина лежит на окружности, стороны пересекают её.

У. Как связаны градусные меры этих углов?

Д. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры ему

     соответствующего центрального угла (<АВС=  <АОС ).

У. Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?

Д. <АВС=  ᵕАС, <АОС= ᵕАС.

У. Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле вами уже

     изучены?

Д. Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой.

     Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

II. Самостоятельная работа (по материалу, разобранному в устной работе)

        Самостоятельная работа направлена на проверку знаний теоретического материала. Первое задание очень простое, но только для тех учащихся, которые понимают связь данных понятий, а не зазубривают формулировки.  Данная работа даст возможность проанализировать восприятие классом теоретического материала. Второе задание направлено на проверку самостоятельной работы учащихся дома, так как данные следствия были разобраны на уроке только в устной форме, а письменное доказательство было предложено в качестве домашнего задания. Оценку «3» в данной работе можно поставить за выполнение первого задание  и запись верной формулировки следствия во втором.

Вариант1.

I.  Вместо многоточия вставьте верный  вариант ответа:

     в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

Вписанный в окружность угол всегда ……………….соответствующего центрального угла.

Центральный угол всегда……………….соответствующей дуге.

Вписанный в окружность угол всегда……………соответствующей дуге.

Центральный угол всегда……………….соответствующего вписанного угла.

Дуга окружности всегда…………….соответствующего вписанного угла.

Градусная мера дуги всегда…………соответствующему центральному углу.

II. Сформулируйте  и докажите свойство вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр.

Вариант2.

I.  Вместо многоточия вставьте верный  вариант ответа:

     в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

Градусная мера дуги всегда ……………….соответствующему  центральному углу.

Центральный угол всегда……………….соответствующей дуге.

Дуга окружности  всегда……………соответствующего вписанного угла.

Центральный угол всегда……………….соответствующего вписанного угла.

Вписанный в окружность угол  всегда…………….соответствующей дуги.

Вписанный в окружность угол  всегда…………соответствующего центрального угла.

II. Сформулируйте  и докажите свойство вписанных в окружность углов, опирающихся  на дугу.

Ответы:

III. Новый материал

        Объяснение нового материала начинается не с доказательства, а с устной задачи, которая подводит учащихся к самостоятельной формулировке  данного свойства, а также облегчает понимание доказательства, так как оно повторяет этапы решения задачи.

1. Устная работа по рисунку на доске (рис.2)

О

В

А

С

                    Рис.2

У. Назовите на чертеже центральный угол.

Д. <АОВ – вершина угла в центре окружности.

У. Что называется хордой?

Д. Отрезок, соединяющий две точки окружности; в нашем случае АВ.

У. Назовите касательную к окружности. Каким свойством она обладает?

Д. Прямая ВС. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, значит, <ОВС=90°.

Учитель обозначает этот угол на рисунке.

У. Покажите углы между касательной и хордой, проведенной в точку касания. Выберите и обозначьте наименьший.

Д. <АВС=60° (90°-30°)

У.Назовите дугу, заключенную  между касательной и хордой .

Д. ᵕАВ

У. Какому углу она равна?

Д. ᵕАВ= <АОВ (градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла).

 Эту формулировку учащиеся записывают под чертежом.

У. Вычислите градусную меру этого угла.

Д. АО=ОВ(радиусы), следовательно, треугольник АОВ – равнобедренный с основанием АВ, следовательно, <А=<В=30°, следовательно           <АОВ=180°–2*30° = 120°

У. Сравните градусную меру угла между касательной и хордой и градусную меру дуги, заключенной между касательной и хордой.

Д. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

У. Ребята, мы сейчас сформулировали свойство угла, образованного касательной к окружности и хордой, проведенной к точке касания. Запишем это свойство в тетрадь.

Учащиеся записывают.

У. почему нельзя сказать, что это свойство мы уже доказали?

Д. числовой пример не является доказательством, так как мы не можем перебрать все числа.

2. Письменное доказательство теоремы

Учитель доказывает теорему у доски, дети записывают доказательство в тетрадь.

ТЕОРЕМА: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

Доказательство теоремы опирается на уже решенную задачу; учащиеся поясняют уже те моменты, которые разбирались.

О

N

А

В

М

                      Рис.3

Дано: Окружность (О;r), MN – касательная, АВ – хорда,                                  АВ ∩MN = {А}(рис.3).

Доказать: <ВАМ=   ᵕВА.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: ВО = АО (радиусы)

2. <АОМ=90°, так как MN – касательная, ОА- радиус,  <ВАМ=90°– <ОАВ.

3. Рассмотрим треугольник ВОА: ОВ=ОА , значит, треугольник равнобедренный с основанием АВ, поэтому <ОАВ=<АВО.

<ВОА=180°– <ОАВ – <АВО=180°– 2*<ОАВ= 2*(90°–<ОАВ)

4. ᵕВА=<ВОА=2*(90°–<ОАВ)= 2*<ВАМ, значит,

                  ᵕВА=2*<ВАМ и <ВАМ= ᵕВА.

IV. Закрепление

        При закреплении нового материала используются задачи не из учебника, поэтому учащимся раздаются распечатки, содержащие задания.

Задание №1 и 2 выполняются устно, №3,4(дополнительно)–письменно.

№1 (рис.4)

В

<АВС –?

С

А

                                                  Рис.4

 Решение:    

     1. <АВС=  ᵕВА (свойство угла между касательной и хордой).

ᵕВА=<АОВ=180° (развернутый угол).

<АВС=   *180°=90°.

№2 (рис.5)

В

<СВЕ–?  

Е

      О

?

50°

С

А

                                             Рис.5

Решение:

<СВЕ=  ᵕВС (свойство угла между касательной и хордой).

<ВАС– вписанный окружность, значит <ВАС=  ᵕВАС ( ᵕВС) (свойство вписанного угла).

ᵕВС= 2*<ВАС= 2*50°=100°, <СВЕ=100°:2=50°

№3. (рис.6)

Е

D

<ADB–?

В

М

А

                                        Рис.6

Решение:

ᵕВЕА=2*<АМВ (вписанный  угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается), следовательно, ᵕВЕА=2*80°=160°.

<DBA= ᵕAEB=160°:2=80° (свойство между касательной и хордой).

Рассмотрим треугольник ADB:

 <ADB=180°–<DAB–<DBA=180°–30°–80°=70°.

        Задачи №2 и №3 специально рассматриваются подробно ( углы находятся через выполнение взаимообратных действий: умножение на 2, затем деление на 2). Если никто из учеников не заметит  нерациональности в решении, необходимо акцентировать внимание детей на пунктах 1,2 задачи №3.

        После этого можно сформулировать и записать как свойство:

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

№4. (рис.7)

Дано: треугольник АВС вписан в окружность, <А:<В:<С=4:5:6;

ВМ – касательная к окружности.

Вычислить: <МВС и <МВА.

В

5х

М

      О

6х

4х

С

А

                                             Рис.7

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС: <А+<В+<С=180°.

Пусть х– коэффициент пропорциональности:

4х+5х+6х=180,

15х=180,

х=12.

<А=4*12°=48°, <МВС=<А=48° (свойство угла между касательной и хордой и вписанного угла, опирающегося на дугу, заключенную между касательной и хордой).

<АВМ=<АВС+<МВС=5*12°+48°=60°+48°=108°.

V. Итог урока (работа по рис. 8)

У. Назовите все получившиеся вписанные углы.

Д. <САВ,  <АВС, <ВСА.

У.Назовите все углы между касательной и хордами.

Д. <NAB, <NBA, <KBC, <KCB, <MCA, <MAC.

У.Какие из них будут равны и почему?

Д. <NАВ=<NBA, <KBC=<KCB ,  <MCA=<MAC. У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и та же дуга, поэтому они численно равны её половине, то есть равны между собой.

У.Какой из углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?

Д. <NАВ=<NBA=<С;  <KBC=<KCB=<А; <MCA=<MAC=<В. Так как угол между касательной и хордой равен  вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

У.Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?

Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников  есть по два равных угла

VI. Домашнее задание

Выучить теорию (подготовка к тесту)

№ 54,59

Используемая литература