Урок на тему "Задача на построение", 7 класс
план-конспект урока по геометрии (7 класс)

Выполнила: Афанасьева Д.С.

План-конспект урока по геометрии

На данном уроке рассматривается задача на построение:
Даны отрезок m и угол α.
Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = m, ∠АВС = α, ∠ВАС =  

• Класс: 7
• Учебник: Геометрия 7-9 Атанасян Л.С.
• Глава IV «Соотношение между сторонами и углами треугольника»
• § 4. Построение треугольника по трём элементам.
• На данный параграф отводится 4 часа.

Цель урока: Научиться выполнять все этапы решения задач на построение, научиться строить треугольник по трём элементам.

Этапы урока:

1. Организационный момент (2 мин.)
2. Знакомство с этапами решения задач на построение (6 мин.)
3. Актуализация знаний (10 мин.)
4. Объяснение нового материала. Решение задачи (15 мин.)
5. Решение задач (7 мин.)
6. Подведение итогов урока (3 мин.)
7. Домашнее задание (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин.)

Учитель организует дисциплину на уроке, приветствует учащихся, отмечает отсутствующих. Сообщение темы урока.

2. Знакомство с этапами решения задач на построение (6 мин.)

Как вы уже знаете, существует 4 этапа решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Сейчас мы рассмотрим каждый из них поподробнее, и в дальнейшем будем применять при решении задач на построение.

• Анализ - это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи.

Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи.

Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

• Построение

 Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

• Доказательство

Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

• Исследование

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить, не могут ли возникнуть такие случаи, когда приведённое построение не выполнимо, имеет ли задача решение в этих случаях, и если имеет, то как их найти.

Для каждого случая надо установить, сколько решений имеет задача.Следует выяснить, не появятся ли новые решения при каких-либо иных способах построения. Исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

3. Актуализация знаний (10 мин.)

На данном этапе учитель спрашивает у класса, какие элементарные задачи на построение они помнят, какие инструменты используются для построения и т.д.

И далее идёт повторение основных элементарных задач, которые потребуются для решения конкретно нашей задачи. К ним относятся: 1) задача на построение отрезка, равного данному; 2) построение угла, равного данному; 3) построение биссектрисы угла.

4. Объяснение нового материала. Решение задачи (15 мин.)

Задача: Даны отрезок m и угол α.
Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = m, ∠АВС = α, ∠ВАС =  

1. Анализ

Предположим, что ∆АВС построен.

• ∠ВАС в 4 раза меньше α.

Как мы можем его построить?

• Сначала построим угол, в 2 раза меньший α, т.е. проведём биссектрису угла α.
• Затем построим биссектрису угла, который в 2 раза меньше α.

Итак, мы получили угол, равный .

• Сторона АВ является общей для ∠АВС и ∠ВАС и АВ = m.

Чтобы найти точку пересечения вторых сторон ∠АВС и ∠ВАС, продлим эти стороны до пересечения в точке С.

• ∆АВС – искомый.

2. Построение

1. С помощью циркуля и линейки отложим отрезок АВ = m.
2. С помощью циркуля откладываем из вершины В угол, равный α ∠АВС = α.
3. С помощью циркуля и линейки построим биссектрису угла α.
4. С помощью циркуля и линейки построим биссектрису угла, равного α.
5. С помощью циркуля и линейки из вершины А отложим угол, равный α.
6. Стороны ∠А и ∠В пересекаются в точке С.
7. ∆АВС – искомый.

3. Доказательство

1. По построению отрезок АВ равен данному отрезку m.
2. По построению ∠АВС равен данному углу α.
3. По построению ∠ВАС равен     части угла α.
4. Таким образом, построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

4. Исследование

Построение возможно не всегда: если сумма углов А и В не меньше 180˚, то треугольник построить нельзя, т.к. сумма углов треугольника равна 180˚.

В противном случае решение имеется, и оно единственно, т.к.

1. Мы всегда можем построить отрезок, равный данному.
2. Мы можем от данного луча отложить угол, равный данному.
3. Каким бы не был угол, мы всегда можем поделить его на 4 равных угла.
4. Любые две непараллельные прямые в плоскости имеют 1 общую точку (пересекаются).

Если угол α = 90˚, т.е. прямой, то с помощью тех же построений мы получим прямоугольный треугольник АВС.