МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
методическая разработка по геометрии

Слайд 1

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ МСОГ

Слайд 2

Лекция №1 Общие вопросы методики обучения геометрии в основной школе

Слайд 3

Исторически й аспект Геометрические знания возникали в древности только опытным путем. К 7 в. до н. Э. Их накопилось очень много, особенно в Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Но знания – разрознены , геометрии как науки не существовало. В 7 в до н.э. геометрические знания проникли из Египта в Грецию . Г реки стаи доказывать в обще м виде многие геометрические положения, взятые из практики. Возглавил эту работу Евклид . Он изложил курс геометрии в 13 книгах – « Начала ». С греческого на русский перевел Д.Д. Мордухай-Болтовской. Впоследствии геометрия получила дальнейшее развитие, и были открыты новые геометрии Лобачевского, Римана.

Слайд 4

Роль и ц ели обучения геометрии в основной школе Геометрия основная математическая дисциплина, один из важнейших компонентов общечеловеческой культуры: представления о пространстве, в котором живет человек, во многом обеспечивают его миропонимание, мировоззрение. Геометрическая деятельность считается первичной интеллектуальной деятельностью как человеческой цивилизации, так и отдельного индивидуума . Поэтому никто, претендующий на звание культурного человека, не может считать себя таковым без знания геометрии.

Слайд 5

Все цели обучения математике сохраняются и для геометрии. Однако, геометрия реализует также специфические цели . Развитие логического мышления . Школьный курс геометрии имеет наибольшую стройность, логическую строгость , что обусловлено широким использованием аксиоматического метода при его построении. Поэтому широкое применение в геометрии находит логика. З аконы логики в явном виде не представлены . Учитель во многом самостоятельно должен решать задачи развития логического мышления. Учителю необходимо иметь четкое представление : о логической структуре курса о логических основах математических понятий и предложений, доказательств теорем и решени я задач.

Слайд 6

Развитие пространственного мышления З начение чертеж а . Одномоментный охват вс его чертеж а . У правл ение восприятием учащихся, выдел ение элемент ов цветом , использование динамических моделей . У пражнения в проведении геометрических рассуждений, не делая чертежа , а представляя его в уме. Р ешение задач на построение и особенно, методом геометрических преобразовани й плоскости, методом построения множества точек. Упражнения трех типов оперирования планиметрическими образами

Слайд 7

Содержание курса геометрии основной школы Содержание курса геометрии представлено разделами стереометрии и планиметрии Планиметрия Стереометрия 1. Взаимное расположение прямых. 2. Свойства треугольников, четырехугольников, окружностей. 3. Отношения равенства и подобия. 4. Измерение углов, длин, площадей. 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей 2. Свойства многогранников, призмы, пирамиды. 3. Тела вращения: цилиндр, конус, шар 4. Измерение углов, площадей поверхности и объем ов

Слайд 8

Содержание планиметрии С одержательно-методически е лини и : « Геометрические фигуры и их свойства », 7, значительно 8,9 класс. « Геометрические величины и их измерения », « Векторы ». Векторы впервые вошли в курс геометрии отечественной школы в середине 70-х годов и получили всеобщее признание. Однако методика их применения недостаточно разработана, поэтому векторы недостаточно широко используются в школьном курсе математики. Основное содержание школьного курса планиметрии своими истоками имеет «Начала» Евклида , попытки отхода от них оказались неудачными. Геометрические преобразования не включены в настоящее время в одну из линий, а занимают периферийную часть курса.

Слайд 9

Подходы к построению курса планиметрии Классический , в основу которого положены модернизированные «Начала» Евклида ; Современный , фундаментом которого являются теоретико-множественные представления и идея геометрических преобразований плоскости. Реализован в ходе реформы 70-х годов. (Председатель А.Н. Колмогоров )

Слайд 10

Особенности реформы, относящиеся к курсу планиметрии: 1.В начальный курс математики включена основательная пропедевтика геометрии . 2. В ведены простейшие теоретико-множественные понятия, операции и символы . 3.Усилена роль аксиоматического метода , предложена четкая и строгая система аксиом 4. В едущ ая иде я: в курс планиметрии включены геометрические преобразования, перемещения плоскости . 5. Векторы - один из частных видов перемещений плоскости, векторный аппарат используется как средство решения задач и доказательства теорем. 6.В качестве основных методов широко использовался аксиоматический метод, координатный, векторный, геометрических преобразований.

Слайд 11

Классический подход А.В. Погорелов: развитие логического мышления учащихся. Доказывать все , особенно в начале обучения, широкое использование метода доказательства от противного с первых шагов обучения. Сознательный отрыв мышления от чертежа. Учебник в очень малой степени ометодичен , создает дополнительные трудности для учителя, возлагая на него подбор дополнительного материала, задачного, дидактическую обработку теоретического материала. Мало пригоден для самостоятельного овладения курсом учениками.

Слайд 12

Л.С . Атанасян : внимание уделяется доступности изложения, развитию умений и навыков учащихся. Материал подается в методически обработанной форме , возможно самостоятельное овладение материалом ученик а . А.Д. Александров : задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. В органическом единстве представлена строгая логика и живое восприятие реального мира. Используют в физико-математических классах, с углубленным изучением математики.

Слайд 13

И.Ф. Шарыгин Реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Это выражается в отказе от аксиоматического подхода, аксиоматика не выдвигается на первый план. Некоторые разделы выходят за рамки программы (теорема Эйлера, прямая Эйлера, вневписанные окружности, задача Архимеда, окружность Аполлония и др.), однако, они предъявлены в интересной форме последовательных рассуждений, скрытого диалога . Уделяется внимание методам решения задач , у казаны и систематизированы основные распространенные ошибки в рассуждениях. Таким образом, учебник в сильной мере ометодичен . Содержит материалы для внеклассного чтения, работы кружка.

Слайд 14

Конечные результаты обучения геометрии Знать : свойства изучаемых фигур, понимать, что они являются идеализированными образами реальных объектов. Доказательство основных теорем. Способы решения задач на доказательство, вычисление, построение. Уметь : решать типовые задачи и оформлять их решение. Изображать наглядно чертежи к задачам и теоремам, распознавать геометрические фигуры на чертежах. Вести логическое обоснование каждого шага при решении задач и доказательства теорем. Развитие графических умений, пространственных представлений. Владеть навыками использования геометрических инструментов для изображения геометрических фигур, измерения длин отрезков и величин углов. Использовать геометрический язык для описания предметов окружающего мира.

Слайд 15

Образовательные : 1.Передача учащимся определенной системы математических знаний, умений и навыков – основ математической науки, необходимых для общего образования, для его продолжения в высшей школе, для изучения других дисциплин , для практической деятельности в повседневной жизни. 2.Помощь учащимся в овладении математическими идеями и методами познания действительности; 3.Выработка умений решать основные типы математических задач и применять знания на практике ; 4.Формирование способов учебно-познавательной деятельности; 5.Знакомство с элементами гуманитарного знания; связанного с математикой. Цели обучения геометрии

Слайд 16

ФГОС Цели обучения математике, геометрии Развитие умений работать с учебным математическим текстом…, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений , оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения. Овладение геометрическим языком , развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений , изобразительных умений, навыков геометрических построений . Формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах, развитие умений применять их для решения геометрических задач , моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин. Специфические цели

Слайд 1

Лекция №2 Методика изучения первых аксиом, теорем, понятий о простейших фигурах

Слайд 2

«У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных» Ч. Дарвин «Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» Леонардо да Винчи

Слайд 3

Суть математики это ее дедуктивный метод , ее способность вывести все свои утверждения из немногих основных, называемых аксиомами . При этом четкая формулировка аксиом, как правило, завершает целый этап ее развития, оформляет достигнутые результаты. Принципы – не исходный пункт исследования, а его конечный результат.

Слайд 4

План лекции Место темы в школьном курсе математики. Характеристика знаний учащихся и особенности проведения первых уроков. Опорный конспект к теме. Этапы методики введения понятий о простейших фигурах, аксиом. Начально-пропедевтический Систематический - 4. Методические рекомендации к изучению темы

Слайд 5

Место темы Начала систематического курса планиметрии посвящены изучению простейших геометрических фигур ( точка, прямая, отрезок, луч, угол ) и их свойств . 7 класс.

Слайд 6

Трудности первых уроков систематического курса геометрии обусловлены: 1. Выделением курса геометрии в специальную математическую дисциплину . 2. Новизной структуры курса . 3. Резким повышением уровня строгости логических рассуждений . 4. Абстрактностью материала . 5. Введением большого количества новых понятий, терминов, непривычной символики . 6. Несформированностью навыков обобщения, абстрагирования.

Слайд 7

Характеристика знаний учащихся. 7 класс Имеют геометрические представления о фигурах и их взаимном расположении. Не имеют представления о методе геометрии . Знакомство с новыми фигурами , воссоздание их образа и усвоение свойств. Овладение терминологией , геометрическим языком. Переход от наивных представлений к абстрактным понятиям и их определениям . От геометрических фактов к их доказательству . Отражается сторона аксиоматического метода, связанная с логической организацией материала. Одновременное изучение на интуитивном уровне и дедуктивно построенной теории Частично освящается суть аксиоматического метода .

Слайд 8

О сновные принципы методики 1. Постепенность перехода от конкретного к абстрактному . 2. Обращение к наглядности , окружающей действительности . 3. Воспитание потребности в доказательстве утверждений; (критическо е отношени е к заключениям, основанным на неполной индукции; использова ние особенности зрительных восприятий (иллюзии) ; показ относительност и результатов измерений). 4. Обучение умению обосновывать математические предложения; 5. Помощь в ориентации в аксиомах, определениях, теоремах, постепенное знакомство с логическим строением курса планиметрии.

Слайд 9

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ неопределяемые ТОЧКА ПРЯМАЯ РАСПОЛОЖЕНИЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ А,В,С… а,b,c… АВ,СD…,  ,  ОТРЕЗОК ЛУЧ УГОЛ ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ определяемые 1 2 1 1 АВ, CD ОА, h  hk,  O,  AOB СРАВНЕНИЕ Наложением Равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла ИЗМЕРЕНИЕ Сравнением с единицей измерения, сколько раз укладывается – число=длина Прямой, острый, тупой Стороны, вершина, развернутый, внутренняя, внешняя область. 2 1 АКСИОМЫ Опорный конспект

Слайд 10

Этапы: Начально-пропедевтический Начальная школа , 5-6 кл. Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Первый этап : достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это отрезки, это квадраты. Второй этап : выделение тех элементов, из которых состоят фигуры, их существенных признаков. Для этого выполня ют практические действия. П ри изучении точки – проводят через нее линии, получают прямые линии перегибанием бумаги так, что линия сгиба проходит через точку.

Слайд 11

Вывод: п реобладают наглядно-эмпирические методы (практические) знакомства с первыми аксиомами и основными понятиями. При знакомстве с отрезком выделить такие его признаки, по которым можно легко опознать эту фигуру : отрезок имеет концы и его следует проводить по линейке . При изображении отрезка обязательно фиксируются точки концов, а при изображении прямой линии – нет. Если из данной точки провести по линейке прямую линию, то получим луч , если два луча – то угол . Вначале угол – фигура, состоящая из двух лучей с общим началом, а затем понимание как части плоскости. Нужны модели угла.

Слайд 12

Модели углов Модель прямого угла получают перегибанием бумаги дважды. Не знакомятся с единицей измерения углов , пользуются приемами наложения и представлениями о луче. (Стороны угла – лучи, а значит их можно продолжить). Если стороны совпадут, то углы равны. При знакомстве с острыми, тупыми углами, пользуются моделями трех видов . Сравнение с прямым углом : две стороны моделей и вершины совмещают, а другая сторона пройдет внутри прямого (для острого), вне его (для тупого). Изученные фигуры распознают в треугольниках, четырехугольниках и др.

Слайд 13

К В О Проведи прямые линии через точку К и через точку В так, чтобы они пересеклись в точке О. Установление различий во фразах: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии»

Слайд 14

Понятие об угле Сравнение углов

Слайд 15

Систем а тический этап. 7-9. В начале курса нет работы по структуре теоремы: как выделять условие, заключение . К ак формулировать умозаключения - структура дедуктивного вывода (общее положение, частное утверждение – вывод). Многие теоремы сформулированы в категоричной форме. Нет разъяснения метода от противного . Нет образца краткой записи и доказательства (только у Руденко), нет разбиения на шаги. Доказательства проведены синтетическим методом.

Слайд 16

Дальнейшее обучение По ходу изучения геометрии эти вопросы разъясняются . Учителю следует иметь в виду, что аксиомы принимаются без доказательства не потому, что они очевидны, а потому что они суть первые предложения , для доказательства которых еще нет никакого исходного материала. Уделить внимание возникновению первых доказательств . Фалес Милетский первым начал игру в «докажи», «почему это так», а не готовый рецепт к действию (теорема о вертикальных углах ) .

Слайд 17

Методические рекомендации к из учению темы Б еседа о возникновении и развитии геометрии Показать модели плоских и пространственных фигур, выявить различие, ввести название раздела – планиметрия . Прямая, точка вводятся на наглядной основе с учетом представлений, сложившихся у учащихся в результате опыта и изучения математики в 1-6 классах Напомнить, что прямая безгранична , ее можно представить лишь мысленно, а на рисунке – часть прямой.

Слайд 18

Замечание отличие от пропедевтического этапа: п ростейшие понятия планиметрии – точка, прямая –предстают в новом виде , как основные понятия , свойства которых раскрываются в аксиомах .

Слайд 19

А) Практически отрабатываются знания о взаимном расположении точек и прямой . Читают по записи, выполняют запись по рисунку и характеризуют. Должны усвоить: на каждой прямой лежит сколько угодно точек и вне каждой прямой – тоже. Б) О проведении прямой через две точки . Практически . Э ти положения являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Сначала провести прямую через одну точку, убедиться, что их несколько, затем задать вторую точку и убедиться в единственности прямой . Сделать вывод: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну . Нарисовать образец. П рямую можно обозначать двумя большими латинскими буквами.

Слайд 20

- иллюстрация содержания аксиомы примерами, на моделях, в практической работе – формулировка – иллюстрация рисунком – краткая запись – анализ математического содержания. Методическая схема введения аксиом :

Слайд 21

Первые теоремы В) Случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости (на рисунках, практические работы, вопросы). Усвоить: две прямые либо имеют одну общую точку, либо не имеют общих точек . Здесь аксиома прямой используется при доказательстве первых предложений, которые еще не носят название теорем (от противного). При решении задач опираться на наглядные представления учащихся. Пример: Могут ли прямые ОА и АВ быть различными, если точка О лежит на прямой АВ? (Не могут, так как обе они проходят через точки А и О, а через две точки проходит только одна прямая).

Слайд 22

Методика введения понятий о простейших фигурах Отрезок, луч, угол – первые понятия, которым даются более или менее строгие определения – части прямой или плоскости, ограниченные точками или лучами . Для этого детально рассматриваются свойства расположения точек на прямой, прямых на плоскости. Цель : закрепить понятие отрезка, понятия луча, дополнительных лучей, угла как геометрической фигуры, внутренней и внешней области, его видов, обозначения луча и угла, с символической записью принадлежности.

Слайд 23

Отрезок Понятие отрезка ввести с помощью рисунка , выделив части: Две точки – концы отрезка, принадлежащие ему; Все точки, лежащие между его концами. Частью какой, известной нам фигуры является отрезок? (Прямой) Итак, отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками и включающая все точки, лежащие между его концами .

Слайд 24

Луч, угол Аналогично описательно вводится понятие луча, ( отметим точку на прямой, разобьет на две части – луча ) как части прямой, ограниченной одной точкой Понятие угла вводится формально-логически ( это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки ), при этом оно имеет двоякий смысл: Точка и два луча, из нее исходящие Угол с внутренней областью . В учебнике Атанасяна отражены оба подхода.

Слайд 25

Упражнения на готовых чертежах А В О А В В В А А О О О О О О О М М а а

Слайд 26

Теоремы Изучаются две первые теоремы о смежных и вертикальных углах. Углы смежные, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой . Терминов теорема, доказательство нет. Шаги рассуждений и обоснования не выделены. Доказательство просто и опирается на интуицию, здравый смысл. Если детализировать, то будет загромождено, можно представить: - Углы смежные - Одна сторона является продолжением другой, значит обе стороны лежат на одной прямой. - Если стороны угла лежат на одной прямой, то угол развернутый. - Его мера – 180. - Значит сумма углов – 180.

Слайд 1

Лекция №3 Методика изучения геометрических фигур

Слайд 2

План Трактовки понятия «фигура». Структурно-логическая схема основных классов геометрических фигур . Место и роль темы «Многоугольники». Смысловые особенности понимания термина «многоугольник». Пути введения понятия многоугольника и его видов, классификация. Треугольники и метод равенства.

Слайд 3

Трактовки понятия «фигура» Классическая Фигура мыслилась как нечто целое , не состоящее из точек, самостоятельный объект, но как место точек , место на котором или в котором лежат точки. Отрезок не состоит из точек как из песчинок, но вполне определяется своими точками. То есть геометрическое место точек= фигура .

Слайд 4

Трактовки понятия «фигура» Современная – теоретико-множественная: геометрическая – любое множество точек . Реализован лишь однажды в учебниках Колмогорова. Курс Погорелова «Всякую геометрическую фигуру представляем себе составленной из точек». Курс Атанасяна – формирование в процессе изучения фигур.

Слайд 5

Замечание Для того, чтобы иметь полные аксиоматические основания геометрии, нужно включить в них аксиоматику фигуры (основные объекты – точки и фигуры, основное отношение – точка принадлежит фигуре, аксиомы. То есть фигура – это то, что под этим названием удовлетворяет аксиомам.)

Слайд 6

Структурно-логическая схема основных классов геометрических фигур (Атанасян) ТОЧКА ПРЯМАЯ ЛОМАНАЯ ОКРУЖНОСТЬ КРУГ НЕ ПРОСТАЯ ЗАМКНУТАЯ МНОГОУГОЛЬНИК ВЫПУКЛЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК ТРАПЕЦИЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ПРЯМОУГОЛЬНИК РОМБ КВАДРАТ НЕ ВЫПУКЛЫЙ ОТРЕЗОК ПРОСТАЯ Начальные сведения из стереометрии: многогранники, тела вращения

Слайд 7

Место и роль темы «М ногоугольники » 7 класс - треугольники , виды, признаки равенства , 8 класс - четырехугольники и их свойства, подобие треугольников, площади многоугольников , 9 класс – прикладные вопросы – решение треугольников , правильные многоугольники, их связь с окружностью . Тема формирует мировоззрение (история, практические задачи)… Развивает логичность и доказательность мышления (определения, теоремы)… . Образовательное значение – применение свойств многоугольников при изучении других разделов планиметрии, курса стереометрии.

Слайд 8

Смысловые особенности понимания термина «Многоугольник» 1. Каркас без внутренней области. ( Атанасян, Погорелов ) . 2. Как часть плоскости , ограниченная простой замкнутой линией. Атанасян : «Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области , также называют многоугольником ». Погорелов : « … многоугольная область или плоский многоугольник ».

Слайд 9

Пути введения понятия многоугольника и его видов Абстрактно-дедуктивный (Колмогоров А.Н. ) 1. Общее понятие многоугольника. 2. Частные виды. Более совершенен логически : устанавливаются взаимосвязи частных видов многоугольников, вводятся все определения формально-логическим способом, через ближайший род и видов ые отличи я .

Слайд 10

Пути введения понятия многоугольника и его видов Конкретно-индуктивный Погорелов А.В. 1. Треугольники и четырехугольники, их свойства. 2. Общее понятие многоугольника. Понятие многоугольника усваивается более осознанно , благодаря изученным частным объектам. Атанасян Л.С. – комбинированный

Слайд 11

Классификация многоугольников Многоугольники классифицируются по числу углов . Первый вид – треугольник. Пропедевтический этап – дошкольное воспитание и начальная школа. Определение – конструктивно е (Атанасян). ПРИМЕЧАНИЕ: если понятия имеют взаимопересечения, удобно пользоваться таблицей.

Слайд 12

По углам По сторонам остроугольные прямоугольные тупоугольные Разносторонние Равнобедренные Неравно-сторонние Равно-сторонние Таблица

Слайд 13

Метод равенства О сновн ой метод доказательства теорем и решения задач – метод равенства . Центральный вопрос темы. Равенство треугольников – есть частный случай равенства фигур, таких, какие можно совместить наложением (Атанасян). Понятие наложение считается интуитивно ясным . Признаки равенства треугольников (устан авливают принадлежность данного объекта к определенному классу). Основные шаги доказательства состоят в последовательном наложении одного из треугольников на другой и доказательства совмещения их при этом.

Слайд 14

Алгоритм использования метода равенства треугольников 1. Указывается пара треугольников; 2. Выдвигается гипотеза об их равенстве; 3. Выделяются три пары соответственно равных элементов этих треугольников; 4. Выбирается признак равенства, в котором присутствуют именно эти пары соответственно равных элементов; 5. На основании доказанного равенства треугольников делается вывод о равенстве тех их соответственных элементов , которые нужны для решения задачи или доказательства теоремы.

Слайд 15

Задачи на готовых чертежах Найти пары треугольников и доказать их равенство.

Слайд 16

Теорема Пифагора Теорема Пифагора дает возможность для развития познавательной активности при помощи истории теоремы, различных способов доказательства, применения на практике.

Слайд 17

Методика изучения четырехугольников Определение четырехугольника в водится в зависимости от места введения многоугольника. Как его частный вид (Атанасян), как фигура , состоящая из точек и отрезков (Погорелов). Основание для классификации – наличие параллельных сторон. Для доказательства теорем широко используются признаки равенства треугольников, свойства и признаки параллельных прямых, весь изученный ранее материал.

Слайд 18

Методическая схема введения частных видов четырехугольников: 1. Дается определение (через ближайший род - четырехугольник и видовые отличия) 2. У казываются элементы (вершины, стороны, диагонали) 3. Формулируются и доказываются свойства и признаки; 4.Рассматриваются задачи на построение этого четырехугольника.

Слайд 1

Лекция №4 Методика изучения геометрических построений в курсе геометрии

Слайд 2

План Место и роль темы. Периоды и этапы изучения геометрических построений. Пропедевтический. Основной. Обобщающий. Прикладной. Этапы решения задачи на построение.

Слайд 3

Место темы В современных программах геометрические построения не выделены в качестве одной из содержательно-методических линий в отличие от линий: геометрические фигуры и их свойства, геометрические величины. Геометрические построения лишь сопровождают изучение геометрических фигур .

Слайд 4

Роль геометрических построений Обучающие функции: - Расширение, углубление, закрепление теоретических знаний; - Формирование графических умений и навыков . Развивающее значение: 1. Развитие пространственного мышления; 2. Развитие творческого мышления; 3. Развитие конструктивных способностей. Решение любой задачи на построение требует от учащихся умений владеть чертежными инструментами и выполнять простейшие построения.

Слайд 5

Д ва периода изучения геометрических построений 1 период. Построения на плоскости. 1. Этап. Пропедевтический . Подготовка ведется в начальной школе (линейка, угольник, циркуль). В курсе 5-6 классов : навык и работы с простейшими чертежными инструментами (линейкой, угольником, транспортиром, циркулем), Н авыки построения простейших геометрических фигур . З наком ство с устройством инструмента, выяснить, какие геометрические фигуры можно построить или измерить с его помощью.

Слайд 6

Трудности и ошибки обусловлены : Для линейки : неумением совместить метку начала отсчета на линейке с началом измеряемого отрезка . Н еумением ориентироваться по шкале, с незнанием единиц измерения и соответствующих отрезков. Для транспортира : неумением совместить центр с вершиной угла; Изменением направления отсчета; Непривычной системой счисления: основная единица измерения – 180-я часть развернутого угла .

Слайд 7

2. Этап. Основной . В 7-м классе геометрические построения начинают применяться к решению конструктивных задач . Учащиеся должны представлять геометрические образы каждого инструмента: Односторонняя линейка – прямая; Двусторонняя линейка – пара параллельных прямых, отстоящих на данное расстояние; Угольник – пара взаимно-перпендикулярных прямых; Циркуль – окружность любого радиуса. О тработк а навыков владения чертежными инструментами . В ыделяется основной набор чертежных инструментов – циркуль и линейка, оговариваются их конструктивные возможности.

Слайд 8

3 Этап. Обобщение элементарных построений Построение угла и отрезка, равных данному, окружности данного радиуса; Деление отрезка и угла пополам; Построение через данную точку на и вне прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой; Построение треугольника по трем элементам, построение касательной к окружности через точку на и вне ее.

Слайд 9

Элементарные построения являются базой для решения более сложных задач на построение. Д олжны быть освоены учащимися на уровне навыка : выделен четкий алгоритм каждого построения, выполнение алгоритма доведено до автоматизма . Полезно этот материал рассмотреть после темы «Окружность», что дает возможность теоретического обоснования построений.

Слайд 10

4. Этап. Прикладной. Методика обучения решению задач на построение Понятие задачи на построение: к задачам на построение относят те задачи, в которых по некоторым данным элементам требуется построить искомую фигуру . Виды задач определяются з адание м элементов : Величиной – тогда задача является метрической . Положением на плоскости – тогда задача является позиционной . Часть элементов задана величиной, часть – положением на плоскости; тогда задача называется комбинированной .

Слайд 11

Пояснение Если задача позиционная , то построения выполняются непосредственно на заданных фигурах , а не на равных им (не перечерчиваются в другом месте тетради или доски).

Слайд 12

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИЗ : Отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Предполагается, что задача уже решена, создается чертеж-набросок . Возможны дополнительные построения. Составление плана построения.

Слайд 13

Этапы решения задачи на построение (продолжение) ПОСТРОЕНИЕ : указание последовательности основных построений достаточных для построения фигуры. Графическое оформление шагов - чертеж-построение . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО : установление соответствия построенной фигуры требованиям задачи.

Слайд 14

ИССЛЕДОВАНИЕ : установление условия разрешимости и числа решений для каждого случая. Планомерность достигается исследованием ход а построения: перебрать последовательно шаги построения, установить, всегда ли выполнимо на каждом шаге построение, сколькими способами. Этапы решения задачи на построение (продолжение)

Слайд 15

2 период. Построения в пространстве Элементы стереометрии внесены в курс основной школы. 9 класс. Построение изображений геометрических тел (параллельные ортогональные и косоугольные проекции). Воображаемые построения . В воображении устанавливается лишь факт существования решения, само построение искомого элемента не выполняется . Решение задачи сводится к перечислению такой совокупности геометрических операций , фактическое выполнение которых (в случае, если бы их можно было выполнить) приводит к построению искомого элемента . Эффективные построения (на проекционном чертеже: метрические и позиционные). Элементы, определяемые условием, задаются на изображении оригинала .

Слайд 16

Задача На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача? Задача позиционная, специально оговорено в условии требование исследования. Значит это – один из основных этапов, используем метод пересечения множеств .

Слайд 17

Анализ устный, выделяются свойства искомой точки: 1. принадлежит окружности; 2. одинаково удалена от прямых а и b , то есть принадлежит биссектрисам углов, образованных прямыми. То есть решение – точка пересечения окружности и биссектрисы. Четкий план : построить биссектрисы углов. Найти точки пересечения.

Слайд 18

Построение . Доказательство (только для построенного случая): точки А и В являются искомыми, так как удовлетворяют условия задачи: 1. лежат на данной окружности (по построению); 2. равноудалены от двух пересекающихся прямых а и B , так как принадлежат биссектрисе угла, образованного прямыми а и b . Исследование : поскольку две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов, то биссектрис этих углов тоже две. Количество решений определяется количеством общих точек окружности и биссектрис. 1. окружность пересекается с двумя биссектрисами – 4 решения. 2. пересекается с одной, а другой касается – 3 решения. 3. касается двух – 2 решения. 4. касается одной, а другой нет – 1 решение. 5. не пересекается – нет решений.

Слайд 1

Лекция №5 Методика изучения геометрических преобразований

Слайд 2

План Опорный конспект к теме Геометрические преобразования как функции Современный подход к построению курса математики Трудности в усвоении геометрических преобразований Этапы изучения.

Слайд 3

Неопределяемые понятия множество соответствие Отображение «в» Отображение «на» сюрьекция Инъекция «разным -разные» Биекция Взаимно однозначное отображение Преобразование Взаимно однозначное отображение множества на себя Движения Сохраняют расстояния между точками, форму, не деформируют фигуру Поворот Симметрия Осевая, центральная Параллельный перенос Гомотетия Меняет размеры, сохраняет форму Подобие Аффинные, проективные преобразования, топология и т.д. Декартово произведение подмножество

Слайд 4

Определения Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В, называется ОТОБРАЖЕНИЕМ множества А в множество В. Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В и, кроме того, каждому элементу множества В отвечает хотя бы один элемент множества А, называется ОТОБРАЖЕНИЕМ множества А на множество В. Отображение называется ИНЪЕКТИВНЫМ, если любые разные элементы множества А имеют различные образы.

Слайд 5

Биекция Взаимно однозначное отображение Поворот Симметрия Осевая, центральная Параллельный перенос Подобие Движения Сохраняют расстояния между точками, форму, не деформируют фигуру Преобразование Взаимно однозначное отображение множества на себя Гомотетия Меняет размеры, сохраняет форму

Слайд 6

Геометрические преобразования как функции Одна из основных идей современной математики – идея отображения множеств . Общее понятие отображения множеств – общее понятие функции. Две модели : геометрическое преобразование и числовая функция. О тличаются природой элементов области определения и области значений, способом задания соответствия .

Слайд 7

Геометрические преобразования и числовые функции К аждое геометрическое преобразование представляет собой некоторую функцию, области определения и значений ее являются точечными множествами. Ч исловая функция «преобразовывает» (как и геометрическое преобразование) одно множество – числовое, в другое (или в это же) по определенному закону.

Слайд 8

Идея построения курса математики на теоретико-множественной основе В 60-70 годах идея отображения была положена в основу школьного курса математики. На этой идее строился курс алгебры – функции рассматривались как отображения числовых множеств. В геометрии основное внимание уделялось изучению геометрических преобразований плоскости, на этой основе строилось и изложение традиционных тем: «Четырехугольники», «Векторы» и др.

Слайд 9

Структура изложения: Начальные геометрические понятия. Геометрическая фигура – множество точек. Примеры – окружность, круг, сфера. Структура определений. Неопределяемые понятия. Аксиомы. Отрезок и луч. Координаты на прямой. Ломаная. Плоскость. Планиметрия. Область. Многоугольник. Полуплоскость. Угол. Конгруэнтность фигур и перемещения (поворот, симметрия), примеры симметрии фигур. Параллельность и параллельный перенос. (отношения рефлексивности, транзитивности, симметричности, эквивалентности). Многоугольники (треугольники, четырехугольники, площади) Векторы . Подобие и гомотетия (свойства, подобные многоугольники) Повороты и тригонометрические функции Метрические соотношения в треугольнике. Вписанные и описанные многоугольники. Начальные сведения из стереометрии. Опыт показал, что введение в основу курса геометрии идеи отображений усложнило систему понятий, ослабило формирование навыков решения задач

Слайд 10

Трудности в усвоении геометрических преобразований 1. При изучении геометрических преобразований ряд трудностей связан с терминологией : мы изучаем геометрические преобразования на плоскости. Речь идет о преобразовании множества точек плоскости , что каждой точке плоскости ставится в соответствие точно одна точка этой же плоскости по определенному закону или правилу. Кратко множество точек плоскости называют просто « плоскостью » . Без указанных замечаний, у учащихся возникнут затруднения, ввиду того, что они под плоскостью понимают не множество точек, а носителя этого множества, который не подвергается никакому преобразованию.

Слайд 11

Трудности в усвоении геометрических преобразований 2 . Учащиеся затрудняются ответить на вопрос, чем определяется данное геометрическое преобразование, или когда его можно считать заданным. Помочь может рассмотрение преобразования как функции . Функцию можно считать заданной, если задана область определения ; указано правило , по которому для каждого значения аргумента можем определить соответствующее ему значение функции.

Слайд 12

Пример Например. «Даны точка О и прямая b . Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О». П реобразованию подвергается множество точек плоскости . С каждой точкой А плоскости сопоставляется точка А’ этой же плоскости по следующему правилу: 1) O  АА ‘, 2) ОА=ОА’ .

Слайд 13

Трудности в усвоении геометрических преобразований 3. Трудности связаны с неумением учащихся определять образ отдельной точки в данном преобразовании и непониманием того, что образ фигуры в этом преобразовании есть множество образов всех ее точек . При изучении геометрических преобразований строят образы не только отдельных точек плоскости, но и определенных подмножеств, определенных фигур (отрезков, треугольников).

Слайд 14

Пример Построить образы фигур

Слайд 15

Трудности в усвоении геометрических преобразований 4. И спользование геометрических преобразований в качестве метода доказательства теорем и решения задач. Причина психологическ ого характер а : геометрические преобразования нельзя наблюдать , построить (в отличие от равных или подобных треугольников), их можно только вообразить. Пространственное воображение развито у подростков недостаточно. Динамическое моделирование на ЭВМ оказывает помощь.

Слайд 16

Задача Построить трапецию по основаниям и диагоналям.

Слайд 17

Этапы изучения в современных учебниках Пропедевтический Начальная школа. 5-6кл. Интуитивные представления о симметричных фигурах, построение по клеточкам симметричных фигур.

Слайд 18

Основной Атанасян Л.С. П. 47. Осевая и центральная симметрия. Связан ы с возможностью обогащения свойств изученных фигур: неразвернутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольник, прямоугольник и ромб, квадрат, окружность. Выясняется отсутствие оси симметрии у параллелограмма (при наличии центра симметрии), разностороннего треугольника. Центр симметрии не имеет треугольник. Определения явно не выделены , условия задания симметрии не акцентированы .

Слайд 19

Завершающий В новых программах добавлен стереометрический материал: многогранники, круглые тела, формула объема прямоугольного параллелепипеда. В связи с этим сокращен материал, посвященный движениям. Глава 13. Движения. Термин «геометрические преобразования» не использ ует ся. Только « отображение плоскости на себя » и « движение » . Вновь с использованием новой терминологии рассматрива ются осевая и центральная симметрия как движения. Параллельный перенос, поворот ввод ятся впервые, условия их задания сформулированы, но акценты явно не расставлены.

Слайд 20

Выводы Современные курсы планиметрии не строятся на основе геометрических преобразований , общее понятие о геометрических преобразованиях плоскости не вводится . Программа ориентирует на изучение частных видов геометрических преобразований: движений ( параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия) и подобия фигур . Однако, изучение геометрических преобразований носит изолированный характер, они очень мало взаимосвязаны с другими вопросами курса геометрии основной школы

Слайд 21

Выводы У Атанасяна – носит иллюстрирующий характер, у Погорелова рассматривается не преобразование плоскости, а преобразование фигур , при изучении преобразования фигур широко используется координатный метод .

Слайд 1

Лекция №6 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Слайд 2

План Роль изучения величин в школьном курсе математики. Общее понятие величины. Понятие геометрической величины. Требования программы. Проблема измерения величин. Виды величин. Аксиоматика. Этапы изучения.

Слайд 3

Математика позволяет изучать и описывать явления окружающего мира. Количественные модели того или иного процесса являются наиболее адекватными . Характерным общим понятием всех таких моделей является понятие « величина ». Проблема изучения величин в школе выделена в одну из основных содержательно-методических линий курса геометрии основной школы. Роль изучения величин в школьном курсе математики

Слайд 4

Понятие величины Понятие величины - одно из важнейших общенаучных понятий . В физике величины – скорость, сопротивление, в математике – длина, площадь, объем; в информатике – объем информации; в экономике – затраты, выручка, прибыль, себестоимость; в технике – производительность, расход топлива; в географии – объем осадков, атмосферное давление; в химии – молярная масса, молярный объем; в психологии – коэффициент интеллекта и др.

Слайд 5

Понятие величины В словаре С.И. Ожегова : «Величина то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить ». А.Н. Крылов писал: «Надо помнить, что есть множество «величин», то есть того, к чему приложены понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеряемых , например ум и глупость; красота и безобразие; храбрость и трусость; находчивость и тупость и т.д.; для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть числами ».

Слайд 6

Понятие величины Общее понятие величины – непосредственное обобщение конкретных величин. Интуитивно : величина может быть больше или меньше , две однородные величины могут складываться , величину можно делить на произвольное натуральное число, ее можно измерить (сравнить с другой величиной того же рода, принятой за единицу измерения). Однако сформулировать ответ на вопрос, что такое величина в математических терминах непросто и в рамках обязательной программы школьное обучение не должно давать ответ на это вопрос. В обучении имеют дело с конкретными величинами.

Слайд 7

Замечание Позже описательно будут перечислены аксиомы – свойства общего понятия величины и отдельно представлены четыре аксиомы меры величины , которые возникают в связи с измерением величин.

Слайд 8

Величина в геометрии П онятие величины устанавливает взаимосвязи между важнейшими математическими понятиями - числом и фигурой . При этом : Величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объектов, то есть математизировать знания об изучаемом объекте; Количественное описание – величина – представляется не только числом , но и обязательно единицей измерения .

Слайд 9

Величины в геометрии основной школы В курсе геометрии основной школы изучаются следующие геометрические величины : длина отрезка, величина угла, длина окружности, длина дуги, площади многоугольника и его частных видов (прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции), площадь круга.

Слайд 10

Замечание В большинстве школьных учебников не делается различия между поняти ем конкретной величины (например, «длина») и ее числовым значением , полученным после измерения. Поэтому каждое из понятий «длина», «площадь», «объем» определяется как вещественное число, удовлетворяющее аксиомам меры .

Слайд 11

Требования программы Т ребования к подготовке учащихся, касающейся изучения и измерения величин в основной школе: Ученик должен владеть практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур, а также для нахождения длин отрезков и величин углов ; Решать задачи на вычисление геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства фигур и формулы , приводя аргументацию в ходе решения задачи.

Слайд 12

Проблема измерения величин Д ва основных вопроса: 1) что такое величина (длина, площадь и др.) - формально-логическая сторона проблемы; 2) с помощью каких инструментов измеряется величина; по какому закону, правилу, формуле вычисляется числовое значение этой величины - прикладная сторона проблемы. В школе основной упор делается на прикладную сторону; ученики имеют дело с конкретными величинами, иллюстрирующими общее понятие величины . Д ля профильных специализированных классов важен и формально-логический аспект проблемы .

Слайд 13

Виды величин. Аксиоматика О пределенные классы величин (класс скалярных величин, класс векторных величин и др.) имеют чаще всего аксиоматическое определение. Система скалярных величин задается аксиоматически следующими свойствами : сравнимостью, аддитивностью, упорядоченностью, коммутативностью и ассоциативностью относительно сложения, монотонностью, существованием разности, возможностью измерения.

Слайд 14

Замечание Эти свойства в явном виде не формулируются в школе, но выявляются в ходе решения практических задач непосредственно при работе с моделями либо с числовыми значениями величин.

Слайд 15

Аксиомы меры Свойства величин, которые проявляются в процессе измерения , описываются с помощью аксиом меры : - нормируемости : существование фигуры с мерой, равной единице; - неотрицательности : каждой фигуре ставится в соответствие неотрицательное число; - инвариантности : равные фигуры имеют равные меры; - аддитивности : мера фигуры, составленной из конечного числа непересекающихся фигур, равна сумме мер этих фигур. В курсе геометрии основной школы свойства , выражающие математическую сущность аксиом меры , должны быть известны учащимся. Они в явном или неявном виде находят применение при изучении конкретных геометрических величин.

Слайд 16

Замечание В обучении допускается для упрощения языка отождествление меры величины с самой величиной (меры длины с длиной, меры площади с площадью, меры объема с объемом). Поэтому говорят «длина отрезка – действительное число» вместо «мера длины отрезка…» В качестве основных этапов изучения величин можно выделить пропедевтический и систематический этапы.

Слайд 17

Этапы изучения Пропедевтический этап - курс математики 1-6-х классов . Р азвитие интуитивных представлений о величинах и их практическом измерении : непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание , определение объема переливанием , температуры, измерение величин углов с помощью транспортира и др. Таким образом, учащиеся усваивают, что для величин существуют отношения равенства и неравенства, их можно складывать, делить на доли, измерять. То есть на интуитивном уровне отрабатываются свойства величины .

Слайд 18

Пропедевтический этап Ш аги формирования представлений учащихся о величинах: 1. Выяснение и уточнение представлений школьника о данной величине (обращение к опыту ребенка). 2. Сравнение однородных величин (визуально, наложением, приложением, путем использования различных мерок). 3. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором. 4. Формирование измерительных умений и навыков.

Слайд 19

Пропедевтический этап 5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования . 6. Знакомство с новыми единицами измерения величин, перевод однородных величин в другие, выраженные в других единицах измерения . 7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований . 8. Умножение и деление величин на число.

Слайд 20

Пропедевтический этап Р асширение объема геометрических знаний учащихся связано с понятием угла и с задачей измерения величин углов . В ведение понятия угла : его необходимо мыслить сразу неограниченным , величина угла не зависит от «длины сторон» угла. У чащиеся приходят к мысли о величине угла и специальном инструменте для ее измерения (транспортире). Терминологическая трудность : специального термина для обозначения величины угла не существует .

Слайд 21

Систематический этап Систематический этап изучения величин относится к курсу геометрии основной школы . Э тап изучения методов косвенного измерения величин . Требования к учащемуся: достаточно отчетливо е представлени е о сущности процесса измерения , о тесной связи понятия величины с понятием числа . Знание факта , что числа в своем историческом развитии возникли в результате двух основных операций: счета предметов и измерения величин .

Слайд 22

Сущность процесса измерения Измерить величину – это значит, сравнить ее с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения . Этапы п роцесс а измерения величин: - Из данного рода величин выбирается некоторая величина, которую называют единицей измерения - Осуществляется процесс измерения – сравнение данной величины с выбранной единицей измерения . В результате измерения величины находят некоторое число – числовое значение данной величины при выбранной единице измерения.

Слайд 23

Отличия Следует четко различать геометрическую фигуру, величину, относящуюся к фигуре и числовое значение этой величины. Геометрическая фигура Величина Значение величины 1. Отрезок АВ Длина отрезка АВ Числовое значение длины отрезка АВ Обозначение: [АВ] Обозначение: | AB |=4см 4 2. Угол АВС Величина угла АВС Числовое значение величины угла АВС Обозначение:  АВС Обозначение:  АВС=60  60

Слайд 24

Систематический этап Р азвиваются знания и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса: изучаются факты, позволяющие от измерений перейти к вычислению величин с помощью формул; основное внимание здесь уделяется вычислению по формулам площадей фигур. О тражение получает и формально-логическая сторона вопроса: изучаются основные свойства длин и площадей - аналоги аксиом меры .

Слайд 25

История Первые единицы длины, как на Руси, так и у других народов древности, были связаны с различными частями тела человека: ширина ладони – 1 ладонь, 7 ладоней – 1 локоть, длина первой фаланги большого пальца руки – 1 дюйм, расстояние между концами пальцев разведенных в стороны рук – маховая сажень, расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки - косая сажень. - «Локоть» – мера длины, которой купцы пользовались для измерения ткани, египтяне измеряли локтями подъем Нила; - «ладонями» английские крестьяне измеряли высоту лошадей; - «дюйм» - голландское название. Эта мера использовалась для измерения небольших предметов (вспомнить сказку Г.Х.Андерсена «Дюймовочка» ) .

Слайд 26

История Также известны другие единицы измерения: ярд (этой мере длины 900 лет. Она была равна расстоянию от конца носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки). Один ярд равен трем футам, фут – «ступня», равен 12 дюймам и др. Измерения давали разные результаты, потому что у всех людей разные по размеру руки. Это заметил английский король Эдуард II , который установил «законный дюйм, равный длине трех ячменных зерен, выложенных в ряд». В Россию дюйм пришел в царствование Петра I . Он равен 2см 5мм.

Слайд 27

История У нас сейчас принята система измерений длины, в основе которой лежит метр и его доли – метрическая система. Ее создали французы. В 1792г. Академия наук измеряла длину земного меридиана, проходящего через Париж. В результате огромной работы была найдена длина парижского меридиана в «туазах». Парижская Академия наук предложила принять за единую меру длины новую единицу измерения – «метр», равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана. В России первым применил метр как единицу длины Н.И. Лобачевский. Инициаторами введения метрической системы мер как международной были русские ученые и, главным образом, Б.С. Якоби. Обязательной в нашей стране эта система стала после 1918г.

Слайд 28

История В основной школе, после ознакомления с иррациональными числами, рассказ о проблеме соизмеримости величин. Подобно тому, как единица была общей мерой целых чисел, величины должны иметь общую единицу измерения – быть соизмеримыми, каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами ни к чему не привела. Решающую роль в этом сыграло открытие пифагорейцами иррационального числа. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно  2; оно не выражалось в виде отношения целых чисел. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются несоизмеримыми. В связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности.

Слайд 1

ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Слайд 2

Сущность геометрии Геометрия изучает пространственные свойства предметов (форму и размеры), оставляя в стороне все их остальные признаки .

Слайд 3

«Геометрия была открыта египтянами и возникла из измерения земли. Это измерение было им необходимо вследствие разливов Нила, постоянно смывающих границы (участков земли). Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения, и наконец, делается достоянием разума». Евдем Родосский (4 в до н.э.) Исторический обзор

Слайд 4

Исторический обзор Позднее, начиная с VII в. до н. э ., геометрия усиленно развивалась греческими математиками, сначала Фалесом , Пифагором, Демокритом и Платоном , а затем Евдоксом, Аполлонием, Эратосфеном и Архимедом . Достижением разума геометрические знания стали в логической системе « Начал » Евклида .

Слайд 5

Евклид Аксиоматический метод впервые был применен при изучении геометрии александрийским ученым Евклидом , греческим ученым, жившим в III в. до н.э. Известно, что он родом из Афин , был учеником Платона . По приглашению Птолемея I Сотера переехал в Александрию и там организовал математическую школу. Как свидетельствует Папп Александрийский, Евклид был человеком мягкого характера, очень скромным и независимым.

Слайд 6

Евклид Однажды царь Птолемей спросил Евклида: «Нет ли в геометрии более короткого пути, чем тот, который предложен Евклидом в его книгах?» На это Евклид якобы ответил: «Для царей нет особого пути в геометрии!»

Слайд 7

П остроение курса на содержательной основе (материал располагается в систематическом порядке), система определяется трактовками фундаментальных понятий, развертыванием последующих определений и доказательством, система аксиом не вводится , свойства «читаются из чертежа». На дедуктивном подходе (на аксиоматике, вводится постепенно , степень доказательности постепенно усиливается). На дедуктивной основе (система аксиом вводится в начале курса, раскрывается смысл терминов теорема, аксиома, доказательство). По возможности проводятся сразу строгие доказательства. Обзор строения школьной геометрии

Слайд 8

Логическое строение курса геометрии Аксиоматический метод Геометрия – единственная школьная дисциплина, которая строится на дедуктивно-аксиоматической основе и поэтому предъявляет повышенные требования к уровню развития логического мышления.

Слайд 9

Суть аксиоматического метода изложения геометрии: Выделяется некоторое число основных (неопределяемых) понятий (они заимствованы их опыта); Свойства их описываются с помощью некоторого числа утверждений-аксиом ; Все остальные понятия определяются через основные неопределяемые или ранее введенные Все остальные утверждения строго (с помощью дедуктивных рассуждений) доказываются в виде теорем.

Слайд 10

Способ построения теории планиметрии Аксиоматический метод Основания планиметрии Логический путь Утверждение Основные понятия объекты отношения Точки Отрезки Фигуры Точка принадлежит фигуре Точка является концом отрезка Два отрезка равны Связи отрезков и точек Равенства отрезков Непрерывности Плоскости Параллельности Евклида линейные Аксиомы Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую Аксиома разбиения плоскости. Аксиома откладывания угла. Аксиома равенства отрез углов Если дана бесконечная последовательность отрезков и каждый отрезок содержит последующий отрезок, то существует точка, принадлежащая всем отрезкам. Два отрезка, равные одному и тому же равны. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один Если точка С лежит внутри АВ, а точка С 1 – внутри отрезка А 1 В 1 и АС=А 1 С 1 , СВ=С 1 В 1 , то АВ=А 1 В 1 . Для каждых двух отрезков АВ и РО существует отрезок АС, содержащий АВ и составленный из конечного числа отрезков, равных РО. Существует по крайней мере две точки. Для каждых двух точек существует единственный отрезок, концами которого являются данные точки. У каждого отрезка есть два и только два конца, а также существуют и другие принадлежащие ему точки. Точка, лежащая внутри отрезка разбивает его на два отрезка. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов. Объединение двух отрезков, имеющих две общие точки, является отрезком, его концами служат два из концов этих отрезков.

Слайд 11

АКСИОМЫ Положение, принимаемое без доказательства в качестве исходного, отправного для данной теории, в частности для геометрии, называется аксиомой . Слово «аксиома» происходит от греческого и означает «достойное признания» ввиду его очевидности, безусловное. Аксиомы говорят об основных понятиях теории. Совокупность аксиом , лежащих в основаниях теории, называют аксиоматикой этой теории; говорят так же «система аксиом». К аксиоматике можно относить и основные понятия

Слайд 12

Основные понятия Понятия могут быть двух типов : одни описывают объекты , такие как точка, прямая, круг и др., другие описывают отношения объектов друг к другу, такие как прямые пересекаются, точка лежит внутри круга. Основные понятия при изложении геометрии можно выбирать по-разному , например, отрезок , но чаще – прямая . В качестве аксиом также можно брать разные положения. Аксиоматика излагается так, что сначала перечисляются основные понятия, а потом формулируются аксиомы .

Слайд 13

Доказательство Доказательством называется, вообще, убедительное рассуждение. Положение (утверждение) теории, которое доказывается или подлежит доказательству , называется теоремой . При строго логическом изложении доказательство должно опираться только на установленные положения . А так как они, в свою очередь, тоже должны на чем-то основываться, то приходим к тому, что в основе должны лежать некоторые положения, принимаемые без доказательства , то есть аксиомы.

Слайд 14

Определение Обычно определение состоит в том, что определяемое понятие разъясняется через другие , можно сказать, к ним сводится. Но нельзя сводить одни понятия к другим до бесконечности . Поэтому должны быть исходные понятия, которые принимаются без предварительных определений - неопределяемые . Все, что от них требуется, высказывается в аксиомах (поэтому говорят, что аксиомы служат скрытыми определениями основных понятий).

Слайд 15

Уровень развития абстрактного мышления недостаточен для усвоения этой формально-логической схемы геометрии. Поэтому в 7 классе изложение материала практически во всех современных учебниках не ведется аксиоматически. Дается лишь представление об аксиоматическом изложении: роль доказательств постепенно усиливается , определения становятся корректней. Построение школьного курса

Слайд 16

Подходы к пониманию неопределяемых понятий 1. Количество измерений Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она принадлежит, лишаем ее толщины. Линию лишаем толщины и ширины. Точку – измерений. 2. Возможность являться границей Также точка – граница линии, линия – граница поверхности, поверхность – граница тела. 3. Порождение движением. Также точка движением своим порождает линию, линия движением порождает поверхность, поверхность порождает тело. 4. Практические представления Точка – прокол иглой, линия – нить, поверхность – стена, крыша.

Слайд 17

Другие подходы Формально-логический Полный отказ от интуиции . Понятия точка, прямая определяются аксиомами. Интуитивно-экспериментальный Геометрические факты устанавливаются путем эксперимента , логические связи отсутствуют.

Слайд 1

Лекция №2 Теорема Эйлера

Слайд 2

Опорные знания Замечательные точки в треугольнике Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Точка пересечения высот – ортоцентр . Соединяя основания высот получим ортотреугольник . Точка пересечения медиан – центроид . Соединяя середины сторон треугольника получим серединный треугольник .

Слайд 3

Исследовательская работа, выдвижение гипотезы Начертите произвольный треугольник АВС . Постройте в нем ортоцентр . Постройте центроид . Постройте центр описанной окружности . Посмотрите на расположение трех построенных точек. Выдвиньте гипотезу об их расположении. Что можно предположительно сказать о расстоянии между этими точками? Уточните гипотезу .

Слайд 4

Эвристическая беседа Сначала рассмотрим отношение длин отрезков. Какой математический метод, как правило, используется при обосновании отношений отрезков? В каких теоремах идет речь об отношении отрезков? Метод подобия. В теоремах о признаках подобия треугольников. О пересечении медиан. О средней линии. О биссектрисе угла треугольника. Есть ли кажущиеся подобными треугольники, в которых сходственными сторонами были бы отрезки HG и GO ? Если доказать подобие треугольников, то эти стороны будут пропорциональны. Как доказать подобие треугольников? Надо воспользоваться одним из признаков. Выясним, какие соответствующие элементы двух треугольников можем найти. Будем отсеивать ненужные варианты.

Слайд 5

Подзадача Постройте серединный треугольник. Как он соотносится с исходным треугольником? Каков коэффициент подобия? В треугольнике АВС AD – высота. В треугольнике А ’ В ’ С ’ A’D’ – высота. Соответствующие отрезки в подобных треугольниках пропорциональны. Значит высоты исходного и серединного треугольников относятся как 2:1, как и их части АН и А ’ О.

Слайд 6

План Установить подобие треугольников AHG и A’OG , воспользовавшись свойством медиан, подобием исходного и серединного треугольника, равенством накрест лежащих углов. Из подобия сделать вывод о пропорциональности HG и GO . Доказать, что три точки лежат на одной прямой, или иначе… отрезки, принадлежащие сторонам угла, составляют развернутый угол.

Слайд 7

Подзадача Доказать, что если два угла равны и пара их сторон образует дополнительные лучи, то пара других сторон так же образует дополнительные лучи, то есть развернутый угол. х х А О В С D

Слайд 8

Доказательство: AD  BC, A’O  BC , то AD||A’O - как два перпендикуляра к одной прямой.  HAG=  GA’O – как накрест лежащие углы при AD||A’O и секущей AA’ . 3. AG:GA’=2:1 – по теореме о пересечении медиан треугольника. 4.  АВС  A’B’C’ по третьему признаку подобия, стороны ABC пропорциональны средним линиям. k=2 . Тогда пропорциональны высоты и их соответствующие части: AH:A’ О =2:1.  AHG  GOA’ ( по первому признаку подобия) , k=2, тогда HG:GO=2:1.  HGA=  OGA’ ( из подобия), A,G,A’ – лежат на одной прямой, то H,G,O – лежат на одной прямой (см. подзадачу).

Слайд 9

Теорема Чевы Опорные знания Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется ЧЕВИАНОЙ . Прямые конкурентны , если все они проходят через одну точку. Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников .

Слайд 10

Свойство пропорции

Слайд 11

Формулировка Если три чевианы AX, BY, CZ треугольника АВС конкурентны, то |BX|:|XC| * |CY|:|YA| * |AZ|:|ZB|=1 X B A C Z Y P

Слайд 12

Поиск решения Соотнесем аналитическую запись и чертеж. В состав каких фигур входят отрезки, составляющие отношения? Например, ВХ и ХС? Чем являются эти отрезки в треугольниках? В чем особенность этих пар треугольников? С отношением каких величин связано отношение оснований треугольников с равными высотами? Выразим отношения через площади треугольников сначала с вершиной А, затем Р.

Слайд 13

Доказательство 4. Перемножим выражение отношений отрезков через площади треугольников.

Слайд 14

B A C

Слайд 15

Н A B C D E

Слайд 16

Н G A B C D E B’ A’

Слайд 17

Н G O A B C D E B’ A’

Слайд 18

Н G O A B C D E B’ A’

Слайд 19

Гипотеза 1 Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой.

Слайд 20

Н G O A B C D E B’ A’

Слайд 21

Гипотеза 2 Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Слайд 22

Н G O A B C D E B’ A’

Слайд 23

Н G O A B C D E B’ A’ D’