Дистанционное обучение. Задания по математике для групп первого курса (Тт1-41, Тп1-06, Тт1-43)
учебно-методический материал по математике (11 класс)

Слайд 1

Понятие предела функции

Слайд 2

Определение Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 . Функция f имеет предел в точке x 0 , если для любой последовательности точек x n , n = 1, 2,..., x n ≠ x 0 , стремящейся к точке x 0 , последовательность значений функции f (x n ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x 0 , (или при x → x 0 ) при этом пишется у х О х 0 А

Слайд 3

Определение Число А называется пределом функции f в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x 0 , удовлетворяющих условию | х — x 0 | < δ, x ≠ x 0 , выполняется неравенство | f (x) — A | < ε. у х О х 0 А х 0 +δ х 0 -δ А+ ε А- ε

Слайд 4

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (х α ), показательная функция (a x ), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Слайд 5

Примеры функций, имеющих предел в точке у = x 2 Предел функции при x → 2 равен 4 ( при x → 2 значения функции → 4). Предел функций при x → 0 равен 0.

Слайд 6

х О а у А у х О а у х О 1 -1 Примеры функций, не имеющих предел в точке

Слайд 7

Свойства предела функции в точке Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем То если B ≠ 0 и если g ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

Слайд 8

Вычисление предела функции в точке Найдем Предел числителя Предел знаменателя . Используя теорему о пределе частного, получим Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Слайд 9

Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/( x -3) является бесконечно большой величиной при x →3. Тогда

Слайд 10

Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности. Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель на х 2

Слайд 11

Разделим числитель и знаменатель на х 4

Слайд 12

Разделим числитель и знаменатель на х 2 подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число , ноль или бесконечность.

Слайд 13

Вычислить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0 Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители . Очевидно, что можно сократить на (х+1) : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Слайд 1

Производная

Слайд 2

Понятие производной Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f ′(x) = lim ∆ f ∆ x ∆ x →0 Нахождение производной называют дифференцированием

Слайд 3

Понятие производной f ′(x) = lim ∆ f ∆ x ∆ x →0 х 0 х 0 + ∆ х f(x 0 ) f(x 0 + ∆ х ) ∆ х х у 0 ∆ f у = f(x)

Слайд 4

Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) . Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) . Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) . Составить отношение . Вычислить lim . Этот предел и есть f ′ (x 0 ) . Алгоритм нахождения производной ∆ f ∆ х ∆ f ∆ х ∆ x→0

Слайд 5

Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

Слайд 6

Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

Слайд 7

Примеры 3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

Слайд 8

Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Слайд 9

Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Слайд 10

Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Слайд 11

Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Слайд 12

Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √ x 1/(2 √ x) kx + b k e x e x x 2 2x a x a x lna x n nx n–1 tg x 1/cos 2 x 1/x – 1/x 2 ctg x – 1/sin 2 x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x log a x 1/(x lna)

Слайд 13

Физический ( механический ) смысл производной Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) . Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Слайд 14

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С u )′ = С∙ u′

Слайд 15

Правила нахождения производной 3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) 1 v 2 v′ = – v 1 ( ) ′

Слайд 16

Правила нахождения производной 5 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′

Слайд 17

Производная сложной функции ( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x) Примеры: 1. ( ( 5 x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ = = 3( 5 x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2 2 . ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ = = cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Слайд 1

Производная Правила нахождения производной .

Слайд 2

Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C -люб. ч. 0 √ x 1/(2 √ x) kx + b k e x e x x 2 2x a x a x lna x n nx n–1 tg x 1/cos 2 x 1/x – 1/x 2 ctg x – 1/sin 2 x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x log a x 1/(x lna)

Слайд 3

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ ( 2х+3 )′ = ( 2 x )′ + (3)′ = 2+0= 2 (sin х - cos х )′ = (sin х )′ - (cos х )′ = cos х –(-sin х )= cos х +sin х (e х +3 x 2 )′ = (e х )′ -3 ∙(x 2 )′ = e х -3 ∙(2x)= e х – 6x (7 х + 8x 2 -lnx)′ = (7 х )′+8 ∙(x 2 )′ - (ln х )′ = 7 х ln7 + 8 ∙( 2x) -(1/x)= = 7 х ln7 +16x-(1/x) Например:

Слайд 4

Правила нахождения производной 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С ∙ u )′ = С∙( u ) ′ (3sinx)′ = 3 ∙(sinx)′ = 3cosx (8x 3 - 5 х 4 )′ = 8(x 3 )′ - 5( х 4 )′ =8 ∙(3x 2 )-5 ∙(4x 3 )= 24x 2 - 20 х 3 (-4lnx)′ = - 4 ∙(ln х )′ = -4 ∙(1/x)= -4/x Например:

Слайд 5

Правила нахождения производной 3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ (3sinx ∙ cos х )′ = 3(sinx)′ ∙ cos х + 3sinx ∙ (cos х )′ = 3cosx ∙ cos х + 3sinx ∙(-sinx)=3cos 2 x- 3sin 2 x= 3(cos 2 x -sin 2 x) 2. (8x 3 ∙ e x )′ = 8(x 3 )′ ∙ e x + 8x 3 ∙(e x )′ = 24x 2 ∙ e x + 8x 3 ∙e x = e x (24x 2 + 8x 3 ) Например:

Слайд 6

Правила нахождения производной 4.Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′ Например:

Слайд 7

Правила нахождения производной v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′ Например: