План-конспект урока "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей". Геометрия 10 класс
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Урок по теме:

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Тема урока: «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

Тип урока: Урок изучения нового материала

Учебная задача:

- ввести и отработать совместно с учениками определение двугранного угла и его характеристику (линейный угол), по аналогии с плоским углом;

- на основе понятия двугранного угла ввести определение перпендикулярных плоскостей по аналогии с перпендикулярными прямыми и «открыть» и доказать совместно с учащимися признак и свойства перпендикулярных плоскостей.

Диагностируемые цели.

Ученик научится:

- давать определение двугранного угла и перпендикулярных плоскостей;

- формулировать теоремы: признак перпендикулярности двух плоскостей и её следствие;

- применять один из двух способов доказательства перпендикулярных плоскостей (по определению и по признаку перпендикулярных плоскостей);

- получит возможность научиться:

- строить линейный угол двугранного угла;

- воспроизводит доказательство признака и свойств перпендикулярных плоскостей из краткой записи таблицы.

Метод обучения: метод проблемного изложения.

Формы обучения: фронтальная и индивидуальная.

Средства обучения: учебник, модели.

Ход урока:

I. Мотивационно – ориентировочная часть

- Какую фигуру на плоскости мы называем углом?                                                                           (фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки)

- Какое ещё понятие угла вы знаете?                                                                                                                                    (угол - это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, а также часть плоскости, ограниченная этими лучами)

- Прочитайте плоский угол: O, COD

- Какие виды углов на плоскости мы изучили?(острый, прямой, тупой)

- Переходим к рисунку с пересекающимися прямыми. Обозначьте на рисунке угол между пересекающимися прямыми за . Какой вы из углов обозначили?                          (наименьший из этих углов).

- Чему будут равны остальные три угла? ; ;

- Какова же градусная мера угла между пересекающимися прямыми? ()

- Какой особый случай у пересекающихся прямых?                                                         (перпендикулярные прямые)

- Какие прямые называются перпендикулярными?                                                                                     (две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°)

- С каких фигур мы начали изучение планиметрии? (точка, прямая)

- Что будет являться аналогом точки в пространстве? (либо точка, либо прямая)

- Что будет являться аналогом прямой в пространстве? (прямая или плоскость)

- Что будет являться аналогом луча в пространстве? (луч или полуплоскость)

- Что будет являться аналогом плоского угла в пространстве? (угол)

II. Содержательная часть:

- Если два луча плоского угла переходят в лучи, то в пространстве получим угол, а если один из лучей плоского угла переходит в луч, а другой в полуплоскость, то, что мы получим?                         (угол между прямой и плоскостью)

- Какой ещё возможен вариант перехода плоского угла в пространство?                                                    (когда лучи плоского угла перейдут в две полуплоскости)

- При этом, во что переходит вершина плоского угла?                                                                                                     (в общую прямую двух этих полуплоскостей)

- Какой мы тогда получим объект?                                                                                                                              (две полуплоскости, с общей границей)

Мы с вами получили новый математический объект.                                                                   Какая же цель сегодняшнего урока?                                                                                                                                                      (дать определение, изучить его свойства)

- Обозначим общую прямую двух полуплоскостей за AB

- Полученную фигуру будем называть двугранным углом

- Сформулируем определение двугранного угла.

Определение 1. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей AB, не принадлежащими одной плоскости.

- Данный двугранный угол будем обозначать так:  (AB) или αABβ

- Итак, мы получили, что одним из аналогов плоского угла является двугранный угол, если аналогами сторон плоского угла являются полуплоскости, которые мы будем называть гранями. А аналогом вершины плоского угла является общая граница двух граней, которую будем называть ребром двугранного угла. В жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.

- Посмотрим, как измерить двугранный угол?

- Вспомним, как мы находили угол между скрещивающимися прямыми?(сводили задачу к задаче о нахождении угла между пересекающимися прямыми, находили угол между пересекающимися прямыми)

- Как находили угол между прямой и плоскостью?(как угол между прямой и проекцией этой прямой на данную плоскость)

- Значит, данную задачу нужно попытаться свести к задаче о нахождении плоского угла. Это делается следующим образом:

Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку О и в каждой грани из этой точки проведём луч, перпендикулярный к ребру. Полученный угол будем называть линейным углом двугранного угла. Постройте линейный угол двугранного угла у себя в тетради?

- Так как двугранный угол- это не только фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости, но и часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Следовательно, линейный угол- это и часть пространства, ограниченная лучами OC и OD.

Покажем это. Учитель демонстрирует на моделях или изображает на доске.

-От чего зависит величина двугранного угла?                                                                                        (От величины линейного угла, от его градусной меры)

- Итак, чтобы найти угол между плоскостями нужно выделить двугранный угол, затем построить линейный угол двугранного угла, найти его градусную меру.

- Какие же могут быть виды двугранного угла?                                                                               (острый, прямой, тупой).

- Мы видим, что виды плоского и двугранного углов аналогичны. Зафиксируем это в конспекте.

- Построенный нами линейный угол для двугранного угла - единственный? (нет)

- Сколько можно построить линейных углов и почему?                                                                              (бесконечно много, т.к. точку О мы выбирали произвольно, а таких точек на ребре двугранного угла бесконечно много)

- Постройте ещё один линейный угол. Как вы строили данный угол?                                                         (на ребре выбрала точку О1, отличную от точки О. И в каждой грани из этой точки провела лучи, перпендикулярные к ребру. Получила угол ).

- Сравните углы  и  (Они равны).

- Почему? Какими общими свойствами обладают лучи OC и О1С1?                                               (они лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны к прямой AB)

- Что следует из этого?                                                                                                                               (что луч ОА параллелен лучу О1А1)

- Каково направление этих лучей?                                                                                                              (они являются саноправленными)

- Каково направление лучей OD и О1D1?                                                                                             (они санопрвленые, данные лучи лежат в одной полуплоскости с границей АВ и они параллельны между собой)

- Мы получили, что стороны углов COD и соответственно соноправлены. Что из этого следует и почему?                                                                                                          (COD = , (т.к. стороны углов COD и  соответственно соноправлены значит угол COD = )

- Каким теоретическим положением вы воспользовались при доказательстве равенства углов?                                                                                                                                                                (терема о углах с саноправленными сторонами)

- Мы с вами показали, что линейных углов двугранного угла бесконечно много и все они равны между собой.

III. Практическая часть:

Решим задачу: Две плоскости α и β пересекаются по прямой MN, в плоскости β лежит точка A, в плоскости α лежит проекция этой точки точка С. Прямая СВ и MN –  перпендикулярные. Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла AMNC.

- Как мы можем доказать, что данный угол является линейным?                                                 (докажем, что стороны АВ и ВС перпендикулярны MN)

- Из условия задачи мы знаем, что ВC перпендикулярна MN. Значит надо доказать, что АВ перпендикулярна MN.

- Посмотрим на рисунок. АВ – наклонная, ВС – её проекция на плоскость α., прямая СВ, перпендикулярная MN. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ВС перпендикулярна MN. Т.е. получили, что ABC – линейный угол двугранного угла.

- Мы с вами получили два способа построения линейного угла двугранного угла:

Первый способ заключается в том, что нужно выбрать на ребре двугранного угла точку с этой точки восстановить перпендикуляры в обеих гранях.

Второй способ заключается в том, что если нам дана точка в одной грани двугранного угла, тогда сначала нужно найти или построить проекцию этой точки в другой грани двугранного угла, из полученной (найденной) точки провести перпендикуляр к ребру. Из точки пересечения построенного перпендикуляра с ребром двугранного угла строить перпендикуляр в другой грани.

1) Что изображено на рисунке справа?(две плоскости).

2) Каково их взаимное расположение?(они пересекаются).

3) Обозначим их через α и β. Найдите угол между плоскостями α и β.

Если возникнет затруднение:

- Что является аналогом двух пересекающихся плоскостей на плоскости?               (пересекающиеся прямые)

- Сколько плоских углов образуют две пересекающиеся прямые?                                                (четыре)

- Какой из этих углов будет являться углом между пересекающимися прямыми?                        (наименьший из этих углов)

- Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла.

Определение 2.

Углом между пересекающимися плоскостями будем считать наименьшим из этих углов. То есть углом между пересекающимися плоскостями считают угол, величина которого не превосходит величин любых из трех остальных углов.

- Какова же может быть градусная мера угла между пересекающимися плоскостями?

IV. Итоги урока. Рефлексия.

Что Вы повторили на уроке?

Что Вы узнали нового?

Какие у Вас были затруднения?

V. Домашнее задание:

Гл. II, § 3, П.22, П.23 (читать, учить определения и теоремы). Решить задачу № 167, с.54