Урок геометрии "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике"
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Тема урока: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Цели урока:

1. ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
2. рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
3. формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

1. Орг. момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:

– подготовительный этап;

– введение;

– усвоение.

4. Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
5. Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
6. Доказательство следствий:

– высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;

– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

7. Решение задач.
8. Подведение итогов.
9. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

Начинаем работу.

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА,

ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА.

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите, пожалуйста, на первый слайд. Здесь изображены два прямоугольных треугольника – ΔАВС и ΔА1В1С1. BD и B1D1 – высоты ΔАВС и ΔА1В1С1 соответственно. .

Задание 1. а) Определите, подобны ли ΔАВС и ΔА1В1С1.

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод: (по первому признаку подобия треугольников ΔАВС ~ ΔА1В1С1)

Задание 1. б) Определите, подобны ли ΔАВD и ΔА1В1D1.

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод: (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли ΔАВD и ΔАВС, ΔBDС и ΔАВС. В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

–– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла?(делают вывод – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному.)

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись:

– А теперь давайте сделаем полный вывод. (ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)

Ученикам предлагается следующее задание:

IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Внимание!

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если 

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

Задание № 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср. проп.) 

Задание № 2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников ΔACD и ΔCBD. Что из этого следует? (По определению подобия стороны ΔACD пропорциональны сходственным сторонам ΔCBD).

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()

– Выразите СD и сделайте вывод: ; .

Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде

Записи в тетрадях: ; .

VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Л. С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 572(б,г), 574 (а).

– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный ΔАВС, )

– Что в задаче нужно найти? (Найти h, a, b)

– Чем будет являться h по отношению к bc и ac? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)

– Как найти h? ()

– Как теперь найти a? (a найдем из ΔCHB по теореме Пифагора: )

– Как найдем c? (c найдем из ΔАHС по теореме Пифагора: )

– Запишите ответ. (Ответ: h=48; a=80; b=60)

VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)

– Продолжите предложение:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между…(… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)

– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)

IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

д/з: п. 62, №572 (а, в), 573, 574(б).

РАБОЧИЙ ЛИСТ УЧЕНИКА

                                                             C

   А                                           D         B  

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла делит его на_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

АС =____________________________       СВ =___________________________________

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между____________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CD =______________________________________

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между________________________________________________ _____________________________________________________________________________