Презентация к уроку "Параллельные прямые в пространстве"
методическая разработка по геометрии (10 класс)

Слайд 1

Параллельные прямые в пространстве Методическая разработка к уроку геометрии 10 класс

Слайд 2

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются . Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a . Случаи взаимного расположения прямых в пространстве Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости). Параллельные прямые (лежат в одной плоскости). Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости)

Слайд 3

Различия определения параллельности в планиметрии и стереометрии ПЛАНИМЕТРИЯ Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются . aIIb СТЕРЕОМЕТРИЯ Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются . aIIb

Слайд 4

Теорема 1 Через две параллельные прямые можно провести плоскость , и притом только одну . Доказательство: 1. так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α . 2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C , а на прямой b — точку A . 3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость ( 2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b .

Слайд 5

Теорема 2 Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну . Доказательство: 1. через данную прямую a и точку M , которая не лежит на прямой, проводится плоскость α . 2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b , которая параллельна прямой a .

Слайд 6

Теорема 3 (Лемма) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Доказательство: рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M Из 1 -й теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β . Так как точка M находится на прямой b , то M также принадлежит плоскости β . Если у плоскостей α и β есть общая точка M , то у этих плоскостей есть общая прямая c , которая является прямой пересечения этих плоскостей ( 4 аксиома). Прямые a , b и c находятся в плоскости β . Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c , то вторая прямая a тоже пересекает c . Точку пересечения прямых a и c обозначим за K . Так как точка K находится на прямой c , то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α .Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K .

Слайд 7

Теорема 4 Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Доказательство “от противного” Дано: а ║ с и b ║ c . Доказать: а ║ b . Пусть b пересекает α . Значит, прямая c , которая параллельна прямой b , тоже пересекает плоскость α . Так как a∥c , то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α , является неверным . Значит, прямая b находится в плоскости α . Пусть у прямых a и b есть общая точка L . Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b , которые параллельны прямой c . Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Т. к. прямые a и b находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.