Открытый урок "Объём прямой призмы"
план-конспект урока по геометрии (11 класс)

Тема урока: «Объем прямой призмы»

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности «Настроимся на урок!».

Цель: формирование мотива, желания работать.

Приветствие.

Эпиграфом к сегодняшнему уроку мне бы хотелось взять высказывание Г. Галилея, но немного переделанное «Геометрия является одним из могущественных средств для воплощения в жизнь многих идей». («Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей»)

2. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель: создание ситуации успеха путем проверки владения материала прошлых уроков

В ходе изучения стереометрии мы с вами сталкиваемся с изучением различных геометрических фигур. Какими? (параллелепипед, призма, пирамида, куб, цилиндр, конус, шар).

 Мы научились решать задачи на нахождение площадей пространственных фигур и приступили к нахождению объемов некоторых многогранников. Каких? (объем прямоугольного параллелепипеда, объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник).

Перед учениками на партах лежат карточки, которые необходимо заполнить:

Заполните пропуски в предложениях.

- Равные тела имеют … объёмы.

- Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен … объёмов этих тел.

- Объем прямоугольного параллелепипеда равен … трех его измерений.

 - Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению … на … .

Сформулируйте теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее. Ответы учеников (теорема: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. Следствие 1: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Следствие 2: объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту). Какой многогранник называется призмой? (слайд презентации №2).

б)Какая призма называется прямой?  

в)Какая призма называется правильной?  

г)Что является основанием правильной треугольной призмы?

д) Чем являются боковые грани призмы? Прямой призмы? Правильной призмы?

Выберите неверное утверждение:

а)За единицу измерения объемов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков;  

б)тела, имеющие равные объемы, равны;

в)объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

г)объем куба равен кубу его ребра; д)объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. (слайды презентации №3,4).

е) Сформулируйте свойства объемов? Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда? Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина — 7 см, а диагональ —  11 см.а) 252 см3;    б) 126 см3;   в) 164 см3; г) 462 см3;    д) 294 см3.(слайд

 Решите устно: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 18 см, 4 см. Найти ребро куба объем которого равен объему данного параллелепипеда (слайд презентации №6).

 Сформулируйте следствие из теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольный треугольник. (слайд презентации № 7).

3. Постановка проблемы, после чего учащиеся пытаются сформулировать

тему и цель урока

Цель: сформулировать тему и цель урока.

-ребята, многое, с чем вы сталкиваетесь на уроках геометрии можно увидеть в жизни, в тех предметах, что нас окружают. Сегодня у нас с вами необычный урок, поэтому надеюсь, что настроение у вас приподнятое.

Вами были получены творческие задания, и сегодня мы посмотрим, обсудим и оценим то, что у вас получилось.

Творческое домашнее задание: ваш класс является неким конструкторским бюро. Ученики класса выступают в роли дизайнеров, которым необходимо создать красочные упаковки для подарков в виде многогранников.

Вопрос: какие многогранники вы выбрали для своих идей и почему?

Предполагаемые ответы учащихся: это разные виды призм; они удобны, устойчивы, для экономии пространства и т. п.

Вопрос учителя: Внимательно посмотрите на свои модели, какие это призмы? (прямые). А какую еще важную характеристику при изготовлении подарочной упаковки мы должны обязательно учитывать? (объем). Мы с вами заговорили о таком многограннике, как призма. Сможем мы найти площадь призмы? (да). А вычислить ее объем? (только для призмы, в основании которой прямоугольный треугольник или если это параллелепипед). Сформулируйте тему урока. Чем будем заниматься на уроке?

Ученики открывают тетради и записывают тему урока «Объем прямой призмы»

 IV. Изучение нового материала.

       Докажем теорему. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. (слайд № 8)

    Сначала докажем  эту теорему для треугольной призмы, а затем – для произвольной.

Часть I (слайд № 9)

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма.

Доказать: V = Sосн ·h

Доказательство.

1. Проведем высоту BD┴АС,  которая делит ∆АВС на два прямоугольных треугольника и плоскость (BDD1)┴ (ABC). Получим две       призмы, основания которых прямоугольные треугольники, и они прямые, для вычисления объёма применим  следствие 2

2) V1  и V2 их объемы         V1 = SABD ·h,           V2 = SDBC ·h,

 V=  V1  + V2  = SABD ·h + SDBC ·h =h · (SABD+ SDBC) =  h · SABC =  Sосн ·h

II  часть (слайд № 10

Рассмотрим n-угольную произвольную призму. Ее можно разбить на    (n -2) прямые призмы (рис.  1). Объём каждой треугольной призмы можно вычислить, применяя I часть теоремы

V= V1+V2+ V3+…+ Vn-2 =S1 ·h +S2 ·h+S3 ·h+…+ Sn-2 ·h = = h · (S1 + S2 +S3 +…+Sn-2 )= = Sосн ·h

Т. о.  V= Sосн ·h

Физкульт минутка

(закрыли глаза и представили  чтобы вы хотели увидеть в свой упаковке) с хорошим настроением продолжим работу

Исходя из темы урока, какие задачи вы можете перед собой поставить?

Слайд 3

Задачи, которые мы сегодня будем разбирать, может быть, кому-то покажутся легкими, но без знания соответствующего теоретического материала справиться с ними практически нельзя.

V. Устная работа.

Какие фигуры наиболее часто встречаются в основании прямой призмы в задачах ЕГЭ?

Треугольник

Как найти площадь прямоугольного треугольника, правильного треугольника, произвольного треугольника? Какие еще формулы для вычисления площади произвольного треугольника вы знаете?

Слайд 5

Четырехугольник

Как найти площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба? Какие еще формулы для вычисления площади параллелограмма вы знаете?

Слайд 6

Правильный шестиугольник

Как найти площадь правильного шестиугольника?

Слайд 7

Давайте также вспомним еще ряд соотношений, необходимых для успешности как сегодняшнего урока, так и для решения задач по геометрии в целом.

VI. Решение тренировочных упражнений.

Итак, всю необходимую теорию мы повторили, приступаем к решению задач.

Одним из пунктов домашнего задания был выбор из прототипов открытого банка ЕГЭ заданий на вычисление объема прямой призмы и цилиндра и распределение их по группамДля удобства, я выделила эти задачи в отдельный блок (задания для классной работы) (Приложение 1). При отборе задач кое-кто из вас, вероятно, уже “прикинул”, как они решаются. Кто хочет проверить свои силы и решить несколько аналогичных задач самостоятельно? Раздать варианты задач для самостоятельного решения (решить не менее любых трех из четырех предложенных). (Приложение 2)

Ну а с остальными поработаем вместе.

Задача 1.

Дополнительный вопрос: с чем совпадает высота прямой призмы?

Слайд 23

Задача 2.

Ученик комментирует решение с места, краткая запись появляется на экране.

Слайд 24

Задача 3.

Слайд 25

Задача 4.

(для определения объема тела лучше всего подходит способ, изобретенный еще Архимедом: будучи погруженным в жидкость, тело вытесняет ровно столько, сколько и составляет его объем).

Слайд 26

Задача 5.

Слайд 27

Ну а теперь поменяемся местами. Те учащиеся, кто работал самостоятельно, отложите работы, чуть позже мы их проверим, а те ребята, которые работали вместе со мной, проверят свои силы при выполнении самостоятельной работы. Перед вами лежат задания в двух вариантах, в каждом варианте по пять задач. Вам необходимо решить не менее трех из них. Какие задачи выполнить – выбирайте сами.

Найти объем своей призмы и занести данные в таблицу

(более сильной группе ребят выдать тексты дополнительной задачи с изображением призмы) (Приложение 3)

Дополнительная задача

Все ребра правильной треугольной призмы  равны между собой. Найдите объем призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через сторону BC нижнего основания и середину ребра верхнего основания, равна .

Итак, вы ознакомились с условием задачи, решать на уроке мы её не будем, но чтобы вы дома успешно с ней справились, давайте составим план решения.

Первый пункт лежит на поверхности и мы его выполним:

Построить сечение призмы.

(Пусть К – середина ребра А1В1. Точки В и К лежат в одной плоскости, соединим их. Так как плоскости АВС и А1В1С1 параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку К проведем прямую, параллельную ВС, пусть она пересекает ребро А1С1 в точке М. Точки М и С лежат в одной плоскости, мы их соединяем).

Слайд 29

Учащиеся высказывают предположения о дальнейшем ходе решения, учитель производит корректировку.

Слайд 30

. Формирование умений и навыков учащихся

1. Решение задач по готовым чертежам (слайды презентации №11 и №12).

№1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник АВС, ∠АСВ =90°, АС=СВ, точка  N делит гипотенузу пополам.

Отрезок С1N составляет угол 45° с плоскостью основания

Боковое ребро равно 6 см/

Найти объём призмы.

Дано: ABCA1B1C1- прямая призма, AC=BC, ∠АВС=90°, BN=NA, ∠CNC1= 45°, СС1=6 см.

Найти: V

Решение.

V= Sосн ·h,

CN=CC1=6 cм,

Ответ: 216 см3

№2. Основанием прямой призмы является ромб, острый угол которого 60°.Боковое ребро равно 2. Меньшая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объём призмы.

Дано: ABCDA1B1C1D1- прямая призма, ABCD – ромб, ∠ВАD=60°, BB1=2, ∠B1DВ= 45°.

Найти: V

Решение. V= Sосн ·h

∆ABD – равносторонний,

AB=BD=2, т. к. ∆B1BD - равнобедренный

ответ:

VII. Самостоятельная работа

Решить задачу:

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найти объём призмы. (слайд № 15)

Дополнительная задача

Все ребра правильной треугольной призмы  равны между собой. Найдите объем призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через сторону BC нижнего основания и середину ребра верхнего основания, равна .

Итак, вы ознакомились с условием задачи, решать на уроке мы её не будем, но чтобы вы дома успешно с ней справились, давайте составим план решения.

Первый пункт лежит на поверхности и мы его выполним:

Построить сечение призмы.

(Пусть К – середина ребра А1В1. Точки В и К лежат в одной плоскости, соединим их. Так как плоскости АВС и А1В1С1 параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку К проведем прямую, параллельную ВС, пусть она пересекает ребро А1С1 в точке М. Точки М и С лежат в одной плоскости, мы их соединяем).

Слайд 29

Учащиеся высказывают предположения о дальнейшем ходе решения, учитель производит корректировку.

Слайд 30

VIII. Подведение итогов. Рефлексия.

Итак, занятие подходит к концу. Давайте подведем итоги. Каждый из вас сегодня поработал самостоятельно. Возьмите ваши работы, поменяйтесь с рядом сидящим, оцените работы друг друга. Вспомните, отвечал ли ваш товарищ сегодня устно, сколько раз он отвечал, правильно ли. Добавьте по баллу за каждый правильный ответ.

Если ваш товарищ набрал

• 5 баллов и больше, поставьте ему “5” (отлично)
• 4 балла – “4” (хорошо)
• 3 балла – “3” (удовлетворительно)

Кто получил отметку отлично, хорошо? Есть такие, чья работа была неудовлетворительной?

Попробуйте дома разобраться в своих ошибках, выяснить причину, по которой вы их допустили.

Ну а сейчас мне хотелось бы, чтобы каждый из вас определил, на какой ступеньке изучения данной темы он находится?

Слайд 32

Есть стоящие лишь на первой ступени? На последней ступени? Сделайте соответствующие выводы.

Итак, мы с вами расширили понятие и представление о призме, вывели формулу объёма призмы, научились применять эту формулу при решении задач. Вопрос о призме важен, т.к. детали в форме призмы встречаются во многих строительных сооружениях. (слайды)

Урок я хочу закончить словами Яна Амоса Каменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»