Урок c элементами исследования "Центральные и вписанные углы" (8 кл)
план-конспект урока по геометрии (8 класс) по теме

Урок закрепления и развития

 знаний, умений, навыков

 с элементами исследования

по геометрии в 8 классе по теме:  

«Решение задач»

Задача урока: опираясь на ранее рассмотренный приём при доказательстве теоремы о вписанном угле, доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью.

Цели урока:

- образовательная: совершенствовать знания о центральном и вписанном углах; формировать умения применять их при решении задач; учить учащихся использовать известные приёмы доказательства при решении новых математических задач;

- развивающая: формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; прививать навыки исследовательской деятельности; углублять знания  по данной теме; развивать точную лаконичную речь;

- воспитательная:  учить преодолевать трудности; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Структура  урока.

-сообщение учащимся цели предстоящей работы;

-воспроизведение учащимся знаний, которые потребуются для выполнения заданий;

-перенос приобретённых знаний и их первичное применение в новых условиях;

-самостоятельная работа;

-подведение итогов урока; задание на дом;

-выставление оценок за урок.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Ребята, сегодня на уроке мы продолжим решение задач на применение понятий центрального и вписанного углов, а также попытаемся самостоятельно доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью, используя один из знакомых нам уже приёмов рассуждения.

Понятие угол и окружность появилось много веков назад. Инженеры и математики древности пользовались этими понятиями при расчётах различных архитектурных сооружений. Так же эти понятия использовались при навигации на море и на суше. В наше время понятие и свойство центральных и вписанных углов используется в науке и технике. Например,  невозможно представить себе без этих понятий современную инженерную графику и машиностроение. Хочется ещё раз повторить народную мудрость "Ум без догадки - гроша не стоит", т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения.  Вдохновения нам на протяжении всего урока.

2. Устная работа.

    Вначале вспомним определения и понятия, которые нам понадобятся на уроке для решения задач. Одним из домашних заданий было подготовить вопросы по теме «Центральные и вписанные углы».

Пока работаем устно, один из учеников подготовит домашнюю задачу №660 на доске.

1. Сформулируйте определение центрального угла. (Угол, с вершиной в центре окружности называется центральным углом).
2.  Чему равна градусная мера центрального угла? (Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги на которую он опирается)
3. Сформулируйте определение вписанного угла. (Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом).
4. Сформулировать теорему о вписанном угле. (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.)
5. Сформулировать следствие 1.  (Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).
6. Сформулировать следствие 2.

(Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой).

7. Связь вписанного и центрального углов, опирающихся на одну и ту же дугу. (Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же  дугу.)

3. Работа по заготовленным чертежам (презентация):

 найти угол α.

4. Проверим решение домашней задачи  № 660.

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.

Решение.

1. Проведём ВЕ
2. Т.к. ∠АВЕ – вписанный,

      то ∠АВЕ = ∪АЕ = ⋅100° = 50°.

3. Т.к. ∠АВЕ – внешний угол ΔВЕС,

      то ∠АВЕ = ∠ВЕС + ∠BCD,

      откуда ∠ВЕС = ∠АВЕ - ∠BCD,

      ∠ВЕС = 50° – 32° = 18°.

4. Т.к. ∠ВЕD = 18° – вписанный,

      то ∠ВЕD = ∪BD,

      значит ∪BD = 2 ⋅∠ВЕD = 2 ⋅ 18° = 36°.

Ответ: ∪BD = 36°.

5. Решение задач с применением элементов исследовательской деятельности.

Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя секущими.

Посмотрим внимательно на результат в задаче. Имеется ли связь между величиной угла и градусными мерами дуг, заключенных внутри угла?

Заметим, что (100° – 36°) : 2 = 64° : 2 = 32°.

Наводящие вопросы:

1. Как был образован угол АСЕ?
2. С помощью величин каких дуг мы нашли величину угла АСЕ?
3. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя секущими.

Гипотеза: 

1). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

2). Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Т.е., нам надо доказать, что

∠АСЕ = (∪АЕ - ∪BD).

Доказательство: (доказывать у доски)

1. Т.к. ∠АВЕ – вписанный в окружность, то ∠АВЕ = ∪АЕ.
2. Т.к. ∠BED - вписанный в окружность, то ∠BED =  ∪BD.
3. Рассмотрим ΔВЕС: ∠АВЕ – внешний угол данного треугольника. Его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Значит,

∠АВЕ = ∠ВЕС + ∠ВСЕ,

∠ВСЕ = ∠АВЕ - ∠ВЕС,

∠ВСЕ = ∪АЕ -  ∪BD = (∪АЕ - ∪BD).

Итак,

Утверждение:  Угол, образованный двумя секущими, выходящими из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Утверждение: Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

Ребята, при доказательстве данного утверждения и решении домашней задачи какой метод доказательства мы использовали?

(Достраивали до треугольника и использовали свойство внешнего угла треугольника).

Применение: №661 (устно).   

Решение:α = (140° – 52°) : 2 = 88° : 2 = 44°.

Ответ: 44°.

Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

Ребята, мы рассмотрели угол с вершиной вне окружности. А что, если теперь нам рассмотреть угол внутри окружности, например ∠ВЕС.

Можем продолжить стороны этого угла и

рассмотрим две пересекающиеся хорды окружности (рисунок на доске).

Наводящие вопросы:

1. Являются ли центральными или вписанными углы, образованные пересекающимися хордами?

2. Проведём хорду АС. Какие вписанные углы при этом получились?

3. Рассмотрим вписанные углы ∠АСD и ∠САВ:

∠АСD =∪AD; ∠САВ = ∪СВ.

4. Неизвестный угол α - внешний угол ΔАСЕ, значит его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

α = ∠АСD + ∠САВ = ∪AD + ∪СВ = (∪AD + ∪СВ).

5. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

Гипотеза:

1). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, заключённых между этими хордами.

2). Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального  данному.

Применение: №662 (устно).

Решение:∠ВЕС = (54° + 70°) : 2 = 124° : 2 = 64°.

Ответ:64°

6. Подведение итогов урока:

Выставить оценки.

Какие новые утверждения об углах, связанных с окружностью, вы сегодня узнали? Как вы получили эти новые сведения?

7. Самостоятельная работа.

Литература:

1. Геометрия: Учеб.для 7 – 9 кл. общеобразоват. Учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 388с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Универсальные поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: ВАКО, 2011. – 368 с. – (В помощь школьному учителю).
3. Александров А.Д. и др., Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/А.Д. Александров, А.Л. Зернер, В.И. Рыжик – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.
4. Т.М. Мищенко, «Геометрия в таблицах. 7 – 9 классы», «АСТ. Астрель. Транзиткнига», Москва, 2005. – 40 с.
5. Е.М.Рабинович, «Математика. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия. 7 – 9 классы», «Илекса», Москва – Харьков, 1998. – 64 с.

Интернет-ресурсы:

1.  festival@1september.ru   
2. uztest.ru/abstracts/?idabstract=98
3. berdov.com/ege/plane_geometry/circl...