План-конспект урока математики по теме" Правильные многогранники"
план-конспект урока по геометрии (10 класс) по теме

План-конспект урока учителя математики МОУ Кантауровской средней общеобразовательной школы Борского района Кудриной Н.А.

по теме: «Правильные многогранники»

в 10 классе. (урок-панорама)

Цель урока: восприятие учащимися и первичное закрепление нового материала.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Задачи:

образовательные

1. Ввести определения правильного многогранника.
2. Ввести понятие равноугольно полуправильных и звездчатых многогранников.
3. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников.
4. Формирование пространственных представлений учащихся.
5. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных многогранников.

развивающие

Развитие пространственного воображения, внимания, наблюдательности, умения сравнивать, анализировать.

воспитательные

поддержание интереса к математике через обучение с применением информационных технологий; привитие трудовых навыков

Структура урока:

1. Организационный момент;
2. Сообщение темы, задач урока, мотивации учения, проверка дом задания;
3. Повторение и актуализация опорных знаний;
4. Ознакомление с новым материалом;
5. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения(решение задач);
6. Постановка заданий на дом;
7. Подведение итогов урока.

Прогнозируемый результат:

-знать определение прав. вып. многогранников;

-уметь доказывать, что существует 5 видов;

-уметь охарактеризовать каждый вид;

знать теорему Эйлера;

уметь решать задачи на нахождение элементов прав. многогранников.

План урока:

1. Введение понятия, изучение прав. многогранников;
2. Правильные многогранники в философской картине мира Платона;
3. Кубок Кеплера;
4. Формула Эйлера;
5. правильные многогранники вокруг нас;
6. Тела Архимеда;
7. Звездчатые многогранники.

«Математика есть прообраз красоты мира».

И.Кеплер

1. Оргмомент.

2. Сегодняшний урок посвящен увлекательному разделу геометрии – теории многогранников. Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с таким знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед.

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

и сегодня на уроке мы познакомимся с некоторыми видами многогранников, нам предстоит ответить на вопросы: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика7 И многое другое и наконец, где и зачем нам нужны многогранники? может быть можно обойтись и без них. Итак, ребята, чем мы будем заниматься на уроке?

Проверка Д.Р. -№ 276 (б,г) (не имеет, один), 277 (б) (три), 278 (б) (четыре)

3. С некоторыми понятиями вы уже знакомы – это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

1). Что же называется многогранником?

2). Какой многогранник называется выпуклым?

3) Какие виды многогранников вы знаете?

4. Правильные многогранники. (Работа с учебником)

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Примером прав. многогранника является куб (пояснение)

Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.

   Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников. Позже в своем трактате «Тимей» другой древнегреческий ученый Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости – бесконечное число.

Исследуем возможность существования правильных многогранников. При этом будем опираться на свойство плоских углов многогранного угла.

Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранника угла меньше 4d (360о).

а) Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. L = 60о.

Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

60о n < 360o ,

n < 6,

n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

б) Пусть грани правильного многогранника – квадраты. L = 90о.

Для n – гранных углов n 90о 360о,

n 4,

n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники

L = 180о (5 – 2) : 5 = 36о*3 = 108о, n*108о 360о

n*108о 360о  =   n = 3 - додекаэдр.

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

L = 180о * (6 – 2 ) : 6 = 30о * 4 = 120о 

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

(В процессе урока учащиеся в своих тетрадях заполняют таблицу. На каждом столе – модели правильных многогранников).

в соответствие с этим получаем следующие прав. многогранники:

тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Работа с учебником (записываются характеристики прав. многогранников)

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон – грань окто - восемь

тетра - четыре додека - двенадцать

гекса - шесть икоси - двадцать

(Запись на доске).

А сейчас заполним столбцы таблицы:

1. Какое число вершин, ребер, граней имеют тетраэдр и куб?( III ряд)

2. Сосчитайте число вершин, ребер, граней октаэдра и куба (II ряд), икосаэдра  и додекаэдра (I ряд).

Для всех многогранников подсчитали число В + Г – Р, где В – количество вершин, Р - ребер, Г – граней. Получился один и тот же результат: В + Г – Р = 2. И формула эта верна не только для правильных многогранников. Доказал это соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.), поэтому формула названа его именем. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало с его работ.

А теперь сосчитаем площадь поверхностей «платоновых тел».(самостоятельно по рядам)

Sтетраэдра = 4 (а2 : 4) = а2 (ед2).

Sкуба = 6а2 (ед2).

Sоктаэдра = 8(а2 : 4) = 2а2 (ед2).

Sикосаэдра = 20(а2 : 4) = 5а2 (ед2).

5.  а)Сообщение «Правильные многогранники в философской картине мира Платона» (сообщение ученика) 

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

б)Сообщение «Кубок Кеплера»  

    Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Решение задачи из учебника (№281)

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы. Послушаем сообщение … «Правильные многогранники вокруг нас».

в) Сообщение «Правильные многогранники вокруг нас»

 Мы рассмотрели правильные Платоновы тела и доказали, что их существует не более пяти типов. У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.

г) Тела Архимеда.(сообщение ученика)

д) Звездчатые многогранники.(сообщение ученика)

6. Задание на дом: п 32, №315, 283(а)

Вычислите Эйлерову характеристику данного многогранника.

7. Подходит к концу урок, подведём итоги.

• С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?
• Какие виды прав. многогранников вы можете назвать?
• Где нашли свое применение прав. многогранники?
• Выставим отметки за урок.

Сообщение «Правильные многогранники в философской картине мира Платона»

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Сообщение «Кубок Кеплера»

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.

Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Сообщение «Правильные многогранники вокруг нас»

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8).

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служитпроводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли ( NaCl ) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами ( K [ Al ( SO 4 ) 2] ? 12 H 2 O ) , монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана ( FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий ( Na 5 ( SbO 4 ( SO 4 )) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В) . В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Тела Архимеда.(сообщение ученика)

1. Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники, 12 вершин. Многогранник выпуклый, в каждой вершине сходится три ребра. Он называется усеченным тетраэдром. Если указанным образом срезать вершины правильных октаэдра и икосаэдра, получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. Обратите внимание, что усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча. Из куба и додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр. Их плоскости проходят не через треть ребра. . Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов и восемь правильных треугольников, т.е. грани куба октаэдра, отсюда и название многогранника. Аналогично, если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосадодекаэдром. У него двенадцать граней – правильные пятиугольники, и двадцать – правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра. К этим двум последним многогранникам также можно применять операцию «усечения» вершин. Получим усеченный кубооктаэдр и усеченный икосадодекаэдр. . Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом тел. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа. Перечислим их.

Ромбокубооктаэдр: он состоит из 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников;

Ромбоикасодадекаэдр: у него всего 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников;

«плосконосый» куб: у него всего 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника:

«плосконосый» додекаэдр: всего 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

В трактате «О многогранниках» Архимед описал каждый полуправильный многогранник, дал его рисунок, а также поставил и решил задачу о количестве многогранных углов и ребер каждого многогранника.

Звездчатые многогранники.(сообщение ученика)

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).