УТВЕРЖДАЮ

Учитель математики  

________ Л. Р. Вольняк

«__»   ________  2016г.

Тема: "Угол между прямыми"

Обучающие: с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися определения угла между пересекающимися, параллельными и скрещивающимися прямыми;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Тип урока:Изучение нового материала.

Методы: словесный (рассказ), наглядный (презентация), диалогический.

1. Организационный момент.

• Приветствие.
• Сообщение целей и задач урока.
• Мотивация изучения нового материала.
• Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.
• Проверка присутствующих на уроке;

2. Актуализация знаний.

Метод: фронтальный опрос (устно):

1. Какие разделы изучает геометрия?
2. Какие фигуры изучает планиметрия, а какие стереометрия?
3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?
4. Сколько углов образуется при пересечении двух прямых в пространстве?
5. Как определить угол между пересекающимися прямыми?

Слад3

6. Основание призмы ABCDA1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающими?

Ответ: ABи CC1,A1D1и CC1.

3. Изучение нового материала.

Слайд 4

Расположение прямых в пространстве и угол между ними.

1. Пересекающиеся прямые.
2. Параллельные прямые.
3. Скрещивающиеся прямые.

Слайд 5

Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.

Слайд 6

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°.

Слайд 7

Угол между двумя параллельными прямыми равен 0°.

Слайд 8

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Слайд 9Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми и.

Слайд 10

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.

Слайд 11

Угол между скрещивающими прямыми.

Пусть ABи CD – две скрещивающиеся прямые.

Возьмём произвольную точку М1 пространства и проведём через неё прямые А1В1 и C1D1, соответственно параллельные прямым AB и CD.

Если угол между прямыми А1В1 и C1D1равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

Слайд 12

Найдём угол между скрещивающимися прямыми ABи CD.

В качестве точки M1можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Слайд 13

Физкультминутка

Слайд 14

1. Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.

Слайд 15

2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

а) 90°;                                 б) 45°;

Слайд 16

в) 60°;                                г) 90°;

Слайд 17

д) 90°;                                 е) 90°.

4. Закрепление нового материала

Слайд 19

Физкультминутка

Слайд 20

№1.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E– середина ребра SC.Найдите угол между прямыми ADи BE.

Решение:

Искомый угол = углу CBE.Треугольник SBC-равносторонний.

ВE – биссектриса угла = 60. Угол CBE равен 30.

Ответ:30°.

№263.

Какой угол называется углом между скрещивающими прямыми?

Ответ:

Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1и b1, причем a1 || a, b1 || b.

№265.

Угол между прямымиaи bравен 90°. Верно ли, что прямые aи bпересекаются?

Ответ:

Неверно, так как прямые могут либо пересекаться, либо скрещиваться.

№267.

DABC – тетраэдр, точка О и F – середины ребра AD и CDсоответственно, отрезок TK – средняя линия треугольника ABC.

1. Чему равен угол между прямымиOFи CB?
2. Верно ли, что угол между прямымиOFи TK равен 60°?
3. Чему равен угол между прямымиTFи DB?

Решение:

Дано: DABC,

О – середина AD,

F – серединаCD,

ТК – средняя линия ∆АВС.

Решение:

1. В плоскости АВС через точку С проходит прямая АС, параллельная прямой OF(т.к. OF – средняя линия ∆АВС, поэтому АСВ – угол между скрещивающимися прямыми OFт СВ. ∆АВС – правильный, поэтому АСВ=60°.
   Ответ: 60°
2. Т.к. OF || AC и TK || CB, то угол между  прямымиOF и TK равен углу между прямыми AC и CB, т.е. 60°.
   Ответ: верно.
3. Т.к. TF || AD (по свойству средней линии), то ADB=60°.
   Ответ: 60°

5. Рефлексия

• Что мы узнали нового?
• Справились ли мы с теми задачами которые были заданы в начале урока?
• Какие задачи мы научились решать?

6. Домашнее задание.

§4 (стр. 85-89), №268, №269.

УТВЕРЖДАЮ

Учитель математики  

________ Л. Р. Вольняк

«__»   ________  2016г.

Тема: "Угол между прямыми"

Обучающие: с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися определения угла между пересекающимися, параллельными и скрещивающимися прямыми;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний и умений.

Методы: словесный (рассказ), диалогический.

1. Организационный момент.

• Приветствие.
• Сообщение целей и задач урока.
• Мотивация изучения нового материала.
• Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.
• Проверка присутствующих на уроке;

2. Проверка домашнего задания

№268

ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, точка О и Т – середины рёбер СС1 и DD1 соответственно. а) Верно ли, что угол между прямыми AD и TO равен 90°? б)Чему равен угол между прямыми A1B1 и BC?

Решение:

а) Верно, так как TO || DC => (AD, TO) = ADC = 90° (ABCD – прямоугольник).

б)BC || B1C1 =>(A1B1, BC) = A1B1C1 = 90°.

Ответ: 90°, 90°.

№269

ABCDA1B1C1D1 – куб. а) Верно ли, что угол между прямыми A1B и C1D равен 90°? б) Найдите угол между прямыми В1О и C1D. в) Верно ли, что угол между прямыми АС и C1D равен 45°?  

Решение:

а) Верно, так как В1А || C1D =>(A1B, C1D)=(B1A, A1B) = 90°, как угол между диагоналями квадрата.

б) 1. В1А || C1D=>(B1O, C1D) = AB1O.

    2. в Δ AB1С  AB1 = В1С = АС как диагонали равных квадратов В1О – медиана и биссектриса AB1С=60° =>AB1O=30°.

в) нет, так как  C1D || BA => (AС, C1D)=B1АC=60° как угол равностороннего Δ AB1С.

Ответ: б) 30°.

3. Актуализация знаний.

Метод: фронтальный опрос (устно):

1. Какие разделы изучает геометрия?
2. Чему равен угол между параллельными прямыми?
3. Какие фигуры изучает планиметрия, а какие стереометрия?
4. Какой угол называется скрещивающимся?
5. Как называются две прямые скрещивающиеся, которые образуют угол 90°?

4. Закрепление изученного.

Диктант (10 мин):

Вариант 1:

1. Определение угла между скрещивающими.

Ребро куба равно а.

Найти:  (АВ1,СС1)

Решение:

СС1‖ВВ1

 (АВ1,СС1)=АВ1В

АВ1В=45˚

Ответ:  (АВ1,СС1)=45˚

2. Пусть а и b – скрещивающиеся прямые, а прямая b1 ||  b. Верное ли утверждение, что угол между прямыми а и b равен углу между прямыми a и b1? Если да, то почему?

Вариант 2:

1. Какой угол называется углом между скрещивающими прямыми?

Ребро куба равно а.

Найти :  (АВ1,СD1).

Решение:

CD1‖BA1

 (AB1, CD1)= (AB1, BA1)Угол между диагоналями квадрата

Ответ:  (AB1, CD1)=90˚

2. Прямая а и b скрещивающиеся. Прямая l проходит через точку О а, параллельная прямой b и образует с прямой а угол, равный β. Верно ли, что угол между прямыми а и b равен β?Если да, то почему?

Работа в классе:№1, №2, №3, №270,

№1

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P-середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: 
а) ND и AB;  б) PK и BC;  в) MN и AB;  г) МР и AC;  д) KN и AС; е) MD и BC.

Решение:

а) ND и AB – пересекаются: у них общая точка В.
б) РК и ВС – пересекаются, так как РК не является средней линией ΔDBC и, значит, РК не параллельны ВС.

в) МN и AB параллельны, так как МР – средняя линия в ΔADC.
г) МР и АС – параллельны, так как МР – средняя линия в ΔADC.
д) KN и АС скрещивающиеся, KN пересекает плоскость АВС в точке В, ВАС.

е) MD и ВС скрещивающиеся, MD – пересекает плоскость АВС в точке А, АВС.

№2

Через вершину А ромба ABCD проведена прямая a, параллельная диагонали BD, а через вершину С-прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: 
а) прямые а и CD пересекаются; 
б) а и b скрещивающиеся прямые.

Решение:

а) а || BD, BD и CD – пересекаются => a и CD пересекаются. а⊂α, BD α.
б) а и b не лежат в одной плоскости, а и b скрещиваются ( по признаку скрещивающихся прямых). b  пересекает α в точке С, С а.

№3

Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD-скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: 

а) 50о; 

б) 121о.

Решение:

a || BC, значит a || плоскости ABCD. CD   ВС =>  СD скрещивается с а.
а) В = 50°. Проведём в плоскости ABCD прямую l так, чтобы  l || DC(а, значит l || а). CBMN – параллелограмм .Угол между а и CD будет равен углу между l и СВ, то есть острому углу CNM.

б) Если С=121°, тогда между а и CD будет являться острый угол AMN. AMN = 180°-121°=59°.

Ответ: 50°, 59°.

№270

ABCDA1B1C1D1 – куб, точка О пересечения диагоналей грани DD1C1C.
а) Найдите угол между прямыми A1O и AB1;

б) Верно ли, что угол между прямыми A10 и KT (точки К и Т – середины рёбер АА1 и AD соответственно) равен 30°?

Решение:

а)1)AB1 || DC1 => ( A1O, AB1) = A1OD;
 2) в ΔDA1C1     DA1=A1C1=C1D (как диагонали равных квадратов) => A1O- медиана и высота => A1OD=90°;

б)1) да, так как  КТ || A1D (как средняя линия ΔAA1D)=>( A1O, КТ) = DA1O;

   2) в ΔDA1C1 DA1C1 = 60°, A1O – его биссектриса =>  DA1O=30°.
Ответ: а) 90°, б) 30°.

5. Рефлексия

• Справились ли мы с теми задачами которые были заданы в начале урока?
• Какие задачи мы научились решать?

6. Домашнее задание.

§4 (стр. 85-89), №271.

Приложение

Задачи по теме: «Угол между прямыми»

1. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P-середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

а) ND и AB; 

б) PK и BC; 

в) MN и AB; 

г) МР и AC; 

д) KN и AС; 

е) MD и BC.

ф

2. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая a, параллельная диагонали BD, а через вершину С-прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: 

а) прямые а и CD пересекаются; 

б) а и b скрещивающиеся прямые.

3. Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD-скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: 

а) 50о; 

б) 121о.

УТВЕРЖДАЮ

Учитель математики  

________ Л. Р. Вольняк

«__»   ________  2016г.

Тема: "Угол между прямыми"

Обучающие: с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися определения угла между пересекающимися, параллельными и скрещивающимися прямыми;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний и умений. Решение задач.

Методы: словесный (рассказ), диалогический.

1. Организационный момент.

• Приветствие.
• Сообщение целей и задач урока.
• Мотивация изучения нового материала.
• Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.
• Проверка присутствующих на уроке;

2. Проверка домашнего задания

№271

Два квадрата ABCD, BCKT и прямоугольный треугольник ABT (ABO  = 90°) расположены в пространстве так, как показано на рисунке. Точка Р и О –середины отрезков АВ и ВС.

а) Найдите угол между прямыми РО и DK.

б) Верно ли, что угол между прямыми ТС и DK равен   90°?

в) Найдите угол между прямыми АТ и KF, где точка F – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.

Решение:

а) 1) Так как AD = TK и AD || TK, то ATKD -  параллелограмм, т.е. AT || DK. Проведём PQ || AT.OPQ  - искомый.

2) Δ OPQ  - правильный, так как  PQ = OP = OQ (как средняя линия равных треугольников  ATB, ABC, TCB).

3) Значит OPQ  = 60°

б) Так как AT || DK, то .ATC – искомый. AT=TC=AC (как гипотенуза равных треугольников), поэтому ΔATC – правильный, т.е. ATC=60°.

в) ΔDKB – правильный, KF – медиана, а значит, и биссектриса , т.е.

Ответ: 60°, неверно, 30°.

3. Актуализация знаний.

Метод: фронтальный опрос (устно):

1. Чему равен угол между параллельными прямыми?
2. Какие фигуры изучает планиметрия, а какие стереометрия?
3. Какой угол называется скрещивающимся?
4. Назовите основные фигуры в пространстве.
5. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?

4. Закрепление изученного.

№274

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1 см, AA1  = 1 см, AD = 3 см. Точки F и K лежат на рёбрах B1C1 и AD так, что B1F:B1C1 = 2:3, AK:AD = 1:3. Найдите угол между прямыми A1F и D1K.

Решение:

1. Проведём C1E || A1F и KC || C1E. Получим KC || A1F1, таким образом, D1KC – искомый.
2. Из ΔD1СD  D1C2 =  12+12=2(см2)

Из ΔKCD  KC2=D1D2 + KD2 = D1D2 +(см2).

Из ΔKD1D  (см2).

3. Из ΔKD1C по теореме косинусов .

Отсюда

4. , значит,

Ответ:

 № 275

SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна а, точка F – середина ребра SC.

а)Найдите угол между прямыми АВ и SD.

б) Перечертите рисунок в тетрадь. Постройте угол между прямыми DF и АС, найдите этот угол.

Решение:

Основанием данной пирамиды является квадрат, боковые грани – равные правильные треугольники

а)   Так как AB || CD, то SDC – искомый.

ΔSDC – правильный, поэтому 60°.

б) 1) Проведём FE || AC, тогда  – искомый.

2) EF – средняя линия ΔASC, поэтому

.

3) DF – медиана правильного ΔSDC, а значит, высота, поэтому:

.

 .

5. Из ΔFDE по теореме косинусов DE2=EF2 + DF2- .

Отсюда .

6. .

Ответ: 60°,

№276

        В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра которой равна а. Точка К – середина ребра SA. Постройте угол между прямыми AD, CK  и найдите его.

Решение:

1. Основанием данной пирамиды является квадрат, боковые грани – равные правильные треугольники.
2. BC || AD, поэтому ВСК – искомый.
3. Из ΔASB, где КВ – медиана правильного треугольника, по теореме Пифагора найдём
4. Из ΔASС по теореме косинусов

Отсюда .

5. Так как , то =90°.
6. Из ΔKSC по теореме Пифагора  
7. Из ΔВКС по теореме косинусов

Отсюда

8. , т.е. ВСК= arccos

Ответ: arccos

5. Рефлексия

• Справились ли мы с теми задачами которые были заданы в начале урока?
• Какие задачи мы научились решать?

6. Домашнее задание.

§4 (стр. 85-89), №272, №273.