Конспект урока по элективному курсу "Подготовка к ЕГЭ по геометрии в 11 классе по теме "Угол между прямой и плоскостью"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему
На данном уроке по элективному курсу "Подготовка к ЕГЭ по геометрии" ученики повторяют понятие угла между прямой и плоскостью, решают задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, рассматривают популярные ошибки при нахождении угла между прямой и плоскостью, приобретают опыт решения задач ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 250.5 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ «Первомайская СОШ Оренбургского района»
Конспект урока по элективному курсу
«Подготовка к ЕГЭ по геометрии» в 11 классе
«Угол между прямой и плоскостью»
(С видеопланом решения задачи С 2.
https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )
Газизова В.В.
Цель урока: повторить понятие угла между прямой и плоскостью,
решить задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, рассмотреть популярные ошибки при нахождении угла между прямой и плоскостью,
приобрести опыт решения задач ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью.
План урока:
- Организационный момент.
- Проверка решения домашних задач.
- Повторение теоретического материала.
- Решение ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью на моделях различных фигур.
- Дифференцированная работа.
Группа А. (профиль), подробное решение задачи С2.
Группа B. (база), самостоятельное решение подборки задач,
прототипов №13 по карточке.
6. Дифференцированная домашняя работа.
7. Итог урока.
- Организационный момент.
Сегодня на уроке мы повторим понятие угла между прямой и плоскостью. Цель нашего урока – приобрести опыт решения задач на нахождении угла между прямой и плоскостью. Мы увидим, как отражается данная тема в вариантах ЕГЭ.
2. Проверка домашнего задания.
1. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =5, =4, =4. Дайте ответ в градусах.
Решение:
Заметим, что грань BB1C1C является квадратом, а угол между стороной и диагональю квадрата равен 45º. Следовательно ∟ = 45º.
2. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.
Решение:
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, один из них ∆BOC,
значит BC = BO = 8 см. Рассмотрим ∆ВOS:
∟ВOS = 90º, BS = 17 см. (пифагорова тройка чисел 8; 15; 17), следовательно SO = 15 см.
- Повторение теоретического материала.
Актуализация знаний – в ходе беседы.
Чтобы научиться определять угол между прямой и плоскостью, нам потребуется вспомнить несколько вспомогательных определений.
Определение 1:
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
Определение 2:
Проекцией точки М на плоскость α называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости α, либо точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости α.
Определение 3:
Проекцией прямой а на плоскость α называют множество проекций всех точек прямой а на плоскость α.
Определение 4:
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90º, а угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0º.
Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, разнообразны. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Сегодня мы рассмотрим решение таких задач геометрическим методом.
Алгоритм действий:
Нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла α в прямоугольном треугольнике.
Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.
4. Решение ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.
№ 1.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
Найти: угол между прямой AD1и (ABC).
Решение:
по определению, это угол между прямой
и её проекцией на плоскость ABC.
Прямая DD1 перпендикулярна (ABC),
значит точка D – проекция точки D1.
∟D1AD = 45º.
Многие делают такую ошибку: рассматривают угол между наклонной и любой прямой в данной плоскости (не проекцией). Давайте посмотрим, что будет, если вместо проекции AD взять другую прямую, например, AC.
Другой ли будет ответ?
∆ AD1С – равносторонний (так как его стороны – диагонали равных квадратов)
Следовательно, ∟D1AС = 60º.
Ну, а угол между прямой и плоскостью не может быть равен и 45º и 60º.
Как видим это не одно и то же.
Вывод: действовать строго по определению. Искать именно проекцию наклонной и рассматривать угол между наклонной и её проекцией!
№ 2.
Дан куб ABCDA1B1C1D1. AB = 1.
Найти: угол между прямой B1D и (ABB1)
Решение:
прямая DA перпендикулярна боковой грани ABB1A1,
следовательно DA перпендикулярна плоскости ABB1.
Значит точка A – проекция точки D на (ABB1).
Тогда прямая AB1 проекция прямой B1D на (ABB1).
∟DB1A – искомый и найти его можем, рассматривая ∆ AB1D.
1 способ.
По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника
tg∟DB1A = 1/√2 => ∟DB1A = arctg1/√2
2 способ.
По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника
сtg∟DB1A = √2/1 => ∟DB1A = arcctg√2
3 способ.
Найдём сначала диагональ куба B1D, которая в ∆ AB1D является гипотенузой. По свойству диагонали куба d = a√3, значит B1D = √3.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника
sin∟DB1A = 1/√3 => ∟DB1A = arcsin 1/√3.
4 способ.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника,
cos∟DB1A = √2/√3 => ∟DB1A = arccos√2/√3
№ 3.
Дано: ABCDS – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой 1. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
Решение:
- Из точки S опустим перпендикуляр SO
на плоскость ABC.
- Так как пирамида правильная, то этот перпендикуляр попадёт в центр квадрата в основании, то есть в точку O.
- AO – проекция прямой AS на плоскость ABC. ∟SAO – искомый.
- ∆ SAO – прямоугольный, AO = √2/2 (половина диагонали квадрата со стороной 1 см)
- По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника cos∟SAO = (√2/2)/1 = √2/2 , поэтому ∟SAO = 45º.
5. Решение задачи с группой А. (профиль, С2)
(задания взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru/)
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 13, BC = 24. Высота призмы равна 5. Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
Решение.
1. В равнобедренном треугольнике A1B1C1 высота A1М является медианой, значит перпендикуляром из точки A1 на плоскость (BCC1) будет медиана A1М.
2. Так как призма прямая, то
A1М ⊥ B1C1 значит, A1М ⊥ (BCC1) по признаку
=> перпендикулярности прямой и плоскости
A1М ⊥ CC1
3. МВ – проекция пр. A1B на плоскость BCC1 .
4. ∟A1ВМ – угол между прямой A1B и ее проекцией МВ.
5. Из прямоугольного Δ A1 МB1 A1 М = 5 (Пифагорова тройка 5, 12, 13)
6. Из прямоугольного Δ МB1B МВ = 13 (Пифагорова тройка 5, 12, 13)
7. Из прямоугольного Δ A1МВ : tg A1МВ =5/13,
поэтому ∟A1МВ = arctg 5/13.
Ответ: угол между прямой A1B и плоскостью BCC1 равен arctg 5/13.
Решение задач группой B.
(самостоятельное решение задач №1, №2, №3 по карточке)
Карточка:
Угол между прямой и плоскостью. База (прототипы № 13)
1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .
2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите угол между прямой SB и плоскостью основания.
3. Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
4. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .
5. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите угол между прямой D1B и плоскостью (ABC).
№ п/п | Ответы к задачам по карточке (база) |
1 | 17 |
2 | arcsin 8/17 или arccos15/17 или acrtg8/15 или arctg15/8. |
3 | 45º |
4 | 3 |
5 | arcsin 3/5 или arccos4/5 или acrtg3/4 или arctg4/3. |
6. Домашняя работа (дифференцированная).
Задания из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
База. Задачи по карточке №4, №5.
Профиль. Задача С2:
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1 см. Найдите угол между прямой BC1 и плоскостью AA1F.
(С видеопланом решения данной задачи С 2 можно ознакомиться по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )
7. Итог урока:
На этом уроке мы:
- Работали с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью.
- Повторили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
- Выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости.
- Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование определения угла между прямой и плоскостью.
Учитель отмечает успешную работу учащихся, выставляет отметки.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/26/picture-188646-1359217870.jpg)
Практическая работа "Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью"
Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/16/picture-205260-1361025222.jpg)
Конспект урока, геометрия в 10 классе "Углы между прямыми и плоскостями"
При моделировании урока использованы цифровые образовательные ресурсы из единой коллекции, а также авторские демонстрационные презентации...
![](/sites/default/files/pictures/2012/09/30/picture-112360.jpg)
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями
Данные задачи могут быть использованы при изучении темы "Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями." Задачи представлены в табличной форме....
![](/sites/default/files/pictures/2014/12/14/picture-546331-1418583584.jpg)
Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»
Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/08/picture-560387-1420705791.jpg)
Презентация к уроку геометрии в 10 классе по теме"Угол между прямой и плоскостью." "Угол между плоскостями"
Презентация по теме "Угол между прямой и плоскостью". "Угол между плоскостями" к учебнику А.В.Погорелова.Урок изучения нового материала....
Презентация к уроку по геометрии 10 класса " Угол между прямой и плоскостью"
Данная презентация пригодится учителям математики при проведении урока на тему " Угол между прямой и плоскостью"...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/02/picture-169859-1357135947.jpg)
Презентация к уроку геометрии в 11 классе "Вычисление углов между прямыми и плоскостями"
На уроке вспоминаются понятия углов между прямыми и плоскостями, способы нахождения величин углов, преимущество векторного способа....