Презентация "Теорема Пифагора"
презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»

Минобразования Чувашии

Методическая разработка

Различные способы

 доказательства теорем

                                                                Выполнила учитель математики

            МБОУ «Гимназия № 1»

                                                                                      Тимина О.И.

Чебоксары

2016

Цель данной методической разработки – оказать помощь учителю в улучшении преподавания геометрии на примере обучения различным способам доказательства.

        Самостоятельные доказательства учащимися теорем, творческие находки при  этом положительно сказываются на привитие интереса к изучаемому предмету, побуждают их более вдумчивому изучению его, а это позволяет им более успешно раскрывать богатые возможности математики.

        Следует помнить, что поиски различных способов доказательств, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения из них наиболее рациональных является важным фактором развития математического мышления.

Доказательство, его сущность и содержание

Доказательством называется такая логическая форма мышления, в которой из истинности отдельных суждений с помощью ряда последовательных умозаключений определенным образом выясняется истинность некоторого положения. Сущность всякого доказательства состоит в том, что некоторые ранее принятые или доказанные суждения ставятся в соответствие друг другу так, что их соотношения приводят к другим мыслям, в результате которых получаются новые суждения. Характеризуя сущность доказательства, приходим к его содержанию, которое раскрывается логическим процессом мышления в форме трех взаимосвязанных частей:

1. Всякое доказательство включает в себя некоторое доказываемое положение, называемое тезисом. Доказательство имеет своей целью обосновать достоверность сформулированного тезиса. Следовательно, при доказательстве прежде всего высказывается тезис-предположение, а затем в результате некоторого процесса логического мышления происходит убеждение в справедливости высказанного тезиса. После того, как в ходе доказательства высказанное предположение подтверждено, тезис становится истинным суждением.

2. За основание всякого доказательства принимают некоторые истинные суждения. Эти суждения называются аргументами. Аргументам обязательно присуща определенность: они являются или ранее принятыми, или ранее доказанными положениями.

3. В доказательстве  выделяется и третья его часть – демонстрация. Логический процесс взаимосвязи суждений, при котором осуществляется непосредственный переход от аргументов к умозаключениям, а от них – к истине, называется демонстрацией или способом доказательства.

Таковы сущность и содержание доказательства.

Различные способы доказательств

Тезис может быть доказан не одним, а многими способами. Я приведу примеры различных доказательств одного суждения, в котором различные аргументы, взятые в определенном отношении, приводят ко многим способам доказательства. Итак, убедимся в этом при доказательстве предложения: «Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный». Над доказательством данной теоремы думают три ученика.

1. Первый ученик за основание доказательства решил принять следующие суждения:

1) углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой;

2) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним;

3) сума двух смежных углов равна .

        Рассмотрим этот способ доказательства. В (рис.1)  в   Кроме того, , а  Из двух пар этих равенств выводим: 2()= Но  следовательно

2) углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

Второй ученик тоже доказал теорему, но его доказательство несколько отличается от доказательства первого ученика.

                3. Для своего доказательства третий ученик взял два аргумента второго способа и дополнил их третьим: «Если два смежных угла равны, то общая сторона перпендикулярна к прямой, на которой лежат две другие стороны». Вот это доказательство: в   но  и  следовательно, , т.е.

        С учащимися можно рассмотреть, в чем различие этих способов, и указать причины возникновения их. Это очень полезная работа, она способствует развитию творческого мышления, и ею не следует пренебрегать.

        Однако доказательство данного предложения не исчерпывается только этими тремя рассмотренными способами. Можно некоторые из указанных аргументов дополнить другими или взять за основания совершенно отличные от рассмотренных суждения и всякий раз будем получать новый способ доказательства. В подтверждение этого проведем еще несколько способов доказательства.

сторонами), а так как  то и равный ему  будет прямой.

        Можно начать рассуждения с проведения высот DM и DN треугольников ABD и BDC (медиан DM и DN), которые будут и биссектрисами. Дальнейшие рассуждения аналогичны предшествующим.

        5. Вот еще одно доказательство рассматриваемого утверждения.

        6. Проведем DN параллельно АВ и DM параллельно ВС (рис.2), тогда четырехугольник MBND – параллелограмм и BN = NC, а   AM = MB, т.е. MN – средняя линия АВС, MN = ½ AC = BD. Таким образом, в параллелограмме MBND  диагонали равны, а значит, он является прямоугольником, т.е. АВ  ВС.

, т.е. DN – биссектриса ( а следовательно, и высота). Теперь имеем,

DN  BC  и  DN | | AB, следовательно, АВ  ВС.

Следовательно, . Но , то , а значит АВ ВС.

         Все рассмотренные способы доказательства отличаются один от другого. Среди этих способов есть такие, которые быстро приводят к цели, другие не так изящны. Это зависит от выбора исходных суждений (аргументов) и от последующей взаимосвязи их.

        В свою очередь выбор исходных посылок, очевидно, зависит от запаса истинных суждений в распоряжении доказывающего. Это следует всегда помнить. Нельзя требовать от семиклассника  всех рассмотренных выше способов доказательств. Для них такие суждения как «Четырехугольник, у которого диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, - прямоугольник», «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой» и ряд других – не будут истинными (доказанными), поэтому они не смогут воспользоваться ими. В тоже время для восьмиклассников все встретившиеся при доказательстве аргументы будут истинными (особенно в конце учебного года), и у них в распоряжении запас логических посылок для отыскания способов доказательств будет значительно больший.

        Конечно же учителю самому необходимо знать как можно больше способов доказательств, чтобы с пополнением у учащихся запаса истинных суждений, способных служить основаниями доказательства, умело наталкивать детей на отыскание различных способов доказательств.

Первые доказательства и их разновидности

Для успешного обучения школьников различным способам доказательства надо представлять им широкие возможности свободного выбора необходимых посылок как при доказательстве предложений стабильного учебника, так и при решении задач. Причем эти два вида работ должны взаимно дополнять и обогащать друг друга.

        В учебных целях очень важно учителю ориентироваться на максимальные, а не на минимальные познавательные способности школьников.

Практику отыскания различных способов доказательств полезно начинать как можно раньше. Уже на первых уроках необходимо демонстрировать учащимся разнообразие путей, которыми можно прийти к умозаключению. Конечно, сначала надо предлагать более легкие упражнения. Очень важно в это время обучать учащихся тому, как отыскивать различные варианты решений. Большую роль здесь должна играть наглядная иллюстрация способов решения.

        При изучении темы «Сравнение отрезков и действия над ними» можно предложить такую задачу: «На отрезке АВ взяты точки C и D  так, что АС = BD. Сосчитать число отрезков и выделить среди них равные пары».

(AC, AD,  AB,  CD,  CB,  DB). Затем от учащихся требуется выделить равные отрезки. Дети сразу укажут первую пару: AC = DB. Из четырех оставшихся следует указать на самый большой отрезок – АВ. Наконец, выписываются последние три: AD, CD и CB. Очевидно, отрезок CD не может быть равен ни отрезку AD, ни СВ, так как он является частью каждого из них. Это учащиеся должны уяснить. Осталась последняя пара отрезков: AD и CB. Предлагается сравнить их.

        Многие воспользуются масштабной линейкой или циркулем. Так или иначе, они убедятся в равенстве отрезков.

        Подводя итоги работы над задачей, учитель может выделить в этой деятельности два этапа: откладывание на отрезке АВ равных отрезков АС и BD и заключение о равенстве отрезков AD и ВС. Первый этап деятельности – сознательный выбор точек С и D, чтобы АС = DB; второй этап – следствие из первого. Оно справедливо во всех случаях и при заданном условии не может быть иным. Однако для того чтобы убедиться в справедливости его, необходимы различные средства и способы.  

        Учитель должен подчеркнуть, что, несмотря на то что учащиеся при доказательстве пользовались различными средствами (масштабная линейка, циркуль, клетки тетрадного листа), все же они применяли один способ – способ измерения отрезков. Однако это далеко не единственный  путь решения задачи. Задачу можно решить и не располагая указанными средствами.

        Итак, вернемся к рис.10. Известно, что АС = DB, следует доказать, что AD = CB. Вместе с учащимися можно сформулировать новую задачу, но при ее доказательстве запрещается измерять отрезки.

        Учащиеся быстро решат задачу, если с ними перед этим повторить такие истинные суждения: «Если к равным величинам прибавить равные величины или от равных величин отнять равные величины, то получим также равные величины». Эти суждения приведут к двум способам доказательства.

        1. Так как АС = DB, то АС + СD = CD + DB (к равным отрезкам прибавили один и тот же отрезок). Но АС + CD = AD, а CD + DB = CB, значит AD = CB.

        2. AB – AC = AB – DB (от равных отняли равные). Но, AB – AC = CB, а AB – DB = AD, следовательно,  CB = AD.

        3. Учащиеся могут рассуждать и так: «Если от двух отрезков отнимем один и тот же отрезок и в результате получим равные отрезки, то первые отрезки будут также равны». Если никто из учащихся не сможет предложить этот способ доказательства, то необходимо подсказать его учащимся. И тогда доказательство будет выглядеть так: из отрезков AD и СВ вычтем отрезок CD. Будем иметь AD – CD =AC и CB – CD = DB. Но так как АС = DB, то AD – CD = CB – CD. Из последнего равенства следует AD = CB.

         Следует иметь в виду: пока у учащихся запас истинных суждений по геометрии, способных служить основаниями доказательства, незначительный, способов решений, естественно, будет меньше. Однако там, где можно, мы должны прибегать к знаниям по арифметике. Только что рассмотренная задача наглядно иллюстрирует полезность этой работы.

        Вместе с тем мы обязаны даже в небольшом запасе знаний учащихся по геометрии находить такие суждения, которые можно с успехом принимать за аргументы доказательства. Поиски таких суждений и их применение скажутся на общем развитии учащихся.

Различные способы доказательства первых теорем

        Знакомить учащихся с различными способами доказательства необходимо не только на примерах решения задач. Уже при доказательстве первых теорем необходимо ознакомить учащихся с отдельными способами доказательств, отличных от тех, которые предлагаются в учебнике. Если этого не сделать, то у учащихся создастся неверное представление: якобы задачи могут решены различными способами, а теоремы – одним способом.

        Рассмотрим отдельно доказательство некоторых теорем учебника. Одна из таких теорем – первый признак равенства треугольников: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то таки треугольники равны».

        Вот как эта теорема доказывается в учебнике под редакцией Л.С.Атанасяна.

        Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1,

АС = А1С1, и А = А1 (рис.11). Докажем, что АВС = А1В1С1.

АВ = А1В1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, а сторона АС – со стороной А1С1; в частности совместятся точки В и В1 , С и С1. Следовательно , совместятся стороны ВС  В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1  полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

        Знание доказательства этой теоремы необходимо. Однако учащиеся извлекут намного больше пользы для развития своего творческого мышления, если найдут хотя бы по одному доказательству, отличному от того, которое предложено в учебнике. Возможно, что отдельные школьники предложат даже несколько способов доказательств.

        Так, учащимся может быть предложен следующий способ доказательства первого признака равенства треугольников, если учащимся порекомендовать воспользоваться не наложением одного треугольника на другой, а приложением одного к другому, затем воспользоваться понятием симметрии. Но эти рекомендации могут быть и не даны. Это зависит, во-первых, от способностей учащихся и, во-вторых, от того, насколько они обучены умению доказывать теоремы различными способами.

        Перейдем к рассмотрению доказательства первого признака равенства треугольников.

        Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1   АС = А1С1, АВ = А1В1  и

ВАС = В1А1С1. Докажем, что АВС = А1В1С1 (рис.12).

На основании свойств равнобедренного треугольника заключаем, что АО одновременно является и медианой и высотой, т.е. ВО = ОВ2 и АО ВВ2. Следовательно, точки В и В2 симметричны относительно АС, значит симметричны и треугольники АВС и АВ2С. Но так как симметричные фигуры равны, то АВС = АВ2С или АВС = А1В1С1, поскольку треугольник АВ2С есть треугольник А1В1С1.

        Каждый, кто проанализирует этот способ доказательства и сравнит его со способом наложения, придет к выводу, что при этом способе доказательства будет решено сравнительно больше учебно-познавательных задач.

        Первый признак равенства треугольников можно доказать и иначе, хотя в этом способе доказательства есть много общего с только что рассмотренным.

Биссектрису AD угла ВАВ1. Она будет и медианой и высотой в АВВ1, т.е. точки  В и  В1  симметричны  относительно   прямой  AD.  В  силу  того  что

В1АD = DAB (AD – биссектриса угла ВАВ1) и С1АВ1 = САВ (по условию), имеем С1АD = DAC, т.е. ADC1C. К тому же АС = АС1 (по условию). Следовательно симметричными относительно прямой  AD будут и точки  С  и  С1. Итак, из всего доказанного делаем вывод, что треугольники АВС и АВ1С1 симметричны, а значит, и равны.

        Несколько таким образом решенных задач и доказанных теорем убеждают учащихся в том, что способы доказательств математических предложений различны. Многие из этих способов интересны.

        Не следует думать, что учащиеся быстро научаться применять разнообразие способов доказательств. Это нелегкий и длинный путь. Но со временем многие учащиеся будут охотно прибегать к поискам различных способов доказательств, а некоторые из них найдут такие, которые своим строгими логическими обоснованиями и изяществом изложения будут характеризовать богатые творческие способности доказывающего.

Доказательства, способствующие выработке у учащихся

навыков работы с книгой

        Привитие учащимся навыков ведения доказательств различными  способами не должно отрываться от общих задач обучения. Мало того, эта деятельность призвана активизировать учебный процесс, повышать его эффективность. Ну, а если конкретно: успех учебы во многом зависит от умения учащихся работать с книгой, в частности с учебником. В связи с этим одной из важнейших задач обучения является привитие учащимся навыков этой творческой работы. Существенную роль в этом деле может сыграть описываемая работа.

        Нередко учителя после рассмотрения того или иного доказательства у доски заставляют учащихся здесь же в классе или дома прочитать доказательство по учебнику. Это небесполезный труд, так как учащиеся воспроизводят и закрепляют в памяти рассмотренное доказательство. Иногда это позволяет ученику самостоятельно и более осмысленно разобраться в доказательстве.

        Другое дело, если учащимся в классе предлагается доказательство, несколько отличное от того, которое рассматривается в учебнике, а затем ставится требование рассмотреть доказательство учебника. В этом случае учащимся представляется более широкое поле творческой деятельности. Они получают реальную возможность поработать с книгой, причем эта работа для них будет интересной, так как в процессе чтения им предстоит разобраться в некоторых выкладках самостоятельно. В данном случае придется взять в руки карандаш и бумагу и во время чтения производить необходимые построения и соответствующую доказательству запись. А это уже необходимое условие для чтения всякой математической книги. После такой работы учащиеся будут более уверенно браться за изучение математической литературы вообще.

        Приведу пример работы, предшествующей чтению учебника. При изучении одного из признака равенства прямоугольных треугольников по

В АВС продолжим катет ВС за вершину С, затем к АВС приложим

А1В1С1 так, чтобы катет А1С1 совместился с катетом АС. Так как АСВ2 прямой, то катет С1В1 пойдет по прямой СВ2 и А1В1С1 займет положение АСВ2. Образовавшийся АВВ2 равнобедренный (АВ2 = АВ), значит углы при его основании равны: В = В2. Теперь рассмотрим треугольники АСВ2 и АВС. Мы видим, что гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника. А такие треугольники, мы уже знаем, равны.

        Для доказательства в данном случае мы воспользовались одним из свойств равнобедренного треугольника (равенство углов при основании) и уже доказанным признаком равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Однако учащихся можно повести и другим путем. Для этого надо рассмотреть равнобедренный треугольник АВВ2. Так как АСВ = , то АС является высотой, а значит и биссектрисой Следовательно, В2АС = САВ. В этом случае мы свели доказательство к другому признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

        Наконец, доказательство можно было свести к равенству треугольников по трем сторонам, если воспользоваться известным для учащихся утверждением, что высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой.

        Когда признак будет доказан, можно предложить учащимся прочитать доказательство по учебнику. После всех рассмотренных видов доказательства с учителем учащиеся в состоянии самостоятельно разобраться в доказательстве по учебнику.

Доказательства, способствующие закреплению изученных положений

        Учитель может навести учащихся на путь поиска способов доказательства уже после рассмотрения доказательства учебника. Так, например, доказав по учебнику теорему «Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона», учитель может сообщить учащимся, что существует другое доказательство этой теоремы. Не исключена возможность, что учащиеся сами обратятся к учителю с вопросом: «Нет ли другого доказательства данной теоремы?». Следует отметить, что при умелом ведении описываемой работы учащиеся все чаще и чаще будут обращаться к учителю с таким вопросом.

угла ABD будет находится внутри угла АВС.

        В треугольнике ABD (по построению), значит, это треугольник равнобедренный, AD = DB. Далее, в  BDC  BC < BD + DC. Но так как DB = AD, то BC < CD + AD, т.е. BC < AC.

         В данном случае предложенное доказательство явится закреплением ранее изученного материала. Рассмотрение его будет способствовать более осмысленному пониманию отношения между сторонами и углами треугольника. И если для отдельной части учащихся, может быть, необходимо повторить доказательство по учебнику, то для более способных учеников это повторение может оказаться скучным и никакой пользы не принесет. Другое дело, если им в это время предложат подумать над другим способом доказательства. Это создаст творческую атмосферу в классе, и каждый будет увлечен работой над одной и той же темой.

Приемы обучения учащихся различным способам

 доказательства теорем

        Известно, что в содержание материала по геометрии входит много задач и теорем, которые связаны между собой так, что решение одной из них способствует успешному доказательству другой. Этой особенностью теорем и задач полезно воспользоваться при обучении различным способам доказательств теорем и решения задач.

        Так, в 9-м классе изучается теорема о свойстве средней линии треугольника. Существует и обратная теорема. Правда, ее в учебнике нет, но, тем не менее, она может быть предложена учащимся в качестве задачи на доказательство.

        Особенностью этих двух взаимно обратных (как и многих других) теорем является то, что рассмотрение способов доказательства одной позволит учащимся находить самостоятельно доказательства другой.

        Вот, например, как можно организовать учебный процесс в данном направлении.

        В классе доказывают прямую теорему. Доказательство может быть таким, как в учебнике, или несколько отличным от этого доказательства. После доказательства теоремы можно сообщить классу, что данную теорему можно доказать многими способами. Полезно посоветовать учащимся, особенно тем, которые проявляют склонность к математике, попытаться найти несколько способов. Обратную теорему можно предложить как задачу на доказательство.

        Приведем некоторые из способов доказательства ее.

Задача. Если отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине, то этот отрезок является средней линией треугольника. Доказать.

Дано:  В АВС  DE | | AC и  DE = ½ АС.

Доказать,  что DE – средняя линия треугольника АВС.

1. Проведем ЕК || AB, тогда четырехугольник ADEK – параллелограмм

(рис.16). DE = AK = ½ АС = КС, значит К – середина АС. К тому же КЕ || АВ, следовательно и точка Е – середина ВС (по теореме Фалеса). Но так как, кроме этого, DE || AK, то и точка D – середина АВ (по теореме Фалеса), т.е. DE – средняя линия.

2. Разделим АС пополам и соединим ее с точкой Е (рис. 16). Тогда АК =

DE (DE = ½ АС), к тому же DE || AK, значит четырехугольник ADEK –параллелограмм и Е – середина ВС ( по теореме Фалеса) и т.д.

При решении этой задачи учащиеся много раз опирались на понятие параллельных прямых, определение параллелограмма, признаки параллелограмма, признаки равенства треугольников, свойства параллельных прямых и др. Если принять во внимание, что учащиеся решат таким образом не одну задачу, то они основательно повторят и закрепят учебный материал. Мало того, многие из этих решений натолкнут их на наиболее рациональные приемы подхода к изучению теоретического материала.

        Итак, если учителю удастся привить детям интерес к отысканию различных способов решения задач и разных способов доказательств теорем, то он может испытать, а, следовательно, и развить исследовательские способности учащихся. Ведь думая над той или иной проблемой, ученик старается вспомнить ранее изученный материал и применить его к доказательству.

        Не следует думать, что учащиеся обязательно найдут оригинальный способ доказательства или решения задачи. В любом случае эта работа не будет напрасной. Задача учителя состоит в том, чтобы обнаруживать самостоятельные находки учащихся и обязательно указывать на них школьникам. И пусть эти находки незначительны, но для учащихся они полезны. Учитель обязан постоянно и умело наблюдать за процессом мышления учащихся, анализировать и изучать его. Это также не менее важная задача, осуществление которой способствует привитию интереса к предмету.