Вспомогательная окружность.
олимпиадные задания по геометрии (9 класс) на тему

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей №14 имени заслуженного учителя Российской Федерации А.М.Кузьмина»

 «Вспомогательная окружность»

Неверовская С.В.

учитель математики

Тамбов 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение3

Понятие окружности4

Основные свойства5

Решение задач с помощью вспомогательной окружности6

Заключение17

Список литературы18

ВВЕДЕНИЕ

Использование дополнительных построений - один из основных способов решения геометрических задач. С помощью дополнительного построения можно значительно упростить даже трудную задачу.

Порой использовать дополнительное построение в задаче не составит проблем , но в задачах повышенной сложности ,его непросто нарисовать: требуется опыт, смекалка и интуиция, чтобы понять что и где нужно провести.

Часто в ЕГЭ в части «В» встречаются планиметрические задачи, которые решить без использования дополнительных построений очень трудно. И в этом очень сильно помогает – вспомогательная окружность. Изучать окружность начинают в 8 классе и продолжают вплоть до 11, и нередко метод вспомогательной окружности используется в высшей математике ,что говорит о важности этого метода в геометрии. Построение вспомогательной окружности помогает установить связь между данными и неизвестными углами или

Основные понятия.

По определению, окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от точки (центр), и центр окружности лежит в той же плоскости, что и кривая.

1. Вписанная окружность

Окружность называют вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри этого многоугольника, и касается всех его сторон.

2. Описанная окружность

Описанной окружностью многоугольника называют- окружность, содержащую все вершины многоугольника.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

В  геометрии существует множество теорем и аксиом связанных с окружностью, однако для того чтобы решить задачу с помощью окружность не обязательно знать их все: существует несколько основных утверждений с помощью которых можно решить практически любую задачу с проведением окружности.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность
• В любой треугольник можно вписать окружность
• Если сумма противоположных углов в четырёхугольнике 180˚, то в четырёхугольник можно вписать окружность
• Если сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон, то вокруг такого четырёхугольника можно описать окружность
• Если точки B и C расположены по одну сторону от прямой AD и ABD=ACD, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.1)
• Если точки B и D расположены по разные стороны от прямой и притом ABC+ADC=180˚, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.2).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОКРУЖНОСТИ

Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC на катете BC взята произвольная точка F, так что FK перпендикулярна AC. Доказать, что FAK=FBK.

Решение

Рассмотрим четырёхугольник ABFK B=FKA=90˚, значит в четырёхугольнике ABFK сумма противоположных углов равна 180˚, а это необходимое и достаточное условие для того, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность. Описав окружность, заметим что FAK и FBK опираются на одну дугу, следовательно они равны.

Задача 2:  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AF,BS,CK, которые пересекаются в точке O. Доказать, что ABS=AFK

Решение

Так как AFB и CKB- прямые, то около четырёхугольника OFBK можно описать окружность, взяв BO за периметр. Построив окружность, можно заметить, что ABS=AFK, так как они опираются на одну и ту же дугу.

Задача 3: Доказать, что квадрат биссектрисы треугольник равен разности между произведением заключающих её сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

Решение

Опишем около треугольника ABC окружность, и продолжим биссектрису BM до пересечения с окружностью в точке D. Обозначим стороны буквами для упрощения вычислений: AB=a, BC=b, MD=s, AM=e, MC=k, BM=l.

По условию ABD=CBD, и ADB=ACB, так как опираются на одну и ту же дугу, из этого следует, что ΔABD~ΔBCM(по 1 признаку), тогда справедливо равенство:  ,отсюда следует  , а так как ek=ls, то .

Задача 4: В четырёхугольнике ABCD: DCB=100˚, DCA=55˚,ADB=45˚. Чему равен DBA?

Решение

BCD=DCB-DCA=45˚, тогда BCD=ADB. Тогда вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. И так как DCA и DBA опираются на одну и ту же дугу, то они равны и DBA=55˚.

Задача 5: В треугольнике ABC медиана BM делит B, так что MBC=45˚. Из точки M опущены перпендикуляры MS и MK на стороны AB и BC, MS=6, SK=. Найти площадь ΔSMK?

Решение

В четырёхугольнике MSBK MSB+MKB=180˚ из этого следует что через вершины четырёхугольника MSBK можно описать окружность. Тогда MSB=MBK, так как эти углы опираются на дугу MK, и MSB=45˚. И тогда площадь треугольника можно найти как половина произведения сторон на синус прилежащего угла..

Задача 6: Нужно доказать, что 3 высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

1.  Рассмотрим случай, когда треугольник остроугольный.

Решение

        Проведём в треугольнике ABC две высоты- CK и AM, и прямую BH которая пересекает AC в точке F. Нам нужно доказать, что  BFA=90˚.

        Так как  AKC=AMC=90˚, то точки A,K,M,C- лежат на окружности с диаметром AC.

        BKH=BMH= (так как AK и AM перпендикуляры к AB и BC). MBH= HKM так как опираются на одну дугу. ΔCAM~ΔCBF(по 1 признаку): C-общий, MAC=FBC, из этого следует что BFA=90˚.

2. Если треугольник тупоугольный, к примеру B теперь стал тупым, то в этом случае точка пересечения высот будет находится за пределами треугольника. Рассуждения буду точно такими же, только грубо говоря точки B и H меняются местами.

• Для прямоугольного треугольника точка пересечения высот- вершина прямого угла.

Задача 7: Расстояние между основаниями двух высот AK и AF ромба ABCD вдвое меньше диагонали AC. Найти углы ромба.

Решение

Так как AKC=AFC, то вокруг четырёхугольника AKCF можно описать окружность, где  AC- диаметр, а O- центр окружности. 2KF=AC, из этого следует, что KF=R (где R-радиус окружности). ΔKOF- равносторонний (OK=OF=KF=R), отсюда KOF=60˚. KOF и KAF опираются на одну дугу, где KOF- центральный, а KAF-вписанный, тогда KAF=30˚, C=150˚, B=30˚.

Задача 8: Дан угол в 60˚ с вершиной в точке A и точка K внутри угла. B и C- основания перпендикуляров, опущенных из точки K на стороны угла. KB=5, KC=4,найти AK.

Решение

ABK+ACK=180˚, тогда вокруг четырёхугольника ABKC можно описать окружность, где AK является диаметром (т.к. ABK=90˚). Соединим точки B и C, получим BKC=180˚-60˚=120˚. BC можно найти по теореме косинусов из ΔKBC:

BC==.

R= , R=.

Задача 9: В трапеции ABCD основание BC, диагональ AC и боковая сторона CD равны k. Боковая сторона AB равна q. Найти диагональ BD.

Решение

Продолжим BC на расстояние k, так что BE=2k. Тогда окружность с радиусом k и центром в точке C проходит через точки D, A, B. Если BE- диаметр окружности, то ABCD- равнобедренная трапеция и AB=ED=q. BDE=90˚(так как опирается на диаметр). ,тогда

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализировав результаты своей работы я пришёл к выводу, что проведение вспомогательной окружности в задачах значительно упрощает её решение. Нередко в B и C частях ЕГЭ встречаются задачи, которые без проведения дополнительных построений решить довольно сложно, и ученики подолгу ломают голову над такими задачами, исписывая при этом не один лист, хотя с помощью окружности решение может занять две строчки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И.Ф.Шарыгин. Геометрия Дрофа М.: 2007.
2. И.Ф.Шарыгин. Решение задач. Просвещение. М.: 2007.
3. И.Г. Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических задач, М., «Просвещение», 1996г.
4. Р.Г. Готман: «Задачи по планиметрии и методы их решения».

Ресурсы Internet