Логико-математический анализ теоремы
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Антонова Эльвира Викторовна

учитель математики, Гимназия №166

Логико-математический анализ теоремы:

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) * 180 - теорема определена в категоричной форме.

Разъяснительная часть: ( для любого F, F-многоугольник).

Условие:(F-выпуклый многоугольник) => Заключение: (сумма углов равна (n-2) * 180).

Вид теоремы: сложная

Обратная теорема: если сумма внутренних углов многоугольника равна (n-2) * 180, то этот многоугольник выпуклый (истина).

Противоположная: Существует выпуклый многоугольник, сумма внутренних углов которого не равна (n-2) * 180 (ложь).

Противоположная обратной: если сумма внутренних углов многоугольника не равна(n-2) * 180, то этот многоугольник невыпуклый (истина).

Мотивационный этап – создание мотивации через учебную доминанту.

Подготовительный этап

Актуализация знаний.

Фронтальный опрос:

1. Какая фигура называется четырехугольником?

2. Какие вершины многоугольника называются соседними? Какие – противоположными?

3. Что такое диагонали многоугольника?

4. Какой многоугольник называется выпуклым?

5. Назовите выпуклые многоугольники.

 Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол. Сумма углов треугольника)

Мотивация необходимости изучения факта:

Цель урока:  вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

Необходимые инструменты: лист картона, ножницы, линейка, карандаш

Ученики, работая в парах, выполняют указания учителя.

1. На листе картона изобразить произвольный выпуклый четырехугольник, отметить углы и вырезать четырехугольник. (Пример показан на рисунке 1.)

Рисунок 1.

2. Разрезать четырехугольник на 4 части так, чтобы каждой части принадлежал один из углов. (Пример показан на рисунке 2 и рисунке 3)

Рисунок 2.

Рисунок 3.

3)В тетради отметить точку и расположить четырехугольники так, чтобы эта точка была вершиной каждого из четырех углов. ( Пример показан на рисунке 4.)

Рисунок 4.

Мы видим, что при сложении образуется угол равный 360,  так как все 4  угла принадлежат нашему исходному четырехугольнику, то можем сделать вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360.

Таким образом, мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360.

Давайте попробуем найти какую-то закономерность.

Основной этап: (будем сначала доказывать теорему, а потом ее формулировать)

Изобразим n-угольник, выберем внутри него точку и соединим ее со всеми вершинами.

Рисунок 5.

Что можем сказать про получившуюся фигуру? (n-угольник разбит на n треугольников)

Чему равно количество сторон многоугольника? (количество сторон равно количеству треугольников).

Чему равна сумма углов всех треугольников? (сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке). Опираясь на наше исследование с разрезанием фигуры, мы можем сделать вывод, что сумма углов при внутренней точке равна   360.

Поэтому получаем , что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видим, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике n=3, а сумма углов 180.

Мы рассматривали четырехугольник, поэтому n=4, подставим в формулу и получим (4-2) * 180=2* 180=360

Формулировка теоремы: Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) * 180 .

Работа с формулировкой:

Что дано по условию теоремы? (выпуклый многоугольник)

Что мы доказали? (что сумма углов равна (n-2) * 180)

Выделение условия и заключения: если фигура выпуклый многоугольник (условие), то сумма углов равна (n-2) * 180 (заключение).

Первичное закрепление: (решение задач с взаимопроверкой)

1. Найдите сумму углов выпуклого: а) восьмиугольника; б) двенадцатиугольника.

 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его сумма углов равна 2340°?

3. Найти сумму углов выпуклого тринадцатиугольника(1 вариант), шестнадцатиугольника(2 вариант)

4. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°(150°) . Найдите число его сторон.