Решение задач по теме «Прямоугольные треугольники»
учебно-методический материал по геометрии (9 класс)

»

Пособие для подготовки учащихся к ОГЭ
наименование методических материалов

по теме

Решение задач по теме «Прямоугольные треугольники»
тема

Ф.И.О. автора: Сысоенко Елена Викторовна        

Наименование организации: Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя школа №5»

город Нижневартовск

Дата выполнения  «24»  марта 2017 г.

Руководитель курсов ПК   Алмазова С.В., к.ф.-м.н., доцент кафедры общего и дополнительного образования АУ «Институт развития образования»

Аннотация
(обоснованность и практическая значимость представленных материалов)

В работе «Пособие для подготовки учащихся к ОГЭ» представлены материалы для выполнения задания № 9 ОГЭ по математике, которые можно выполнять по алгоритму. Представленный материал может оказать помощь учителю по подготовке ГИА., а ученикам повысить свою рейтинговую оценку.

Оглавление
(или список представленных материалов)

1. Справочные материалы

2. Примеры решения задач

3. Тренировочные упражнения.

Обзор литературы

1. ОГЭ 3000 задач ГИА-9 Математика под редакцией И.В. Ященко - Москва: Экзамен, 2015  - 295-298с.

2. И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров Математика. Три модуля: Алгебра. Геометрия. Реальная математика. ГИА 9, типовые тестовые задания Москва: Экзамен, 2014  

3. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов Математика ОГЭ,  сборник заданий методическое пособие для подготовки ГИА - 9 Москва: Экзамен, 2015  

4. РЕШУ ОГЭ (образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика (электронный ресурс https://math-oge.sdamgia.ru/?redir=1)5.

Прямоугольный треугольник.

Справочные материалы.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника  ∠А + ∠В = 90° 

Теорема Пифагора  АВ2 = АС2 + СВ2

Прилежащий и противолежащий катеты.

∠В – острый угол 

АС – противолежащий ∠В катет;

СВ – прилежащий ∠В катет.

Синус острого угла

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему. 

Котангенс острого угла

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему. 

Основное тригонометрическое тождество  sin²А + cos²А = 1

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Примеры решения задач.

Задача 1      В треугольнике АВС угод С равен 90°, . Найдите cos A

Решение:

sin²А + cos²А = 1

Ответ: 0,25

Задача 2     В треугольнике АВС угод С равен 90°, . Найдите sin B.

Решение:

Ответ: 0,75

Задача 3       В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите tg A

Решение: (1 способ)

Ответ: 1,6

                                       Решение: (2 способ)

Ответ: 1,6

Задача 4    В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите tg A

Решение:

Ответ: 0,9

Задача 5    В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите cos A

Решение:

Ответ: 0,2

Задача 6    В треугольнике АВС угол С равен 90°, . Найдите sin A.

Решение: (1 способ)

Ответ: 0,5

                                   Решение: (2 способ)

Ответ: 0,5

Задача 7     В треугольнике АВС угол С равен 90° АВ = 10, sin A = 0,9. Найдите ВС. 

  Решение:

Ответ: 9

Задача 8      В треугольнике АВС угол С равен 90° АВ = 16, cos A = 0,25. Найдите AС.

Решение:

Ответ: 4

Задача 9       В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 20, tg A = 0,2. Найдите BС

Решение:

Ответ:   4

Задача 10   В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 40, . Найдите АС.

Решение:

Ответ: 15

Задача 11    В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН высота, АВ = 16, . Найдите АН

Решение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. ВС²=АВ⋅ВН

Ответ: 7

Задача 12        В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH высота, АB = 25,  sin A = 0,8.  Найдите высоту СH.

Решение: Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.

Из подобия треугольников следует ;СВ = АВ⋅ sin A; CB = 25 ⋅ 0,8 = 20;                Ответ: 12

Задача 13  Площадь прямоугольного треугольника равна   Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Ответ: 38

Задача 14    В треугольнике ABC  известно, что AC = 26,  , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:  

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Ответ: 15,5

Тренировочные упражнения.

1. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Найдите AB. (ответ: 20)

2. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. (ответ: 50)

3. В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°, АС = 15,  . Найдите AB. (ответ: 21)

4.  В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°, BC = 12,  .  Найдите AB. (ответ: 33)

5.  В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°, BC = 8, sinA=0,4 . Найдите AB. (ответ: 20)

6. В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°,  AC = 9, cosA=0,3. Найдите AB. (ответ: 30)

7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tg A = 0,5. Найдите BC. (ответ: 10)

8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, tg A = 0,5. Найдите AC. (ответ: 40)

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 18, tg A = 3. Найдите AC. (ответ: 6)

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tg A = 1,5. Найдите AC. (ответ: 18)

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tg A = 1,5. Найдите BC. (ответ: 20)

12. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. (ответ: 33,6)

13. Катеты прямоугольного треугольника равны   и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. (ответ: 0,25)

14. Площадь прямоугольного треугольника равна   Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. (ответ: 16)

15. В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°, AC = 12,   Найдите AB. (ответ: 28)

16. В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°,  , AC = 9. Найдите AB. (ответ: 15)

17.  Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. (ответ: 34)

18. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24. (ответ: 12)

19. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна .  Найдите sin ∠ABC. (ответ: 20)

20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 0,75. Найдите BC. (ответ: 3)

21. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13. (ответ: 30)

22. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника. (ответ: 9)

23. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника. (ответ: 30)

24. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. (ответ: 67)

25. В треугольнике ABC  известно, что AC = 26,  , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. (ответ: 15,5)

26. В треугольнике ABC  известно, что AC = 39,  , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. (ответ: 22)

27. В треугольнике АВС  угол  С  равен 90°, BC = 1, sin A =0,5 . Найдите AB. (ответ: 2)

28. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 63°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. (ответ: 27)

29. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника. (ответ: 12)

30. Два катета прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

31. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 57°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. (ответ: 33)

32. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 8, AC = 32. (ответ: 16)