Окружность. Касательная. Вписанные углы. ОГЭ (ГИА) задание 10 модуль "Геометрия"
тренажёр по геометрии (9 класс) на тему
Окружность. Касательная. Вписанные углы.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Задание 10 модуль "Геометрия" | 528.99 КБ |
 Окружность | 199.35 КБ |
Предварительный просмотр:
МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»
Окружность. Касательная. Вписанные углы.
ОГЭ (ГИА) задание 10 модуль «Геометрия»
Составитель:
учитель математики
первой категории Т.Н.Сидорова
Окружность. Касательная. Вписанные углы.
Рассмотрим решение некоторых прототипов задач из Задания 10 ОГЭ (ГИА) по математике (или Задания 7 ЕГЭ по математике).
Предлагаю вам решить эти задачи самостоятельно, а затем свериться с решением.
Вспомним свойства вписанного угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
∠∠
Важно: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны между собой. В частности, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Рассмотрим решение задач.
Решение.
Рассмотрим треугольник :
, следовательно, треугольник - равнобедренный.
∠∠
Угол и угол - вертикальные. Вертикальные углы равны.
∠∠
Ответ: 104
Решение.
∠∠∠:
∠ и ∠ опираются на дугу ,
поэтому ∠∠:
отсюда ∠∠∠
Ответ: 70
Решение.
Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить два факта:
1. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен . И наоборот, если вписанный угол равен , то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть
2. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.
Найдем по теореме Пифагора гипотенузу :
Отсюда и
Ответ: 2,5
Решение.
∠ опирается на дугу . Найдем величину этой дуги.
∠ опирается на дугу . Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, .
диаметр окружности, следовательно, угловая величина дуги
Отсюда
Тогда ∠
Ответ: 54
Решение.
Центральный угол опирается на ту же дугу, что и вписанный угол , следовательно, ∠∠
Проведем прямую и рассмотрим треугольник
Угол в сумме с углом дает ( так как они смежные), следовательно, ∠
Угол - внешний угол треугольника и равен сумме двух углов, не смежных с ним.
∠
тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠∠
Ответ: 32
Решение.
Проведем диагональ ромба . Отрезки являются радиусами окружности, поэтому .
Стороны ромба равны между собой, поэтому треугольники и - равносторонние, и все углы этих треугольников равны :
Следовательно, ∠
Ответ: 120
Решение.
Вспомним свойства касательных.
1. Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки равны между собой. То есть
2. Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной.
То есть ∠ ∠:
Получаем, что∠∠
Найдем ∠. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник .
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма углов треугольника равна 180 градусов:
Отсюда ∠
Следовательно, ∠
Ответ: 36
Решение.
Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается.
Центральный угол, который опирается на большую дугу равен
Пусть длина большей дуги равна .
Составим пропорцию:
отсюда
Ответ: 441
Решение.
Для решения это задачи нам понадобится еще одна теорема:
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть
Найдем .
Следовательно,
Отсюда
Ответ: 40
Решение.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть
Пусть радиус окружности равен . Тогда
Получаем уравнение:
Ответ: 75
Решение.
Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Хорда параллельна касательной, следовательно, перпендикулярна .
Нам нужно найти длину .
Найдем . Для этого рассмотрим треугольник . , то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, то есть
найдем по теореме теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :
Ответ: 160
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М. Найдите МА, если МВ = 8 см, МС = 6 см, М D = 4 см. А В С D M A М ∙ МВ = СМ ∙ MD 8 4 6 A М ∙ 8 = 6 ∙ 4 A М = 3
Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 147. А С В 0 Сумма углов четырехугольника - 360 Радиусы, проведенные в точку касания – перпендикулярны касательной. ВАС = 360 – 90 – 90 – 147 = 33
Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 5:7. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. А В 5х 7х 0 5х + 7х = 360 х = 30 АОВ = 5 ∙ 30 = 150
Радиус окружности равен 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, длина которой равна 18 см. А В С 1 8 15 0 Т.к. ОС АВ, то АС=ВС=9 по т. Пифагора ОС =
Отрезок АВ является хордой окружности с центром О. Найдите угол между прямой АВ и касательной к окружности, проходящей через точку А, если угол АОВ равен 28. А В С 28 0 ОА АС ( как радиус, проведенный в точку касания ) - равнобедренный ( ОА=ОВ – как радиусы одной окружности )
Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол АОС, если угол ОСВ равен 39. А В 39 0 С - равнобедренный ( ОС=ОВ – как радиусы одной окружности ) или Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, К и Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 4 см, ВМ = 6 см, СК = 3 см. А В С М К Р 4 3 6 Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны. ВМ = ВК АМ = АР СР = СК 6 3 4 АВ = 10 АС = 7 ВС = 9 Р = 10 + 7 + 9 = 26
Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если синус одного из углов треугольника равен 3/7, а противолежащий этому углу катет равен 15 см. А В С Центр описанной около п /у треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. d = AC sinA =3/7 15 sinA = ВС/АС 3/7 = 15/АС АС = 35
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 120, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 18 см. 0 Т.к. в вписанном треугольнике тупой угол, то этот треугольник лежит по одну сторону от центра окружности. А В С 120 ОВ = r = 18
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 20 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 24 см. 0 А В 20 С 24 Т.к. ОК АС, то АК=КС=10 К по т. Пифагора ОС =
Уровень В
Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD , если АВ = 10 см, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 см и 5 см. А В X 1 2 5 0 C D 10 Y АХ = 5 по т. Пифагора ОА = ОА = ОС = 13 по т. Пифагора С Y = CD = 24
Отрезки АВ и BC являются хордами окружности с центром О. Найдите угол АСВ, если угол АВО равен 42. А В 42 0 С АСВ – вписанный угол, АОВ – соответствующий ему центральный АОВ = 180 – 42∙2=96 АОВ= 96 : 2 = 48
В окружность вписан четырехугольник АВС D . Найдите угол АС D , если углы BAD и ADB равны соответственно 73 и 37. А В 37 С D 73 ABD : ABD = 180 – (73 + 37) = 70 АВ D = ACD – как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу A С D = 70
Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А, величина которого равна 40, в точках В и С. Найдите углы треугольника ВОС. А С В 0 АОВ – п /у (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной) АОВ = АОС по катету и гипотенузе (АО – общая, ОВ = ОС = r ) ОАВ = 20 ВОА= 70 ВОС = 140 ОВС = ОСВ = (180 – 140) : 2 = 20
Отрезки АВ и АС являются хордами окружности с центром О. Найдите угол ВАС, если известно, что он является острым и что углы АВО и АСО равны соответственно 23 и 32. А В 23 0 С 32 Угол ВАС – острый, значит его стороны лежат по разные стороны от центра окружности. - равнобедренный - равнобедренный ОАВ = 23 ОАС = 32 ВАС = 23 + 32 = 55
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника равен 5 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите площадь треугольника. 0 А В С 5 8 Н Т.к. треугольник р /б, то центр описанной окружности лежите на высоте, проведенной к основанию. ОА = ОВ = R = 5 ОН = 8 – 5 = 3 по т. Пифагора АН = АС = 8 S = ½ ∙ 8 ∙ 8 = 32
Найдите площадь п /у трапеции, боковые стороны которой равны 10 см и 16 см, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность. 10 16 Т.к. в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон трапеции равны. А В С D АВ + CD = ВС + AD = 26 Т.к. трапеция – п /у, то АВ = h S = 130
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5 см. 5 А В D С Т.к. в параллелограмм можно вписать окружность, он является ромбом. Р = 4а Р = 4 ∙ 5 = 20
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 16 см, вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции. Т.к. в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон трапеции равны. В С D АВ + CD = ВС + AD = 16 К L = 8 А К L
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Подготовка к ГИА. Окружность.Центральные и вписанные углы.
Презентация по теме "Окружность.Центральные и вписанные углы" . Материал содержит повторение вопросов теории и задачи для подготовки к ГИА по этой теме....
Уроки модульной технологии по геометрии. * класс тема: "Окружность, касательная к окружности, центральные и вписанные углы"
Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы.Комплексная дидактическая цель – расширить сведения об окружности, полученные учащимися в 7 классе; изучить новые факты, связанные с окружностью....
Презентация для урока по теме "Дуга окружности. Центральные и вписанные углы". 8 класс
Данную презентацию можно использовать при изучении нового материала....
Подборка задач по теме "Окружность. Касательная. Вписанные и центральные углы"
16 опорных задач по теме "Окружность. Касательная. Вписанные и центральные углы" взяты на учебной платформе Дмитрия Гущина "Решу ОГЭ" и для удобства применения на уроке оформ...
Самостоятельная работа 8 класс «Касательная.Свойства пересекающихся хорд. Центральный и вписанный углы»
Самостоятельная итоговая работа состоит из 2-х вариантов разного уровня сложности: 1 вариант простой, 2 вариант - сложный. Это позволит провести срез ЗУН учащихся по темам с разным уровнем подготовки....