Урок -конференция "Число "Пи"-магический геометрический символ"
план-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему

Урок – конференция "Число π -магический геометрический символ"

Данный урок является обобщающим по теме «Правильные многоугольники»

Цели: Расширить представления учащихся  о практическом значении и применении математических понятий в окружающем мире.

Показать работоспособность учёных, занимавшихся проблемами числа π.

Воспитывать у учащихся стремление к знаниям, любознательность.

План:  

1. Организационный момент

2 Регистрация участников конференции (тест на заполнение пропусков по теме «Длина окружности и площадь круга»).

3.     Теоретическая часть
а) история числа π
б) случайности и закономерности, связанные с π
в) вездесущность числа π

4.     Практическая часть.

5.     Подведение итогов.

ХОД УРОКА: 

1.     Вступительное слово учителя:

Ребята, давайте сегодня представим себя в роли участников научно-практической конференции. Тема нашей конференции – число π - такое знакомое и в то же время такое неизведанное. Проблеме π - 4000 лет, но она и по сей день продолжает волновать умы учёных.

Любая конференция начинается с регистрации участников. Вы тоже должны пройти своеобразную регистрацию – зарегистрировать свои знания, полученные на предыдущих уроках и необходимые для рассмотрения вопросов, стоящих на нашей конференции.

2.     Учащимся раздаются листы с текстом на заполнение пропусков. (10 мин.)     

вариант 1

1.Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то многоугольник называется…

2. Если стороны многоугольника являются  касательными к окружности, то окружность называется…

3.Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности равную 36 градусам то многоугольник имеет … сторон.

4.Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R вычисляется по формуле…

5.Если диаметр окружности равен 8см то ее длина равна…

6.Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 30см.Радиус этой окружности в…раз меньше периметра шестиугольника

7.Если диаметр круга увеличить в 4 раза ,то его площадь увеличится в…раз

8.Площадь вписанного в окружность квадрата равна 36 см2.Площадь этого круга равна…  

вариант 2

1.Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то окружность называется…

2. Если стороны многоугольника являются  касательными к окружности, то  многоугольник называется…

3.Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности равную 72 градусам то многоугольник имеет … сторон.

4.Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R вычисляется по формуле…

5.Если диаметр круга равен 4см, то его площадь равна…

6.Диаметр окружности равен 10см Периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность равен…

7.Если диаметр круга уменьшить в 4 раза, то площадь этого круга уменьшится в…раз

8.Площадь вписанного в окружность правильного четырехугольника равна 72 см2 .Площадь круга равна…  

Учитель:
А теперь перейдём к теоретической части конференции.

Обозначение π произошло от первой буквы греческого слова «периферия», что значит «окружность». И стало общепринятым после работы Леонарда Эйлера в 1736 году. (Показывает портрет Эйлера.)

4. Выступления учащихся:

.     История числа π.

Задача вычисления длины окружности и площади круга возникла в глубокой древности.
В древнем египетском папирусе (2000 лет до н.э.) указывается, что за площадь круга следует принимать площадь квадрата, сторона которого равна 8,9 диаметра

В некоторых древнеегипетских и вавилонских текстах встречается значение π=3, которое вполне удовлетворяло землемеров того времени.

Вопрос о вычислении отношения длины окружности к диаметру, т.е. числа π занимал многие умы человечества на протяжении тысячелетий. Первое вычисление числа π на основе строгих рассуждений было предпринято величайшим математиком 

древности Архимедом (III в до н.э.) Архимед последовательно определял периметры вписанных и описанных шестиугольника, 12-угольника, 24-угольника, 48-угольника и 96-угольника , выраженные через диаметр. Он доказал, что. оно заключено между  тремя целыми и десятью семьдесят первыми и тремя целыми и одной седьмой. Архимед установил, что это постоянная величина

 Выведенное Архимедом для π приближённое значение  оказалось вполне удовлетворительным для практики.

В XV в иранский математик ал-Каши нашёл значение π с 16 знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольник с 80 035 168 сторонами.

Большое терпение и выдержку обнаружил голландский вычислитель Лудольф ван-Цейлен (XVI в), который, применяя метод Архимеда, дошёл до многоугольников с 60*2039 сторонами, получив 35 десятичных знаков. В его честь число πбыло названо современниками «Лудольфово число. Согласно завещанию Лудольфа, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

Самым неутомимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенкс (XIX в ). Более 20 лет посвятил он вычислению 707 знаков числа π. Он ошибся в 520 знаке (ошибку обнаружили в 1945 г.).

С появлением ЭВМ значение π было вычислено с большой точностью. В США был получен результат с 30 млн. знаков. Если распечатать это значение, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.

 Случайности и закономерности, связанные с π:

а) Анализ единиц измерения длины и изменения ускорения свободного падения (g) от места к месту вызвал удивительное равенство: π2≈g.

б) Если из множества целых положительных чисел случайно выбрать два числа, то вероятность того, что они не будут иметь общего делителя, равна 6/π2.

Вездесущность числа π :

Английский математик Август де Морган назвал π «загадочным числом, которое лезет в дверь, в окно и через крышу»

И действительно, закономерности, связанные с числом π можно встретить не только в математике, но и во многих других областях:

а) Кандидат географических наук Пиотровский экспериментальным путём установил, что все структуры земного рельефа от мелких до гигантских связаны между собой через число π. Он считает, что Земля и окружающий космос построены на основании одного закона, в основе которого лежат волновые процессы. Этот закон можно назвать законом числа π.

б) При изучении архитектуры церкви учёными было обнаружено, что объём купола храма приблизительно 3 раза укладывается во всём объёме храма.

в) Профиль контура русского колокола имеет вид равнобедренного треугольника. Углы этого треугольника близки по величине к радиану (т.е. 180о/π).

г) Отмечается интересная закономерность у всех растений с овальной формой листьев: если мысленно разделить лист, например липы, по линии наибольшей ширины, то меньшая часть укладывается во всей длине π раз.

Учитель:
Одной из знаменитых задач древности, связанных с числом π является задача квадратуры круга. Заключается она в построении с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади данного круга. В течении 2500 лет учёные безуспешно решали эту задачу. Полное доказательство невозможности решения было дано лишь в 1892 году.

Но тем не менее существуют изящные приближенные способы. На рисунке один из них. Найдите значение π соответствующее этому построению.
Решение:
Sкв.  =  Sкр.
a2=πr2
ΔADB,(2r )2=(a/2)2+a2, 4r2=5a2/4, r2=5a2/16.
a2⋅π≈5a2/16 ; π≈16/5=3,2 .

Египетская задача:

В древнем египетском папирусе площадь круга, окружность которого есть среднее арифметическое двух данных окружностей с радиусами 5 и 10, принимается за среднее арифметическое их площадей. Верно ли это?
Решение:
C=(C1+C2)/2=(2π∗5+2π∗10)/2=15π. R=15/2.
S=πR2=π∗225/4=56,25π.
(S1+S2)/2=(25π+100π)/2=62,5π.
Ответ: неверно.

5.Сегодня мы узнали многие факты, связанные с числом  π. Конечно, запоминание и вычисление всех знаков этого числа не имеет практического значения, а лишь показывает преимущество современных средств и методов вычисления. Для запоминания нескольких первых цифр числа π учениками одной из школ было придумано стихотворение:
Это я знаю и помню прекрасно:
3 ,  1     4   1       5         9

«Пи» многие знаки мне лишни, напрасны.
 2           6           5     3          5                 8

Количество букв в каждом слове дает последовательность цифр числа π.