Вписанный многоугольник. Фрагмент урока
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему
Фрагмент урока геометрии в 8 классе по теме "Вписанный многоугольник". Рассматриваются этапы: актуализация, введение нового и расширение применения теоремы при решении сложных заданий.
Для демонстрации теоремы используется рисунок, созданный в программе Математический Конструктор.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 366.05 КБ |
Предварительный просмотр:
Прокофьева Тамара Александровна. МБОУ «Средняя школа №12» г. Дзержинск
Вписанный четырехугольник.
Главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:
- Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 1800.
- Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
- Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.
4 этап. Применение теоремы, установление связей изученной теоремы с другими теоремами курса. Составление новых задач.
- Есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник.
Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону AD из точек B и C равны), то такой четырехугольник – вписанный.
Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов B и D
- Рассмотреть формулировку теоремы из Начал Евклида.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол с углом четырехугольника равен противоположному внутреннему углу.
- Доказать формулу Брахмагупты.
Площадь четырехугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле ,
где , a, b,c,d -стороны четырехугольника.
- Доказать теорему Птолемея.
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD.
- Доказать Японскую теорему.
Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника.
- Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. (Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника)
- Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.
- Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке.
- Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Вывод формулы Герона
Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:
где a , b , c – длины сторон треугольника, а p – полупериметр треугольника, т.е.
.
Доказательство.
Рис.1
Поскольку (рис.1)
то
Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:
Следовательно,
Таким образом, что и требовалось доказать.
Вывод формулы Брахмагупты
Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:
,
где a , b , c , d – длины сторон четырёхугольника, а p – полупериметр, т.е.
Доказательство.
Рис.2
Если угол D четырёхугольника ABCD обозначить буквой φ (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна π , угол B будет равен π – φ . По этой причине
Следовательно,
Применяя теорему косинусов к треугольнику ACD , получаем:
AC 2 = a2 + b2 – 2bc cos φ .
Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC , получаем:
AC 2 = c2 + d 2 – 2cd cos (π – φ) = c2 + d 2 + 2cd cos φ .
Следовательно,
Таким образом,.
Теорема Птолемея
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD.
Доказательство. Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA , по свойству пропорции MA ∙ BD = AB ∙ CD.
В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, по свойству пропорции MC ∙ BD = AD ∙ BC.
Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC,
или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/06/22/picture-12610.jpg)
Фрагмент урока литературы в 5 классе. Итоговый урок по поэме А.С. Пушкина "Руслан и людмила"
Интегрированный урок литературы. Показана взаимосвязь искусства слова с музыкой и живописью....
Построение правильных вписанных многоугольников
методическая разработка...
«Описанная и вписанная окружности треугольника. Урок решения одной задачи»
Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов «Геометрия, 7 – 9»Тема урока: «Описанная и вписанная окружности треугольника. Урок решения одной задачи»Цели урока: научить учащихся анализировать теоретичес...
![](/sites/default/files/pictures/2015/12/05/picture-705459-1449320363.jpg)
Конкурсный урок по геометрии по теме "Правильные многоугольники". Конспект урока. Презентации.
Конспект урока с использованием групповых технологий, метода проектов, практической работы, межпредметных связей....
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/09/picture-873881-1483971920.jpg)
Фрагмент урока «Многоугольники»
Цель урока: вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника. Необходимые инструменты: лист картона, ножницы, линейка, карандаш...
![](/sites/default/files/pictures/2013/07/17/picture-274439-1374039713.jpg)
Нетрадиционные уроки и фрагменты уроков. Новогодний урок в 10 классе
Урок в нетрадиционной форме в 10 классе посвящён повторению грамматического материала первого полугодия....