Учебный элемент к уроку геометрии по теме: "Четырехугольники. Формулы для нахождения площадей четырехугольников "
учебно-методическое пособие по геометрии (8 класс) на тему

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр.1

Цель: изучив данный учебный элемент, Вы будете знать: какая фигура называется четырехугольником, виды четырехугольника, их свойства, признаки и формулы для нахождения площадей.

Оборудование

Литература:

1.  А. В. Погорелов “Геометрия 7-11”, Просвещение, М., 2008 г.
2. М. В. Ткачева “Домашняя математика”, М., Просвещение, 1994 г., стр. 120.
3. М. Ю. Шуба “Занимательные задания в обучении математике”, М., Просвещение, 1995г., стр. 137.
4. Журнал “Математика в школе”, 1989 г., № 5, стр. 107.
5. Е. Е. Семёнов “Изучаем геометрию”, М., Просвещение, 1987 г., стр.
6. З. А. Дегтярева “Математика после уроков”, г. Краснодар, 1996 г., стр. 93. Рассказ свой подтверждая чертежами.

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр 2

1.Четырёхугольник – это геометрическая фигура, которая состоит  из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника.

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 3

2.Четырехугольники делятся на выпуклые и невыпуклые.

Выпуклые – все вершины лежат по одну сторону от прямой, проходящей через две соседние вершины.

Невыпуклые – вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две соседние вершины.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°

Нас будут интересовать только выпуклые четырехугольники.

Это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 4

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные  стороны  попарно  параллельны.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

AB  = CD

BC  = AD

AО  = ОC

BО  = ОD

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 5

Признаки параллелограмма

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Площадь  параллелограмма

BC  ||  AD

BC  =  AD

BC  =  AD

АB  =  СD

AО  = ОC

BО  = ОD

ВН – высота параллелограмма

AD – основание

S = BH ∙ AD

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 6

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства ромба

1. В ромбе  противоположные углы равны.

S = AB ∙ AD ∙ sin α

BC|| AD,  AB ||  CD

AB = BC = CD = AD

∟ А  = ∟ С , ∟ В =  ∟ D

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 7

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам

Площадь  ромба

АН – высота ромба

DС - основание

AО  = ОC, BО  = ОD

AC  ┴ BD

∟BAO = ∟DAO, ∟ABO = ∟CBO

S = АH ∙ DС

S = АВ ∙ sin α

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 8

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2.  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

S = 1/2∙ АC BD

AB  || CD,  BC  || AD

   ∟ А  =  ∟ В = ∟ С  =  ∟ D = 90°

AB  = CD

BC  = AD

BD  = AC

AО  = ОC

BО  = ОD

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 9

Признак прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник

Площадь прямоугольника

Частный вид прямоугольника –

квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. У квадрата все стороны равны и все углы равны.

BD  = AC

S = АB ∙ AD

AB  || CD,  BC  || AD, ,

AB  = CD =  BC  = AD

∟ А  =  ∟ В = ∟ С  =  ∟ D = 90°

AB  = CD = BC  = AD

∟ А  =  ∟ В = ∟ С  =  ∟ D = 90°

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 10

2.  Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, равны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь  квадрата

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

AC  ┴ BD  BD  = AC

AО  = ОC,  BО  = ОD

∟BAO = ∟DAO, ∟ABO = ∟CBO

S = АВ²

S =1/2 АС²

BC  || AD, AB  ||  CD

BC и AD – основания,

AB и CD – боковые стороны

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 11

Виды трапеции

Равнобедренная – боковые стороны равны

Прямоугольная – один из углов прямой

Произвольная

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Площадь  трапеции

ВН – высота трапеции

ВС и AD - основания

Средняя линия трапеции  – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

MN- средняя линия

MN  || AD,   MN  ||  AD,

   MN = (BC + AD) / 2

S = 1/2 ∙ BH ∙ (ВС + AD)

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 12

ЗАДАЧИ

Четырехугольник

Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

Параллелограмм

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см

Ромб

Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∟ В = 60,  АС= 10,5 см.

Прямоугольник

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и АОD равнобедренные.

Квадрат

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали:

 а) равны и взаимно перпендикулярны;

 б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину;

 в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.

Трапеция

Найдите углы B и D трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если ∟А = 36  ,∟С= 117 .

учебный элемент

Наименование:    Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр. 13

Проверка усвоения.

Контрольные вопросы.

1. Какая фигура называется четырехугольником?
2. Какие виды четырехугольников вы знаете?
3. Какие четырехугольники относятся к выпуклым?
4. Что такое параллелограмм?
5. Назовите свойства и признаки параллелограмма
6. Как найти площадь параллелограмма?
7. Какие четырехугольники обладают свойствами параллелограмма?
8. Что такое прямоугольник?
9. Назовите свойства прямоугольника
10. Как найти площадь прямоугольника?
11. Что такое ромб?
12. Назовите свойства ромба
13. Как найти площадь ромба
14. Что такое квадрат?
15. Перечислите свойства квадрата
16. Как найти площадь квадрата
17. Какой четырехугольник называется трапецией?
18. Какая трапеция называется равнобокой?
19. Как найти площадь трапеции?