Практическое применение подобия треугольников
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

Тема урока: «Практические применения  подобия треугольников».

Цели:

Образовательные

• показать взаимосвязь теории с практикой;
• вырабатывать у учащихся навыки использования теории подобных треугольников при решении разнообразных задач.

Развивающие

• повышать интерес учащихся к геометрии;
• активизировать познавательную деятельность учащихся;
• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

• формировать умение работать в команде;
• воспитывать уверенность в общении.

Используемые ТСО:

• мультимедийная установка.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Выступления учащихся по теме
3. Практическое задание
4. Итог урока. Домашнее задание

Ход урока

1.  Организационный момент.  Объявление темы и целей урока

Геометрия – одна из самых древних наук. Она возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.  В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Слайд 2

Изучая геометрию, вы  познакомились с подобными фигурами.  Сегодня мы обсудим, как свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. Рассмотрим две задачи:

• определение высоты предмета;
• определение расстояния до недоступного объекта.

2. Выступления учащихся по теме.

Рассмотрим сначала применение подобия треугольников к определению высоты предмета.

2.1. Определение высоты пирамиды по длине ее тени.

 Слайд 3

Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать.

Например, Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени:

Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношения высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды.

Слайд 4

АВ – длина палки, DE – высота пирамиды.

Δ АВС подобен ΔВDE (по двум углам):

∠ СВА=∠ ВED=90°;

∠ АСВ =∠ DВЕ, т. к. соответственные при АС||DВ и секущей СВ (солнечные лучи падают параллельно)

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

;  .

Таким образом,  Фалес нашел высоту пирамиды.

 Однако, способ предложенный Фалесом применим не всегда. Почему?

2.2. Определение высоты предмета.

Есть несколько простых способов определения высоты предметов. Например, такие способы приведены в настольной книге охотника-спортсмена.

Слайд 5

1) По тени. В солнечный день не составляет труда измерение высоты предмета, предположим дерева, по его тени. Нужно лишь руководствоваться следующим правилом: высота измеряемого дерева во столько раз больше высоты известного вам предмета (например, палки или ружья), во сколько раз тень от дерева больше тени от палки.

Слайд 6

2) По шесту. Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Для измерения нужно взять шест, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии от дерева, чтобы лежа можно было видеть верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Тогда высота дерева будет равна линии, проведенной от вашей головы до основания дерева.

Слайд 7

3) По луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Слайд 8

Вместо лужицы можно пользоваться положенным горизонтально зеркальцем. Зеркало кладут горизонтально и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой, наблюдатель видит в зеркале верхушку дерева. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека.

Δ АВD подобен ΔEFD (по двум углам):

∠ ВАD=∠ FED=90°;

∠ АDВ =∠ EDF, т.к. угол падения равен углу отражения.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

;  .

Таким образом, найдена высота объекта.

Рассмотрим применение подобия треугольников к определению расстояния до недоступного объекта.

2.3. Определение расстояния до недоступного объекта.

Слайд 9

Прежде необходимо вспомнить, как на местности проводят длинные отрезки прямых и измеряют углы.

1) Для «проведения» длинных отрезков на местности используют прием, называемый провешиванием прямой. Этот прием заключается в следующем:

Сначала отмечают какие-нибудь точки А и В. Для этой цели используют две вехи – шесты длиной около 2 м, заостренные на одном конце для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Третью веху (точка С) ставят так, чтобы вехи, стоящие в точках А и В, закрывали ее от наблюдателя находящегося в точке А. Следующую веху ставят так, чтобы ее закрывали вехи, стоящие в точках В и С, и т.д.

2)  Измерение углов на местности можно провести с помощью специального прибора – астролябия. . Астролябия состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающегося вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении.

Для того чтобы измерить ∠АОВ на местности, треножник с астролябией ставят так, чтобы отвес, подвешенный к центру диска, находился точно над точкой О. Затем устанавливают алидаду вдоль одной из сторон ОА или ОВ, и отмечают деление, против которого находится указатель алидады. Далее поворачивают алидаду, направляя ее вдоль другой стороны измеряемого угла, и отмечают деление, против которого окажется указатель алидады. Разность отсчета и дает градусную меру ∠АОВ.

Слайд 10, 11

Предположим, что нужно найти расстояние от пункта А до недоступного объекта В. Для этого на местности выбирают точку С, провешивают отрезок АС и измеряют его. Затем с помощью астролябии измеряют ∠А и ∠С. На листе бумаги строят Δ А1В1С1, у которого ∠А=∠А1  и  ∠С=∠С1. Далее измеряют длины сторон А1В1  и А1С1.

 По построению Δ АВС подобен Δ А1В1С1 (по двум углам).

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

;  .

Таким образом, найдено расстояние до недоступной точки.

3. Практическое задание.

Предлагается, работая в парах, решить задачу № 583.

В ней предлагается, применив подобие треугольников,  измерить ширину реки.

Чертеж к задаче имеется в учебнике. Вам необходимо объяснить, как получен такой чертеж, доказать подобие треугольников и провести вычисления.

Слайд 12

По построению Δ АВС подобен Δ АВ1С1 (по двум углам).

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

; ;

;

4. Обсуждение выполнения практического задания.

5. Подведение итогов. Домашнее задание № 580 №№а местности проводится с помощью приборов.