«Решение задач на построение методом подобных треугольников»
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Земцова Татьяна Викторовна

Вашему вниманию предлагаю урок с презентацией для 8 класса по геометрии, представлена технология дифференцированного обучения.

Цели:

Образовательные:

1.     Показать применение метода подобия треугольников при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки;

2. Формировать умения применять теоретический материал при решении практических задач.

Развивающие:

3.     Развивать интерес к науке и технике, через поиск примеров применения данной темы в жизни.

4.     Приобрести навыки  исследовательской работы.

Воспитательные:

5.     поддерживать и повышать  мотивацию обучения данному предмету

6.     Развивать навыки самоконтроля.

Скачать:

Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение задач на построение методом подобных треугольников

Слайд 2

- Что называется отношением двух отрезков? - В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 ? - Дайте определение подобных треугольников. - Сформулируйте признаки подобия треугольников. - Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

Слайд 3

- Найдите BD ? A D - Выразите из равенства DC ? B C

Слайд 4

- Постройте угол равный данному - Постройте медиану AM Δ ABC - Постройте прямую, параллельную стороне AB Δ ABC и проходящую через точку C A B C

Слайд 5

-В чем заключается метод построения фигур методом подобия ? - Сколько и какие этапы включают в себя задачи на построения?

Слайд 6

Задача 1. Построить треугольник ABC по углу A ,отношению сторон AB : AC = 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C .

Слайд 7

Дано: ∠ A= OC= m AB : AC = 2 : 1 Построить: Δ ABC m

Слайд 8

Построение: а ) Построить угол A, равный ∝. б) На сторонах угла A отложить отрезки AC 1 и AB 1 так, что AB 1 : AC 1 = 2 : 1. в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB 1 C 1 - точку O 1 . г) На луче O 1 C 1 отложить отрезок O 1 E, равный m. д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM 1 треугольника AB 1 C 1 C = EC ∩ AC 1 . е) Через точку C провести прямую CB , параллельную C 1 B 1 , CB∩AB 1 = B. Треугольник ABC – искомый. B B 1 K M K 1 O O 1 M 1 С 1 C A E

Слайд 9

Доказательство: а) В треугольнике ABC ∠A = ∝. б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC ~ ΔAB 1 C 1 по двум углам → так как AB 1 :AC 1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1. в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B 1 M 1 = M 1 C 1 , то BM = MC (ΔAB 1 M 1 ~ΔABM,ΔAM 1 C 1 ~ΔAMC). г) OC = m, так как O 1 E = m, а O 1 OCE параллелограмм по построению . Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый. E B B 1 K M K 1 O O 1 M 1 С 1 C A

Слайд 10

Задача 2 (№ 588) Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.

Слайд 11

Дано : ∠A = ∝, AM = m, AB : AC = 2 : 3. Построить: ΔABC m

Слайд 12

Построение: а) Построить ∠A = ∝ б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN в) Найти середину NF г) На луче AO - отрезок AM = m д) Через M строим прямую l параллельную NF е) l ∩ AF = C, l ∩ AN = B. Треугольник ABC – искомый. A N F O M C B

Слайд 13

Доказательство: а) Δ ANF ~ Δ ABC, (∠A – общий ,∠ ABC = ∠ANF при NF || BC и секущей AB) б) NO = OF (по построению) в) BM = MC , т.е. AM – медиана. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение. A N F O M C B

Слайд 14

Задача 3 (№ 589) Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1.

Слайд 15

Дано: ∠A = ∝ , BC = m , AB : AC = 2 : 1 Построить: ΔABC m

Слайд 16

Построение: а) ∠ A = ∝ б) AB 1 = 2 PQ в) AC 1 = PQ г) C 1 B 2 = M д) Через точку B 2 проведем прямую, параллельную AC 1 , BB 2 || AC 1 е) Через точку B проведем прямую, параллельную С 1 B 1 , BC ||B 2 C 1 Δ ABC - искомый. P Q A B 1 C 1 B 2 B C

Слайд 17

Доказательство: 1) ∠ A = 2) т.к. BC || B 2 C 1 и B 2 B || C 1 C, то четырехугольник BCC 1 B 2 – параллелограмм, и поэтому BC = C 1 B 2 , а значит, сторона BC треугольника ABC равна данному отрезку 3) т. к. BC || B 1 C 1 , ТО AB/AC = AB 1 /AC 1 = 2/1 . Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение. A B 1 C 1 B 2 B C

Слайд 18

Задача 4. Постройте отрезок a = , если отрезки m и n известны.

Слайд 19

Дано: n m Построить : отрезок a Решение: = = – m В прямоугольном треугольнике ABC BD - высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD = , следовательно, : AD = DK = CD – CK. Если CK = m , то DK =

Слайд 20

Построение: а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n. б) Провести прямую BC так, что BC⏊ AB. в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m г) DK – искомый отрезок. Задача не имеет решения, если m

Слайд 21

Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 2 : 3. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла. Даны отрезки m и n . Постройте отрезок y =



Предварительный просмотр:

Конспект урока по геометрии в 8 классе

учителя  МАОУ «Гимназии №9» г. Королева

Земцовой Татьяны Викторовны.

        

Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников»

Технология дифференцированного обучения

Цели:

Образовательные:

  1. Показать применение метода подобия треугольников при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки;

2. Формировать умения применять теоретический материал при решении практических задач.

Развивающие:

  1. Развивать интерес к науке и технике, через поиск примеров применения данной темы в жизни.
  2. Приобрести навыки  исследовательской работы.

Воспитательные:

  1. поддерживать и повышать  мотивацию обучения данному предмету
  2. Развивать навыки самоконтроля.

Оформление  кабинета:

Плакаты,  экран для мультимедийного проектора.

К уроку подготовлена презентация  21 слайд.

 

Деятельность учителя

Деятельность ученика

длительность

Организационный момент

На экран   1 слайд

Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников»

1 мин.

I Актуализация знаний учащихся

Устный опрос

1) - Что называется отношением двух отрезков?

- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?

- Дайте определение подобных треугольников.

- Сформулируйте признаки подобия треугольников.

- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

- Найти BD? (см. рис.1)

        B

    A         C

D

Ответ: BD =

  • Выразить из равенства DC

Ответ: BD²= AD DC

             DC =

2) – Постройте угол равный данному углу.

- Постройте медиану AM треугольника ABC

- Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C.

Ученики внимательно слушают вопросы и отвечают на них устно.

Слайд  2

 

Слайд 3

Практические задания на построения с помощью линейки и циркуля, ученики работают в тетрадях.

Слайд 4.

II Решение задач

- Сегодня на уроке мы будем решать задачи методом подобных треугольников.

- В чем заключается метод построения фигур методом подобия?

- Сколько и какие этапы включают в себя  задачи на построения?

Слайд 5.

- Ребята, сейчас все вместе разберем следующую задачу на построение.

Задача 1.

 Построить треугольник ABC по углу A , отношению сторон                     AB : AC= 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.

Решение (рис. 2 а) и б)):

Дано: A = , O – точка пересечения медиан, ΔABC, OC = m, AB:AC = 2 : 1.

Построить: ΔABC.( Слайд 7)

Построение: (Слайд 8)

а) Построить угол A, равный .

б) На сторонах угла A отложить отрезки AC1 и AB1так, что AB1 : AC1 = 2 : 1.

в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB1C1  - точку O1.

г) На луче O1C1 отложить отрезок O1E, равный m.

д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM1 треугольника AB1C1C = EC  AC1.

е) Через точку C провести прямую CB,параллельную C1B1, CBAB1 = B.

Треугольник ABC – искомый.

Доказательство: (Слайд 9)

а) В треугольнике ABC A = .

б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC  ΔAB1C1 по двум углам  так как AB1:AC1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1.

в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B1M1 = M1C1, то BM = MC (ΔAB1M1ΔABM,ΔAM1C1).

г) OC = m, так как O1E = m, а O1OCE параллелограмм по построению.

Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый.

Задача 2.

№ 588 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A и медиане  AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.  (Слайд 10)

Решение (рис.3 а) и б))

Дано: A = , AM = m, AB : AC = 2 : 3.

Построить: ΔABC (Слайд 11)

Построение: (Слайд 12)

а) Построить  A =

б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN

в) Найти середину NF

г) На луче AO  - отрезок AM = m

д) Через M строим прямую l параллельную NF

е) l  AF = C,  l  AN = B.

Треугольник ABC – искомый.

Доказательство: (Слайд 13)

а) ΔANF ΔABC, (A – общий ,ABC = ANF при NF  BC и секущей AB)

б) NO = OF (по построению)

в) BM = MC , т.е. AM – медиана.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача  3.

№ 589 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A  и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1. (Слайд №14)

Решение (рис.4 а) и б)):

Дано:

A = , BC = m,  AB : AC = 2 : 1

Построить: ΔABC (Слайд 15)

Построение: (Слайд 16)

а) ∠A =

б) AB1 = 2 PQ

в)  AC1= PQ

г) C1B2 = m

д) Через точку B2 проведем прямую, параллельную AC1 ,BB2|| AC1

е) Через точку B проведем прямую, параллельную С1B1., BC ||B2C1

Треугольник ABC  - искомый.

Доказательство: (Слайд 17)

Угол A равен данному углу по построению. Так как BC || B2C1 и B2B || C1C, то четырехугольник BCC1B2 – параллелограмм, и поэтому BC = C1B2, а значит, сторона BC треугольника ABC равна данному отрезку. Наконец, так как BC || B1C1, ТО  =  = . Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача 4.

Постройте отрезок a= , если отрезки m  и n известны.

(Слайд 18)

Решение (рис. 5 а) и б)):

Дано:

См. рис. 5 (а)

Построить: отрезок a

 =  =  – m

В прямоугольном треугольнике ABC BD- высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD = , следовательно,

Если CK= m, то DK = /n – m. (Слайд 19)

Построение:

а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n.

б) Провести прямую BC так, что B

в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m

г) DK – искомый отрезок.

Задача не имеет решения, если m (Слайд 20)

 

- Сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.

- Анализ задачи, построение, доказательство, исследование.

Слайд 6.

Рис.2

        

 

     m

        а)

                                                                                   

                                   B

                      B1        M

                    K        M

            K1        O

                  O1      M1

A               C1                C            

                                     

                                  E

                                     

                 б)

Рис.3

        

 

   m

                a)

                          B

                         

                 N             M

                        O

A

                           F         C

                     б)

Ученики решают самостоятельно. Кто решит первый, тот объясняет у доски.

Если ученик не решил № 588, то решают №589.

Если ученик справился с задачей №588, то решает задачу №4.

Рис. 4

           

     

                m

          а)

 P             Q

                       C

             

           C1

   

                                             B

A                          B1

                                         B2  

                      б)

Рис. 5.

   n

m

           а)

                                   A

                                   n          

   B                              D

                      m

                                   K

            C

б)

.

2мин.

1мин.

8мин.

 Итог урока

V Домашнее задание по выбору

  1. Начертите отрезок  и с помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 2 : 3.
  2. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.
  3. Даны отрезки  m и n. Постройте отрезок y =

         

Слайд 21.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Комплекс задач на развитие пространственного мышления при решении задач на построение сечений многогранников

Задачи на развитие пространственного мышления учащихся 10-11 кл. при решении задач на построение сечений многогранников. Разработан на основе трудов ведущих психологов, с учётом психологической деятел...

Организация поиска решения задачи на построение в рамках темы урока «Построение треугольника по трем элементам»

Организация поиска решения задачи на построение в рамках темы урока «Построение треугольника по трем элементам» в 7 классе на примере задачи №287 учебника «Геометрия 7-9» Л.С....

Задачи на готовых чертежах (подобные треугольники)

В презентации содержатся здания, помогающие в работе над темой "Подобные треугольники" геометрия 8 класс. В результате работы с такими задачами учащиеся не только читают условия задачи, но и...

Алгебраический метод решения задач на построение

Задачи на построение не только представляют интерес для начинающих математиков-исследователей, но и на протяжении многих лет являются традиционным материалом  школьного курса геометрии. Такие зад...

Учебно-методический материал по теме: "Алгебраический метод решения задач на построение"

Задачи на построение не только представляют интерес для начинающих математиков-исследователей, но и на протяжении многих лет являются традиционным материалом  школьного курса геометрии. Целью дан...

Методическая разработка урока систематизации материала по геометрии для 7 класса по учебнику Л.С. Атанасяна. Урок-практикум. Построения с помощью циркуля и линейки и Решение задач на применение признаков равенства треугольников.

Данный урок практический; находится в разделе главы II «Треугольники» и является одним из завершающих в этой теме. Он предназначен для систематизации знаний и умений по теме, для контроля ...

Урок решения задач по теме «Признаки равенства треугольников, задачи на построение»

Самостоятельная работа по теме  «Признаки равенства треугольников, задачи на построение»...