Перпендикулярность прямых и плоскостей
тренажёр по геометрии (10 класс) на тему

Задачи для самостоятельной работы  по теме:

 «Теорема о трех перпендикулярах»

Уровень A

1. AB - перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- её проекция на плоскость, СD- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС.

                             Почему угол ACD- прямой?

2. AB - перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, BC- её проекция на плоскость, CD- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой АС.

                          Почему угол BCD- прямой?

3. На плоскости взяты прямая а и точка А вне её. Из точки A на прямую a опущен перпендикуляр AB. Их точки A к плоскости восстановлен перпендикуляр AC. Точку C соединим с точкой B. Сделайте соответствующий чертеж. Укажите все полученные прямые углы. Дайте обоснование ответа.

Уровень B

1. Угол  C треугольника ABC- прямой. AD- перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Докажите, что треугольник BCD- прямоугольный.

2. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HEи BD перпендикулярны.

3. Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.              (Ответ 160 см2)

4. Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.                                             (Ответ 135 см2)

5. Отрезок  AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BC, если AB=AC=20 см.,  BC=24 см.                    (Ответ 8  см)

6. В правильном треугольнике ABC точка O- центр. OM- перпендикуляр к плоскостиABC. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если  AB=10см., OM=5см.    (Ответ  см)

Уровень C

1.  Из вершины A прямоугольного треугольника ABC (угол B- прямой) к плоскости треугольника проведен перпендикуляр AK. Докажите, что прямые KB и BC взаимно перпендикулярны.

2.  Из вершины C правильного треугольника ABC со стороной 10 см проведен к его плоскости перпендикуляр CM длиной 6 см. Вычислить расстояние от точки M до стороны AB.

3.  В равнобедренном треугольнике CEH точка A- середина основания EH. Из  точки C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CK. Докажите, что прямые AK и EH взаимно перпендикулярны.                                  (Ответ   см)

4.  Катеты прямоугольного треугольника ABC 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла C проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника. CD=35 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.                             (Ответ 37 см)

5. Доказать, что если точка равно удалена от всех сторон многоугольника, то она проектируется на его плоскость в центр вписанного круга.

Самостоятельная работа по теме

 «Расстояние от точки до плоскости»

1.Определите, верны ли утверждения:

1. Если проекции наклонных равны, то равны и сами наклонные.
2. Наклонная равна перпендикуляру, проведенному из этой же точки к плоскости.

2. Найдите АВ и ВС.                 3. Ребро куба равно 5 см. Найдите расстояние  

                                                          между прямыми АА1 и ВС.

4.     АВСД – квадрат. ОМ    (АВС).                 5. ВД – перпендикуляр к

        Найдите расстояние от точки М               плоскости α, ВА и ВС –

        до прямой  СД.                                               наклонные, ДА и ДС – их

                                                                                   проекции на плоскость α.

                                                                                   ДА=27см, ДС=15 см, а разность

                                                                                   наклонных  равна  6см.  

                                                                                   Найдите ВД.

6. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. найдите расстояние между домом и столбом, предполагая. Что проволока не провисает.

7.  Треугольник АСД – равносторонний. Точка  О удалена от вершин треугольника АСД на 6 см, а от плоскости треугольника АСД на 3 см. Найдите сторону треугольника АСД.

8. АВСД – квадрат с периметром, равным16√3 см. Точка  Е  удалена от всех сторон квадрата на 4 см. Найдите расстояние от точки Е до плоскости квадрата.

Контрольная работа по теме:

"Перпендикулярность прямых и плоскостей"