Проектная деятельность студентов
проект по геометрии (11 класс) по теме

Введение

 Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение. Наша задача узнать, что же такое золотое сечение и установить где человечество нашло применение золотого сечения.

   Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

   Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете -- посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий -- свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" -- это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые -- от Пачоли до Эйнштейна -- будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой -- 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое "золотое сечение". Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое -- все подчиняется божественному закону, имя которому -- "золотое сечение". Так что же такое "золотое сечение"?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он -- мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее -- нет, известен. "Золотое сечение" -- это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

   Наверное, трудно найти надежную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, - прежде всего, математики.

   Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение - гармоническая пропорция

Прежде чем определить золотое сечение, необходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) — это равенство между двумя отношениями четырех величин:  а : Ь = с : d. Далее, для примера обратимся к отрезку прямой (рис. 1). Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин — АВ : АС = АВ : ВС. Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую АВ(4) можно разделить по золотому сечению, когда АВ : АС, как АС : ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении.

Деление отрезка прямой на равные части и по золотому сечению: 1 — АВ:АС=АВ:ВС (образуется пропорция); 2, 3 — пропорция не образуется; 4—АВ:АС=АС:ВС или ВС:АС=АС:АВ (золотая пропорция)

Из вышеизложенного следует вывод, что золотое сечение — это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части,

при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a: b = b : с или с \Ь = b : а (рис. 2). Определение — деление в крайнем и среднем отношении — становится более понятным, если мы выразим его геометрически (рис. 3), а именно а : b как b : с.

Геометрическое и алгебраическое выражение золотой пропорции: а:в=в:с или с:в=в:а

История золотого сечения

История золотого сечения интересна и увлекательна. Она еще раз подтверждает, что тайны природы скрыты и ревниво ею охраняются.

В 1911 г. французский художник Анри Матисс (1869 — 1954) посетил Россию. В Москве он увидел старинные русские иконы. «Русские и не подозревают, какими художественными богатствами они владеют… Он увидел, что Русь через Византию унаследовала живую традицию античного искусства и в своих исторических и национальных условиях продолжала ее. Пока Италия возрождала античность, пытаясь из обломков и развалин составить цельное представление о древности, искусство живописи и архитектуры на Руси достигло больших высот. Художник, не будучи осведомленным в геометрии, в законе динамической симметрии, самое большее, что может сделать, это расположить все в определенном порядке, иначе — создать коллаж». Такая высокая оценка золотого сечения и его проявления в русском искусстве, безусловно, побуждает нас к изучению этого феномена.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

 Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноименном диалоге Платона говорит: "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее - первым и последним. Таким образом, все необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое". Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нем выступает отношение 1 : 31/2, отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом "соперником золотого сечения"). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников - додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "О божественной пропорции" (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. 

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

   В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

   Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

   Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

   Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя "Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности".

   Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

  В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

   Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

   Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

   В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Золотое сечение в живописи

Система художественного образования в СССР имеет свою историю и традиции, заложенные Академией художеств в XVIII и XIX вв. Русское изобразительное искусство, представленное рядом таких выдающихся мастеров, как А. А. Иванов, В. И. Суриков, И. Е. Репин и другие, завоевало мировое признание.

 Художники  стремились расширить круг тем и сюжетов своих картин, ответить на жгучие вопросы общественной жизни. А. В. Луначарский  отметил, что в области изобразительного искусства   не выработались законченные физико-математические теории. Подчеркивалось, что при разработке теории необходимо учесть физическую сторону, рассмотрев элементы данного искусства всеми экспериментальными и математическими способами. . Установки доклада А.А.Луначарского  направляли на разработку научной теории изобразительного искусства вообще и научной теории композиции в частности.

История учения о пропорциях — это история поисков теории гармонии и красоты. Вся античная эстетика, а также и эстетика Возрождения искали законы красоты в соизмеримости отдельных частей, а также частей и целого. Эту соизмеримость в форме дают пропорции золотого сечения и симметрия.

Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, что в сущности весьма просто, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли такого совершенства строения форм, выражающих их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. . Знание законов золотого сечения, или непрерывного деления, как его называют некоторые исследователи учения о пропорциях, помогает художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого деления, можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения, даже если оно создавалось на основе творческой интуиции.

Правила золотого числа изучают не только архитекторы, но и конструкторы, математики и другие специалисты. Без знаний закономерностей золотого сечения  художник никогда не сможет подняться до тех высот художественного совершенства, до которых поднялись художники-классики.

 Правила золотой пропорции проявляются не только в линейном построении изображения на плоскости. Они распространяются на всю поверхность холста.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863 — 1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление — это асимметричная симметрия. Сейчас в науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая — движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и даже застылость. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она — свидетельство жизни. Симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков (или их уменьшение), и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Художественная форма, в основе построения которой лежат пропорции золотого сечения, и особенно сочетание симметрии и золотого сечения, является высокоорганизованной формой, способствующей наиболее ясному выражению содержания, наилегчайшему зрительному восприятию и появлению у зрителя ощущения красоты.

Очень часто в одном и том же произведении живописи встречается сочетание симметричного деления на равные части по вертикали и деление на неравные части по золотому сечению по горизонталям.

Пропорции золотого сечения и симметрия дают бесконечное разнообразие композиционных построений как в самой природе, так и в произведениях искусства всех родов и видов.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Анализ картин по золотому сечению

Определение линии золотого сечения на картине геометрическим способом: ВС=0,5 АВ

При переносе геометрического способа деления на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или продолжение высоты, если эскиз узкого формата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины и т. д. Линия золотого сечения в левой части картины будет находиться на таком же расстоянии от левого края, как и в правой от правого (показано пунктиром).

Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины. Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения. Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший — 38 частям. Эти три величины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 - 62 = 38; 62 - 38 = 24; 38 - 24=14; 24 - 14=10.

100, 62, 38, 24, 14, 10 — это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически.

Когда эскиз не очень большой, применяют метод нахождения золотых пропорций на одной из его сторон при помощи проведения вспомогательной линии размером в 10 см (100 мм) под произвольным углом к разделяемой линии (рис. 10). На вспомогательной линии, которую проводят в плоскости эскиза или за его пределами, откладывают значения в миллиметрах — 62, 38, 24, 14 и 10.

Этот метод используют при построении пейзажа.

Также используется деление картины:  а — на 10 частей в Русской Академии художеств:  б — на пять частей в Мюнхенской академии художеств.

Недостаток деления картины на 10 или 5 частей заключен в том, что оно дает довольно приблизительные отрезки золотого сечения — 60, 40, 20 . Более точные значения пропорциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золотого ряда .В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов.

Так же для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой , о которой говорилось ранее.

Из всего сказанного вытекает, что художник, желающий осуществить гармонический пропорциональный строй своей картины на основании золотого сечения, обязательно находит первые два отрезка золотой пропорции. Решению этой задачи способствует и золотой треугольник.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения "золотого" прямоугольника.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины.

Применение золотого сечения в построении картины И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года»

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Арифметически отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, Ф = 0,382.... В практике применяется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая — 38 частям.

Линии золотого сечения и диагонали на картине

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рис. 6). Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (рис. 8). Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки — 14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д.

Пропорции золотого деления в линейном построении картины Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском»

Такие же величины есть и в картине И. Е. Репина (см. рис. 6): от левого края картины до головы Державина — 24 части; от стола до носка сапога правой ноги Пушкина — 24 части. Такое же расстояние от головы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта (его голова находится на второй линии золотого сечения в таком же повороте, как и голова Пушкина). От голов Пушкина до головы молодой женщины в правой части картины, с умилением слушающей декламацию, тоже — 24 части, а от ее головы до npaвого края картины — 10 частей и т. д.

Повторение равных величин, чередование paвних и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником.

Ряд отрезков золотой пропорции

Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разработан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонтали. Линия золотого сечения намечалась в отношении 6 и 4 частей (рис. 12, а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины.

Тот же результат получали и художники Мюнхенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3 : 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. 12,б).

Деление картины: а — на 10 частей в Русской Академии художеств: б — на пять частей в Мюнхенской академии художеств

Заключение

Художники часто говорят: в природе все гармонично. Да, если бы в природе не царила гармония, был бы хаос. В известной гармонии с природой находится и человек — неотъемлемая часть той же природы. Всеобщее проявление ритма и симметрии (в том числе и золотой) приводит все в природе к единому строю, соизмеримости всех предметов и явлений. В формообразовании гор, долин, деревьев и трав, зверей и птиц, мозга и глаза человека и самого человека в целом решающую роль сыграли все те же ритм и симметрия — вечные творцы гармонии.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

   Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. . В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

  Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;   во-вторых, человеческое представление о красивом, явно, сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.  Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит как бы из двух частей: живая и неживая природа. Для творений неживой природы характерна слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора. Мир неживой природы – это, прежде всего, мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Мир природы – это, прежде всего, мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения". Идея единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней.

Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение

«Нижегородский авиационный технический колледж»

Реферат по математике на тему:

«Золотое сечение в живописи»

Выполнил:

студент группы СОЦ-12

Попова М.Ю.

Проверил:

Кириллова М.П.

г. Нижний Новгород

2016г.

Введение

Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами - фигурами и телами. Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка – восьми соткам и так далее.

Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности, название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. Исходя из вышесказанного, тема «Площади» является актуальной и  интересной.

В моей работе мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.

Можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению отрезков длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Цель моей работы: совершенствоваться в решении задач на применение теорем о площадях простейших многоугольников.

Для этого поставлены следующие задачи:

1) Рассмотреть понятие площади многоугольника и его свойств.

2) Изучить и вывести основные формулы площадей многоугольников.

3) Изучить новые теоремы, формулы, которые не рассматриваются в школьном курсе, в частности, теорема Больяя-Гервина, формулы Герона, Пика, Брахмагупты.

4) Рассмотреть способы применения в жизни данной темы.

5) Пополнить свои знания по теме «Площади простейших многоугольников».

1. Площадь многоугольника

1. Исторические сведения

В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.

Меры площади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же не всегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевые знаки.

В древней Руси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы, характеризовавшие рабочую силу или сельскохозяйственный инвентарь, а также меры, в основе которых лежали трудовые возможности. Отсюда такие наименования земледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха», «обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют из сохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Три обжи – соха, а обжа – 1 человек на 1 лошади орет (пашет); а кто на 3 лошадях и сам третий орет, ино то соха».

Несмотря на неопределенность в геометрическом смысле, «посевные» меры оказались более удобными для земледельцев, кроме того, объективнее и точнее определялся размер податного обложения.

Для сенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры – копны сена. Копны иногда использовали и в качестве мер посевных площадей.

Все «трудовые», «урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма и произвола, которые проявлялись непосредственно в практике использования этих мер.

Во время феодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха», «обжа». Но они отличались по количеству в зависимости от княжества. Отличия были и в наименованиях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной меры применялась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи – меру объема).

Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.

В середине XIII века татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. В основу описей в качестве единицы измерения было положено отдельное хозяйство («дом» или «дым»).

В памятниках древней письменности с конца XIV века упоминается геометрическая мера земельных площадей – десятина. Первоначально применяли «круглую» десятину – квадрат со стороной, равной десятой доле версты (50 сажен), откуда и происходит название «десятина». С середины XV века десятину стали употреблять для пахотных земель, а не только для сенокосных угодий. С этого момента можно говорить об использовании в землемерной практике действительно мер в метрологическом смысле слова.

Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.

2. Понятие о площади многоугольника.

Дескриптивное определение

В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В этом смысле понятие «многоугольник» используется в дальнейшем, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

В различных учебниках по геометрии определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше.

Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию , заданную на множестве  всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами (аксиомами площади):

1. неотрицательность площади;
2. аддитивность площади;
3. инвариантность площади;
4. нормированность площади.

Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня  (): b – есть неотрицательное число, n-я степень которого равна а. Ведь и в этом случае арифметический корень определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции

 и ) есть .

Второе следует из строго монотонного возрастания рассматриваемой функции.

Для корректного определения площади многоугольников – функции  - требуется доказать, что такая функция существует и единственна.

Определения указанного типа носят название дескриптивных (буквально, описательных, от английского слова descriptive – описательный).

Дескриптивные определения отличаются от определений конструктивных (буквально, построительных, от лат. слова  construction – построение).

Примером конструктивного определения является, например, определение степени с натуральным показателем: (если произведение чисел ранее определено).

Видный отечественный математик и педагог Я. С. Дубнов отмечал, что концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоей задачи, вполне доступна пониманию, стоит только фиксировать внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений.

Это высказывание более чем сорокалетней давности актуально и сегодня. В учебниках, где фактически программа реализации дескриптивного определения площади многоугольника выполнена полностью (доказаны существование и единственность функции  ) не только ничего не говорится о специфике дескриптивного определения, но и сам термин «дескриптивное определение» не используется. Здесь проявляется многовековая традиция, состоящая в следующем: практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надёжным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Многим же сам вопрос (об определении площади) покажется искусственным: они скажут, что площадь – первичное понятие, не подлежащее определению.

Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился ещё в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что «площадь» нуждается в специальном определении.

Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться – если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это – основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции , а для вычисления площади основных плоских фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и плоских фигур, составленных из этих основных. Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции  не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция  существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами.

1.3. Различные формулы площадей многоугольников

Площадь прямоугольника со сторонами  и   вычисляется по формуле (рис. 1.1)

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам:

,

,

где b – его основание, a – боковая сторона, α – угол между ними, h – высота (рис. 1.2)

Рис. 1.1                                            Рис. 1.2

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

,

где а – одна из сторон треугольника, h – проведённая к ней высота (рис. 1.3, а);

,

где a, b – стороны треугольника, γ – угол между ними (рис 1.3, б);

  (формула Герона),

где а, b, с – стороны треугольника, а  - полупериметр (рис. 1.3, б);

,

где р – полупериметр, r – радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.3, в);

,

где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.3, г);

,

где  – сторона треугольника, α – противолежащий ей угол, β,γ – два других угла (рис. 1.3, д);

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

,

где  – сторона правильного треугольника (рис. 1.3, е).

                а)                                                          б)

                  в)                                                          г)

                   д)                                                         е)

Рис. 1.3

Площадь трапеции вычисляется по формулам:

,

где а и b – основания трапеции, h – высота (рис. 1.4, а);

,

где MN – средняя линия трапеции, h – её высота (рис. 1.4, б);

,

где d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между ними (рис. 1.4);

,

где с – боковая сторона трапеции,  – перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.4, г).

                     а)                                                          б)

                    в)                                                              г)

Рис. 1.4

Если даны диагонали e и f и угол α между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле:

.

В частности, площадь ромба равна полу-произведению его диагоналей (рис. 1.5):

.

Рис. 1.5

Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.6) можно выразить через его стороны а, b, c, d и сумму  пары противоположных углов:

,

где р – полупериметр четырёхугольника.

Рис. 1.6

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.7, а) вычисляется по формуле Брахмагупты:

,

а описанного (рис. 1.7, б) () – по формуле:

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.7, в), то формула становится совсем простой:

.

а)                                                              б)

  в)

Рис. 1.7

Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле:

,

где R – радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р – периметр прямоугольника.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных.

2. Вывод формул площадей многоугольников

1. Площадь треугольника. Формула Герона

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство: Пусть S – площадь треугольника ABC (см. рис. 2.1). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что  AB  CH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC – их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е.  AB  CH. Теорема доказана.

                                B                       D

                      А           C

          рис. 2.1              H

Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника, очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.

Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.

На рис. 2.2 треугольники АВС  и АВD  имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а, которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ, а поэтому площади этих треугольников равны.

Рис. 2.2

Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.

На рис. 2.3  треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований

.

Из следствия 2 следуют важные частные случаи:

1. Медиана делит треугольник на две равновеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b, делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b.

Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Это следует из  того, что (рис. 2.3)

,

,

поэтому   .

Рис. 2.3

В частности, имеет место следующее утверждение:

Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k2 раз больше площади второго.

Выведем формулу Герона для площади треугольника опираясь на теорему косинусов.

,                                (1.1)

где a, b, c – длины сторон треугольника, γ – угол, противолежащий стороне с.

Из (1.1) находим       .

Значит,

Замечая, что

,  , ,

,

где  - полупериметр треугольника, получаем:

.

Таким образом, площадь треугольника

.

2. Площадь четырёхугольника

В учебниках по геометрии предусмотрено вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:

,

где , a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD  АВ = а, ВС = b,

CD = c, DA = d; ∠ABC = β, ∠ADC = δ (рис. 2.4)

        Рис. 2.4

Из  в силу теоремы косинусов:

Из : .

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

,

или .                          (1.2)

Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:

,

откуда

                           (1.3)

В равенствах (1.2) и (1.3) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

Выполним равносильные преобразования, получим

,

что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

.

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.

,

.

Поэтому                 .

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.

,

то

, , , .

Имеем:

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

.

Доказательство. Так как  и в силу следствия 1:

,

то

3. Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

,

где  - длина нижнего основания,  - длина среднего основания,  - длина верхнего основания, h – высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 2.5, а)

,

для трапеции (рис. 2.5, б)

,

для треугольника (рис 2.5, в)

                  а)        б)

                    в)                 Рис. 2.5

3. Практическая часть. Применение в жизни

1. Триангуляция многоугольника

Мы рассмотрим частный вид многоугольников на клетчатой бумаге, которому в формуле Пика соответствуют значения . Но от этого частного случая можно перейти сразу к самому общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника (клетчатая бумага больше не нужна).

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 3.1).

Рис. 3.1

Теорема 2. а) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n-угольника).

б) Пусть на границе многоугольника отмечено r точек (включая все вершины), внутри – ещё i точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно .

Разумеется, а) – частный случай б), когда .

Справедливость этой теоремы следует из следующих утверждений.

1. Из вершины наибольшего угла n-угольника () всегда можно провести диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.
2. Если n-угольник разрезан диагональю на р-угольник и q-угольник, то .
3. Сумма углов n-угольника равна .
4. Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на  треугольника.
5. Для любого треугольника, внутри и на границе которого отмечены несколько точек (в том числе и все три его вершины), существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках.
6. То же самое верно и для любого n-угольника.
7. Число треугольников триангуляции равно , где i и r – количество отмечены несколько точек соответственно внутри и на границе многоугольника. Назовём разбиение n-угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит.

8) Если из вершин k-угольников, на которые разбит правильным образом n-угольник, i вершин лежат внутри и r – на границе n-угольника, то количество k-угольников равно

.

9) Если  точек плоскости и  отрезков с концами в этих точках образуют многоугольник, правильно разбитый на  многоугольников, то (рис. 3.2)

.

Рис. 3.2

Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:

.

2. Равносоставленность треугольников.

Теорема Больяя-Гервина

Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей – вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие,  при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики – они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству – перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 3.3: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.

Рис. 3.3

Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему – надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 3.4, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 3.4, б), применённого нужное число раз.

а)                                                     б)

Рис. 3.4

Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 3.5), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.

Рис. 3.5    

Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.

3. Фигуры с наибольшей площадью

1. Трапеция или прямоугольник

Рассмотрение этого пункта начнём с решения задачи.

Задача. В роковой в день своей жизни Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно в результате плохого расчёта. Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?

Решение. Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь.

Вот ряд примеров:

14 ⋅ 6 = 84 кв. вёрст

13 ⋅ 7 = 91 кв. вёрст

12 ⋅ 8 = 96 кв. вёрст

11 ⋅ 9 = 99 кв. вёрст

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

18 ⋅ 2 = 36 кв. вёрст

19 ⋅ 1 = 19 кв. вёрст

19,5 ⋅ 0,5 = 9,75 кв. вёрст.

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа.

Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей  при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10 ⋅ 10 = 100 кв. вёрст. Легко увидеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить.

3.3.2 Участки другой формы

Но, может быть  Пахому ещё выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой – четырёхугольной, треугольной, пятиугольной и т. д.

Познакомимся со следующими утверждениями, которые и отвечают на поставленный вопрос.

Во-первых, из всех четырёхугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырёхугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем 100 квадратными вёрстами (считал, что максимальный дневной пробег его – 40 вёрст).

Во-вторых, квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет сторону   вёрстам, а площадь (по формуле , где S  - площадь, а – сторона)   кв. вёрст, т. е. меньше даже, чем у той трапеции, которую Пахом обошёл. Дальше будет доказано, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат).

Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. д. равного периметра, то здесь неравенство его прекращается: правильный пятиугольник обладает наибольшей площадью, правильный шестиугольник – ещё большей, и т. д. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника. При периметре в 40 вёрст его сторона , площадь (по формуле ) равна

 кв. вёрст.

Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на 115 -78, т. е. на 37 квадратных вёрст больше, чем в действительности, и на 15 квадратных вёрст больше, чем дал бы ему квадратный участок.

3.3.3 Треугольник с наибольшей площадью

Мы уже заметили раньше, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Докажем это.

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром  выражается так:

,    откуда

Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и её квадрат , или выражение , где р- полупериметр  согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение  становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трёх множителей есть величина постоянная,

заключаем, что произведение их достигает наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство

, откуда  

                                       .

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

4. Применение в жизни. Решение задач

Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Параллелограмм дает определение прямоугольнику и ромбу. В жизни параллелограмм – это рамы велосипедов, мотоциклов, где для жесткости проведена диагональ.  Прямоугольник несет красоту, стройность, четкость. Это стены домов, пол, потолки, грани карандашей.

Реечный домкрат для легковых автомобилей имеет форму ромба. Плиточники укладывают плитки в виде ромба, квадрата – из них получаются красивые узоры.

В хирургическом отделении для пересадки кожи применяют специальную машинку, которая вырезает кожу в виде квадратов. Их располагают на обожженном участке в шахматном порядке, так как кожа имеет свойство расти во всех направлениях, со временем промежутки между квадратами зарастают.

В сельском хозяйстве применяют квадратно – гнездовой способ посадки культур – урожай при  этом лучше, этот способ хорош тем, что можно применять механизированную обработку.

С помощью палетки.

Можно ли очень точно определить площадь большого участка земли?

Ответ.

Для этого используется метод приближенного нахождения площади. С помощью аэрофотосъемки получают карту этого участка с определенным масштабом. А затем с помощью палетки определяется площадь. Так, например, с помощью карты  вы можете найти площадь государства, озера, какого-либо экономического района. Этот способ определения площади применяется для любой фигуры, например, листа (в биологии это тоже приходиться иногда делать).

Считают количество полных квадратов (со стороной, например, 1 см), расположенных внутри фигуры, а затем считают число неполных квадратов.

Для нахождения площади к числу полных прибавляют половину числа неполных квадратов. Погрешность большая. Этой точности достаточно только в некоторых случаях.

Решение задач

Задача 1.

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные  сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями . Найдите площадь треугольника.

Рис. 3.7

Дано: . . . . , , .

Найдите .

Решение.

1)  ∼ , следовательно  площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия).

2) ;  ; ; .

.

, отсюда .

Задача 2.

Дано: выпуклый четырёхугольник

Докажите, что этот четырёхугольник есть трапеция.

Доказательство.

Рис. 3.8

 С другой стороны,  (рис. 3.8). , следовательно , но , (рис. 3.8), следовательно , следовательно , тогда , следовательно  и , т. е. , а это означает, что , т. е. четырёхугольник - трапеция.

Заключение

В работе рассмотрены теоретические и практические аспекты по теме «Площади», приведены примеры решения задач.

Раскрытие данной темы помогает расширить знания о прямоугольниках, трапециях, треугольниках, квадратах, их элементах, площадях, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения (исторической, географической), а также в повседневной жизни.

При исследовании темы  «Площади» решены поставленные задачи и продемонстрированы:

• наличие сведений о вычислениях площадей в древности;
• знания формул площадей треугольника, прямоугольника, трапеции, параллелограмма, ромба;
• различные способы измерения площадей;
• осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;
• умение самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Таким образом, в результате проведённой работы, хочется отметить, что было очень интересно проводить исследования по данной теме и думаю, целесообразно,  изучать ее более глубоко. А также  надеюсь, что полученные результаты и сделанные выводы помогут мне в будущем.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9. учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2000.
2. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия 7-11. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 1996.
3. Киселев А. И., Рыбкин Н. А. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.:Учебник и задачник. – М.: Дрофа, 1995.
4. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. – М.: Наука, 1991.
5. Корешкова Т. А., Цукерман В. В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики// Математика в школе, 2003, №9, с. 10-18.
6. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. Гос-ное изд-во технико-теоретической  литературы. Москва – 1950. Ленинград.
7. Рохлин В. А. Площади и объём. Энциклопедия элементарной математики. – М.: Наука, 1966.
8. Энциклопедический словарь юного математика для старшего и среднего школьного возраста. – М.: Педагогика, 1989.
9. Юшкевич А. П. История математики. – М., 1970.