Решение вписанные и описанные четырехугольники для ОГЭ и ЕГЭ
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему
Предложены решения задач из баннка данных для ОГЭ и ЕГЭ. Удобно использовать для коррекции знаний или для учащихся, пропустивших занятия по подготовке к итоговой атттестации
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
reshenie_vpis_i_opis_chetyrehugolniki_ege_i_oge_.doc | 386 КБ |
Предварительный просмотр:
Окружность, вписанная в многоугольник http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/ | |||
Задача 1. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16. Решение: Радиус вписанной окружности в квадрат – есть половина стороны квадрата. Поэтому r = 8 Ответ: 8. | |||
Задача 2. Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба. Решение: Пусть точки касания окружности противоположных сторон ромба – E и T. Тогда ET– диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – центр симметрии параллелограмма, значит и ромба). ET – есть расстояние между противоположными сторонами ромба так же, как и высота ромба (DH). Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. Так как угол А равен 30°по условию, то катет HD, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы AD. То есть HD=ET=29. Значит, радиус вписанной окружности есть ET: 2, то есть 14,5.Ответ: 14,5. | |||
Задача 3. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14. Решение: Высота трапеции – есть диаметр вписанной окружности в трапецию. h=2r=2·14, h = 28. Ответ:28 | |||
Задача 4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции. Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD, что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).Итак, BC+AD=32, средняя линия l– есть полусумма оснований, то l=16. Ответ:16 | |||
Задача 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD и PABCD =80, то AB+CD= P:2 = 40. CD=30 по условию, то AB=10. Далее, AB=NQ=2r. r =5. Ответ:5 | |||
Задача 6. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника. Решение: Раз в выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, то AB+CD=BC+AD. PABCD=2(AB+CD)=2(52+53)=210 Ответ:210 | |||
Задача 7. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84. Решение: В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, значит AB+CD=BC+AD. По условию три стороны четырехугольника относятся как 1:17:23, пусть тогда AD=x;AB=17x; BC=23x. Итого, 24x=17x+CD; 7x=CD; Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен 84, то 24x=42; x= 7/4.Очевидно, большая сторона – это BC=23x. BC=23·(7/4) = 40,25. Ответ: 40,25. |
Задача 8. Около окружности, радиус которой равен, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. Решение: Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть . Ответ: 6. | |
Задача 9. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен Решение: Шестиугольник составлен из 6 правильных треугольников. Рассмотрим правильный треугольник AOF: В нем OH = r – медиана и высота, , , тогда , АО=66 Ответ: 66. |
Окружность, описанная около многоугольник http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/ | |
Задача 1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанный в окружность угол A опирается на дугу BCD, значит дуга BCD=52° по свойству вписанного угла. Дуга BAD, дополняющая дугу BCD до окружности, равна 360°-52°=308°. Тогда угол Cравен 308°: 2 = 154°. Ответ: 154. | |
Задача 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанный угол C опирается на дугу BAD, равную 78˚+136˚=214˚. Значит сам угол равен 214 : 2 = 107˚.Ответ: 107. | |
Задача 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах. Решение: Дуги AB,BC,CD,AD в сумме составляют 360˚. Так как градусные меры дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 1:2:7:26, то пусть AB=x, BC=2x, CD=7x,AD=26x градусов. Имеем, x+2x+7x+26x=360;36x=360;x=10. Угол A опирается на дугу BD=9x градусов, значит угол A равен 90˚: 2 = 45˚. Ответ: 45. | |
Задача 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Решение: ABC=38˚, значит дуга ADC равна 76˚. CAD=33°, значит дуга DC равна 66°. Тогда дуга AD равна 10°. Стало быть, ABD=5°. Ответ: 5. | |
Задача 5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и . Решение: Радиус R описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали. По т. Пифагора: AC= ; тогда R=9. Ответ: 9. | |
Задача 6. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса Решение: Диагональ BD квадрата – диаметр окружности. Обозначим сторону квадрата за x. Из треугольника ABD по т. Пифагора x2+x2=()2; 2x2=902·2; x2=902; x=90; Ответ: 90. | |
Задача 7. Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника. Решение: Диагонали прямоугольника – диаметры окружности. Треугольник ABO – равносторонний, так как O=60°, AO=BO=R. Значит, R=16.Ответ: 16. | |
Задача 8. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции. Решение: Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная (AB=CD). Средняя линия трапеции l есть полусумма оснований (BC+AD)/ 2, при этом l =25. P=2AB+(BC+AD); 60=2AB+50; AB=5; Ответ: 5. |
Задача 9. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. Решение: 1) Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная. HQ=BC=AB=CD, AH=QD (где H,D – основания высот, опущенных к большему основанию).Из прямоугольного треугольника ABH с углом B в 30˚ AH=0,5AB по свойству катета | ||||||
против угла в 30˚. Значит, AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB; 2AB=82; AB=41. 2) Окружность описана и вокруг треугольника ABC.Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚. Значит, BAC=BCA=30°. Применяем теорему синусов: AB/sin30° =2R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC (и около трапеции ABCD). 41/{1/2}=2R; R=41; Ответ: 41. | ||||||
Задача 10. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции. Решение: Длина высоты трапеции HQ есть сумма длин высот OQ,OH треугольников OBC и OAD. OQ= =4 (по т. Пифагора из треугольника OQC); OH== 3 (по т. Пифагора из треугольника OHD); HQ=4+3=7. Ответ: 7. | ||||||
Задача 11. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение: Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).Если A=99°, то C=180°-99°=81°. Если B=56°, то D=180°-56°=124°. Угол D и есть наибольший. Ответ: 124. | ||||||
Задача 12.Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1. Решение: Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника. R = BD: 2=2,5. Ответ: 2,5. | ||||||
Задача 13. Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности. Решение: AB=BC=...=EF= P: 6 = 108 : 6 =18. Рассмотрим треугольник AOF. Он равносторонний, т.к. AO=OF=R и AOF=60°. Значит, диаметр окружности D есть 2 ·18=36. Ответ: 36. | ||||||
Задача 14. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n. Решение: Рассмотрим треугольник AОB. Он равнобедренный, так как AO=BO=R. Значит, A= B и AOB=180°-2 · 72°=36°.Таких равных равнобедренных треугольников у нас n штук, в сумме углы при вершине O этих треугольников дают 360˚.Тогда n=360°/{36°}=10. Ответ: 10. | ||||||
Задача 15. Около окружности, радиус которой равен ,описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника. Решение: Треугольники AOB,BOC и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности. Из прямоугольного треугольника AOP, (где OP=R, R – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):sinA=OP/AO; , АО=3 Ответ: 3 |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанные и описанные окружности» 9 класс
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в...
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 классов
Древние греки считали окружность совершеннейшейи «самой круглой» фигурой, И в наше время в некоторыхситуациях, когда хотят дать особую оценку, используют слово «кругл...
Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в...
Решение задач на вписанные и описанные многогранники
Решение задач на вписанные и описанные многогранники...
Презентация "Вписанная и описанная окружности четырехугольника" Геометрия 8 класс Мерзляк
Презентация "Решение задач на тему "Вписанная и описанная окружности четырехугольника" Геометрия 8 класс Мерзляк...
Контрольная работа. Трапеция. Вписанные и описанные четырехугольники.
Контрольная работа по геометрии. 8 класс. Трапеция. Вписанные и описанные четырехугольники....
Конспект урока геометрии "Свойства вписанного и описанного четырехугольника"
Урок введения новых знаний.Цель урока: изучить свойства вписанного и описанного четырехугольника, обеспечить усвоение всеми учащиеся, сформировать умение определять, около какого четырехугольника можн...