Тела вращения. Цилиндр

Тела вращения

Тела вращения— объёмные тела, возникающие при вращении замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и вращающееся тело.

Примеры тел вращения

• Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
• Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
• Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
• Тор — образован кругом, вращающимся вокруг прямой, не пересекающей его.

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Цилиндр.

Правильный круглый цилиндр

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.

Примеры тел, имеющих форму цилиндра:

Сквозное отверстие в стене, сделанное дрелью, является цилиндром: его основание – круг с диаметром, равным диаметру сверла, высота – толщина стены.

Связанные определения.

• Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
• Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
• Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
• Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
• Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Свойства

• Основания цилиндра равны.

• У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

• У цилиндра образующие параллельны и равны.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Основные формулы

V = πr2h - объём прямого кругового цилиндра

S = 2πrh - Площадь боковой поверхности цилиндра

(где r — радиус основания, h — высота).

Площадь полной поверхности цилиндра  складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

S = 2πrh + 2πr2.

Примеры:

Задача1.Радиус основания цилиндра 2 см, высота 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Дано: цилиндр,

r = 2 см,

h =3 см,

Найти: d – диагональ осевого сечения

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра и диаметр основания, а гипотенузой – диагональ осевого сечения. По теореме Пифагора получим:

см

 Ответ: 5 см.

Задача 2.Дано: Концы отрезка АВ = 13 дм лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 дм. Найти: высоту H цилиндра (см. рис. 1).

Рис. 1.

Решение: Проведем образующую ВС: Так как , то.

Проведем. Так как и, то.

Таким образом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и BC плоскости АВС. Следовательно, , значит, расстояние между прямыми АВ и ОО1 равно ОК; ОК = 8 дм.

Рассмотрим ∆АКО – прямоугольный, по теореме Пифагора:  , АС=2AK=12 дм.

Рассмотрим  - прямоугольный, по теореме Пифагора: .

BC – образующая цилиндра, и она равна высоте цилиндра.

Ответ: H=5 дм.

Задача3. Дано: Через образующую АА1, цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра, угол между плоскостями равен φ. Найти: отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями.

Решение: Нарисуем плоскости α – ABB1A1 и β - AA1C1C в цилиндре. Построим угол между плоскостями на рисунке (см. рис. 2).

Рис. 2.

. Значит, угол .

Теперь найдем отношение площадей, которое спрашивается: . (Угол C в треугольнике ABC – прямой, так как он опирается на диаметр нижнего основания цилиндра).

Ответ: .

Задания

1 Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

2.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

3. Длина окружности основания прямого цилиндра С = 10 м, длина образующей l = 7 м. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

5. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5%  площади ее боковой поверхности?