Векторы в пространстве
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Вариант 1

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        DABC – тетраэдр. Точка М – середина ребра ВС, точка N – середина отрезка DМ. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        Медианы ΔBDC пересекаются в точке Р, точка K – середина отрезка AP (точка А не лежит в плоскости BDC). Разложите вектор  по векторам , , .

4.        В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 М лежит на BB1, причем BМ : МB1 = 3 : 4, а Р лежит на B1D1, причем B1P : РD1 = 2 : 1. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 2

1.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        В тетраэдре DABC точка N – середина ребра AB, точка P – середина отрезка DN. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        Медианы грани DBC тетраэдра DABC пересекаются в точке О, точка R – середина отрезка AO. Разложите вектор  по векторам , , .

4.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка М лежит на AB, причем AМ : МB = 5 : 2, а K ∈ AD1, причем AK : КD1 = 3 : 5. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 3

1.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        Точка S – середина ребра AС тетраэдра DABC, точка N – середина отрезка DS. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        В треугольнике KLM точка С – пересечение медиан, T – середина отрезка NС (N не лежит в плоскости KLM). Разложите  по векторам , , .

4.        В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N делит CC1 так, что CN : NC1 = 1 : 3, а точка H делит A1С1 так, что А1Н : НС1 =
= 5 : 2. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 4

1.        Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, равный:

1) ;        2) .

2.        Дан тетраэдр DABC. Точка P – середина ребра AB, точка R – середина отрезка CP. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        DABC – тетраэдр. Медианы грани DAB пересекаются в точке N, точка O – середина отрезка CN. Разложите вектор  по векторам , , .

4.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точка E лежит на ребре DC так, что DE : EC = 1 : 4, а F ∈ СB1, причем CF : FB1 =
= 2 : 3. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 5

1.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        На середине ребра ВС тетраэдра DABC лежит точка T, а на середине отрезка DT – точка H. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        R – точка пересечения медиан треугольника SPQ, M – середина отрезка FR (точка F не лежит в плоскости SPQ). Разложите вектор  по векторам , , .

4.        Точка K лежит на ребре BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 так, что BK : KB1 = 3 : 4, а N ∈ D1B1, причем D1N : NB1 = 1 : 2. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 6

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        DABC – тетраэдр. На середине ребра AB лежит точка К, точка M – середина отрезка DK. Выразите вектор  через векторы , , .

3.        В тетраэдре ABCD медианы грани DBC пересекаются в точке E, на середине отрезка AE лежит точка N. Разложите вектор  по векторам , , .

4.        Точка S лежит на ребре BA, а точка Р лежит на диагонали AD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, BS : SA = 2 : 5, AP : РD1 =
= 3 : 5. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 7

1.        Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        В тетраэдре DABC на середине ребра AС лежит точка T, а на середине отрезка DT – точка K. Разложите вектор  по векторам , , .

3.        Дан ΔAMD, его медианы пересекаются в точке O, P – середина отрезка SO (точка S не лежит в плоскости AMD). Выразите  через векторы , , .

4.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. На C1A1 лежит точка N, причем C1N : NA1 = 2 : 5, а на C1C – М, причем C1М : МC =
= 3 : 1. Разложите вектор  по векторам ,  и .

Вариант 8

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        Точка N – середина отрезка CK, соединяющего вершину С тетраэдра DABC с точкой K – серединой ребра AB. Разложите вектор  по векторам , , .

3.        Точка R – пересечение медиан грани DAB тетраэдра DABC, точка P – середина отрезка CR. Выразите вектор  через векторы , , .

4.        В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка T лежит на B1С так, что B1T : TС = 3 : 2, точка O делит CD так, что СО : ОD =
= 4 : 1. Разложите вектор  по векторам ,  и .

        ВАРИАНТ 1        КР–2

1.        Даны точки: А(2; –8; 1), В(–7; 10; –8), С(–8; 0; –10),
D( –9; 8; 7). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 2, = ,  = 135°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми:

а) ВС1 и АК;

б) B1D и А1К.

        ВАРИАНТ 2        КР–2

1.        Даны точки: А(5; 0; 1), В(0; –1; 2), С(3; 0; 1),
D(–2; –1; 2). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 1, = 2,  = 120°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ADD1A1. Вычислите угол между прямыми:

а) ВВ1 и ВК;

б) А1С1 и В1К.

        ВАРИАНТ 3        КР–2

1.        Даны точки: А(1; –5; 0), В(–3; 3; –4), С(–1; 4; 0),
D(–5; 6; 2). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 2, = ,  = 150°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ABCD. Вычислите угол между прямыми:

а) CC1 и D1K;

б) A1B и С1К.

        ВАРИАНТ 4         КР–2

1.        Даны точки: А(6; 1; 2), В(1; 0; 3), С(5; 3; 4),
D(0; 2; 5). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 3, = 2,  = 120°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ABCD. Вычислите угол между прямыми:

а) BC1 и D1K;

б) B1D и C1K.

        ВАРИАНТ 5        КР–2

1.        Даны точки: А(2; –9; 1), В(–6; 1; –7), С(–7; 0; –9),
D(–9; 8; 3). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = , = 1,  = 150°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ADD1A1. Вычислите угол между прямыми:

а) AC1 и CK;

б) A1D1 и BK.

        ВАРИАНТ 6        КР–2

1.        Даны точки: А(1; –4; 0), В(–5; 0; –2), С(–3; 1; 0),
D(–5; 7; 4). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 1, = ,  = 135°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми:

а) A1B1 и BK;

б) AC и A1K.

        ВАРИАНТ 7        КР–2

1.        Даны точки: А(2; –4; 1), В(–1; 1; –3), С(–2; 7; –3),
D(–9; 6; 1). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 4, = 1,  = 120°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ABCD. Вычислите угол между прямыми:

а) AD1 и A1K;

б) AD и B1K.

        ВАРИАНТ 8        КР–2

1.        Даны точки: А(2; –3; 1), В(–7; 10; –9), С(–8; 0; –9),
D(–9; 7; 1). Найдите:

а) угол между векторами  и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

2.        Даны векторы  и : = 1, = ,  = 150°.
Найдите .

3.        В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми:

а) BD1 и AK;

б) BB1 и A1K.

Точка лежит:

на оси

в плоскости

Ox

Oy

Oz

xOy

xOz

yOz

(х; 0; 0)

(0; у; 0)

(0; 0; z)

(х; у; 0)

(х; 0; z)

(0; y; z)

Разложение вектора по координатам

   или  

Координаты вектора

Сумма векторов

Разность векторов

Произведение на число

Противоположный вектор

Скалярное произведение

Скалярный квадрат

Длина вектора

Угол между векторами

Условие равенства векторов

Условие коллинеарности векторов

Условие перпендикулярности векторов

Вектор (направленный отрезок) — это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Нулевой вектор (нуль–вектор) — вектор, начало и конец которого совпадают и он не имеет определенного направления.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор.

Длина вектора (модуль, абсолютная величина) — длина его направленного отрезка.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Сонаправленные векторы — векторы, лежащие на сонаправленных лучах.

Противоположно направленные векторы — векторы, лежащие на противоположно направленных лучах.

Противоположные векторы — векторы, которые имеют равные длины и противоположно направлены.

Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и их длины равны.

Компланарные векторы — векторы, которые при откладывании от одной точки будут лежать в одной плоскости.

Разложить вектор  по векторам  и  — представить этот вектор в виде

,

где х и у – некоторые числа, которые называются коэффициентами разложения.

Координатные векторы (орты) — единичные векторы, сонаправленные осям координат.

Координаты вектора — коэффициенты разложения вектора по координатным векторам.

Радиус–вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой.

Направляющий вектор прямой — вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей.

Векторы:

– направленный отрезок,

А – начало вектора,

В – конец вектора.

 – длина вектора.

 – нулевой вектор.

Коллинеарные векторы:

1.  и  (AB C DC)

2.  и  (P ` AM)

3.  и любой вектор

Сонаправленные векторы:

 сонаправлен с любым вектором

Противоположно направленные векторы:

Противоположные векторы:

Равные векторы:

Сложение

1)        (правило многоугольника): Суммой векторов, отложенных последовательно, называется вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего.

2)        (правило параллелограмма): Суммой двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

3)        (правило параллелепипеда): Суммой трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах.

        Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Вычитание

Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .

        а)        Разность удобно заменять суммой с противоположным вектором;

б)        Правило о направлении вектора разности: «Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора».

Умножение

1)        (умножение на число): Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при k l 0 и противоположно направлены при k < 0.

2)        (скалярное произведение): Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

.

        а)        При умножении вектора на число получается вектор, скалярное произведение – число;

б)        Если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Сложение:

1)        правило треугольника:

;

правило многоугольника:

.

2)        правило параллелограмма:

.

3)        правило параллелепипеда:

.

Вычитание:

а)        ;

б)        .

Длина отрезка

Середина отрезка

Деление отрезка в заданном отношении

или

Точка пересечения медиан треугольника

ВАРИАНТ 1

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 2

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 3

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 4

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 1

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 2

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 3

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

ВАРИАНТ 4

1.        Упростите выражение:

1)        ;

2)        .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1:

1)        найдите вектор ;

2)        найдите вектор ;

3)        представьте вектор  в виде разности двух векторов, один из которых – вектор .

Вариант 1

1.        Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, отрезки АC и BD пересекаются в точке М. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        В тетраэдре DABC точка М – точка пересечения медиан грани DBC, Е – середина АС. Разложите вектор
 по векторам ,  и .

4.        DABC – тетраэдр, О – точка пересечения медиан ΔАВС, точка F лежит на AD, причем AF : FD = 3 : 1. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 2

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани АВCD пересекаются в точке О. Разложите вектор
 по векторам, , , .

3.        DABC – тетраэдр, точка Е – середина ребра АD, а точка М – точка пересечения медиан грани BDC. Разложите вектор  по векторам , и .

4.        Дан тетраэдр DABC. Медианы грани АВС пересекаются в точке М, , причем DN : NC = 5 : 1. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 3

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        К – точка пересечения диагоналей В1D1 и А1C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        DABC – тетраэдр, точка Е – середина ребра DВ, а точка М – точка пересечения медиан грани АBC. Разложите вектор
 по векторам , и .

4.        В тетраэдре DABC R – точка пересечения медиан грани DВС, , причем AK : KB = 2 : 7. Разложите вектор
 по векторам , , .

Вариант 4

1.        Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, равный:

1) ;        2) .

2.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, N – точка пересечения отрезков АC и ВD. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        Медианы грани ACD тетраэдра DABC пересекаются в точке М, а точка К – середина ребра АВ. Разложите вектор
 по векторам ,  и .

4.        DABC – тетраэдр, M – точка пересечения медиан ΔАВС, точка К лежит на DC так, что DK : KC = 3 : 2. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 5

1.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка P – точка пересечения отрезков АC и BD. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        В тетраэдре DABC медианы грани DBC пересекаются в
точке М, середина ребра АС – точка Е. Разложите вектор
 по векторам ,  и .

4.        Дан тетраэдр DABC. M – точка пересечения медиан ΔАВС, , причем DH : HA = 1 : 3. Разложите вектор
 по векторам , , .

Вариант 6

1.        Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагонали его грани АВCD пересекаются в точке К. Разложите вектор
 по векторам, , , .

3.        В тетраэдре DABC точка Е – середина ребра АD, а точка М – точка пересечения медиан грани BDC. Разложите вектор
 по векторам , и .

4.        DABC – тетраэдр, медианы треугольника АВС пересекаются в точке К, а так, что CT : TD = 1 : 5. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 7

1.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

1) ;        2) .

2.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, точка R – точка пересечения В1D1 и А1C1. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        Точка Е – середина ребра DВ тетраэдра DABC, а точка М – точка пересечение медиан грани АBC. Разложите вектор  по векторам , и .

4.        DABC – тетраэдр, P – точка пересечения медиан грани DВС, а точка М лежит на ВА, причем BM : MA = 7 : 2. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 8

1.        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) ;        2) .

2.        Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка T – точка пересечения отрезков АC и ВD. Разложите вектор
 по векторам , , .

3.        В тетраэдре DABC точка М – точка пересечения медиан грани ACD, а точка К – середина ребра АВ. Разложите вектор  по векторам ,  и .

4.        Медианы грани АВС тетраэдра DABC пересекаются в точке О, на ребре CD лежит N так, что CN : ND = 2 : 3. Разложите вектор  по векторам , , .

Вариант 1

1.        Даны векторы {2; –5; –4}, {–4; 3; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 6; –3), В(–5; 3; –5), С(3; –1; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(4; –2; 2), В(6; 1; –4), С(0; –1; –7), D(–2; –4; –1).

Вариант 2

1.        Даны векторы {2; –5; –4}, {–2; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 5; –2), В(–5; 4; –5), С(1; –4; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–3; –4; 5), В(–2; 0; –3), С(2; 7; 1),
D(1; 3; 9).

Вариант 3

1.        Даны векторы {2; –5; –4}, {–2; 2; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 7; –2), В(–5; 4; –5), С(1; –2; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(9; 2; 8), В(5; 3; –2), С(–3; –4; –4),
D(1; –5; 6).

Вариант 4

1.        Даны векторы {2; –3; –4}, {–2; 6; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 5; –1), В(–5; 4; –4), С(1; –2; 2).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(1; –2; –4), В(3; –5; 2), С(6; 1; 4),
D(4; 4; –2).

Вариант 5

1.        Даны векторы {3; –2; –4}, {–4; 4; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 8; –2), В(–5; 4; –3), С(1; –2; 3).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(5; –3; 2), В(6; –1; 0), С(4; –11; –11), D(3; –13; –9).

Вариант 6

1.        Даны векторы {2; –2; –4}, {–2; 2; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 8; –3), В(–5; 4; –1), С(1; –2; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(5; 5; 5), В(1; 6; –5), С(–7; –1; –7),
D(–3; –2; 3).

Вариант 7

1.        Даны векторы {4; –4; –2}, {–2; 2; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 7; –1), В(–5; 3; –5), С(1; –3; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(4; –3; 3), В(6; 1; –1), С(2; –1; –5), D(0; –5; –1).

Вариант 8

1.        Даны векторы {3; –4; –5}, {–4; 2; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 6; –2), В(–5; 3; –4), С(1; –3; 2).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(14; 3; 5), В(4; 2; –7), С(–10; –5; –7),
D(0; –4; 5).

Вариант 9

1.        Даны векторы {2; –2; –5}, {–2; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 9; –1), В(–5; 2; –5), С(1; –4; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–3; –5; 7), В(–1; 1; –2), С(5; 8; 4),
D(3; 2; 13).

Вариант 10

1.        Даны векторы {3; –4; –3}, {–5; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 8; –3), В(–5; 2; –5), С(1; –2; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(9; 6; 7), В(–1; 5; –5), С(–15; –2; –5),
D(–5; –1; 7).

Вариант 11

1.        Даны векторы {2; –3; –4}, {–2; 2; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(1; 7; –1), В(–4; 5; –5), С(2; –1; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–6; –6; 6), В(–4; –1; –8), С(6; 9; –3),
D(4; 4; 11).

Вариант 12

1.        Даны векторы {3; –2; –4}, {–2; 4; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 6; –2), В(–4; 5; –4), С(2; –1; 2).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(–3; 2; 2), В(–1; –8; 13),
С(–15; –13; 11), D(–17; –3; 0).

Вариант 13

1.        Даны векторы {2; –5; –2}, {–4; 3; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 7; –4), В(–4; 5; –3), С(2; –1; 3).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–2; 1; –2), В(0; –2; 4), С(3; 4; 6),
D(1; 7; 0).

Вариант 14

1.        Даны векторы {4; –3; –4}, {–2; 4; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 8; –2), В(–4; 5; –1), С(2; –1; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(11; 3; 5), В(5; 3; –7), С(–5; –5; –11),
D(1; –5; 1).

Вариант 15

1.        Даны векторы {3; –4; –2}, {–4; 3; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 9; –3), В(–4; 3; –5), С(2; –3; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(6; –7; –8), В(7; 5; –20),
С(–5; 2; –24), D(–6; –10; –12).

Вариант 16

1.        Даны векторы {2; –2; –3}, {–5; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 6; –2), В(–4; 1; –1), С(2; –5; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–4; –3; 5), В(–2; 3; –4), С(4; 10; 2),
D(2; 4; 11).

Вариант 17

1.        Даны векторы {6; –2; –4}, {–3; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 9; –1), В(–4; 1; –5), С(2; –1; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(–6; 4; 3), В(–7; 2; 5), С(–5; 12; 16), D(–4; 14; 14).

Вариант 18

1.        Даны векторы {4; –2; –3}, {–4; 2; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(8; 8; –3), В(–3; 1; –1), С(5; –3; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(12; 7; 6), В(7; 9; –8), С(–4; –1; –10),
D(1; –3; 4).

Вариант 19

1.        Даны векторы {2; –3; –4}, {–2; 3; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(5; 6; –1), В(–3; 5; –5), С(1; –3; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(–3; –1; 3), В(–5; –4; 9), С(1; –2; 12), D(3; 1; 6).

Вариант 20

1.        Даны векторы {5; –2; –4}, {–2; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 8; –1), В(–2; 5; –5), С(4; –1; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(1; –5; 2), В(2; –1; –6), С(6; 6; –2),
D(5; 2; 6).

Вариант 21

1.        Даны векторы {2; –4; –5}, {–4; 3; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(6; 7; –3), В(–2; 3; –1), С(4; –3; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(6; 6; 9), В(0; 6; –3), С(–10; –2; –7),
D(–4; –2; 5).

Вариант 22

1.        Даны векторы {3; –2; –3}, {–3; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(7; 7; –4), В(–2; 1; –3), С(4; –5; 3).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–4; –5; 7), В(–2; 0; –7), С(8; 10; –2),
D(6; 5; 12).

Вариант 23

1.        Даны векторы {4; –2; –4}, {–2; 3; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(5; 5; –2), В(–2; 1; –2), С(4; –5; 4).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(5; 6; 10), В(0; 8; –4), С(–11; –2; –6),
D(–6; –4; 8).

Вариант 24

1.        Даны векторы {3; –3; –4}, {–2; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(6; 5; –4), В(–2; 1; –1), С(4; –5; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(5; –1; –3), В(7; –11; 8),
С(–7; –16; 6), D(–9; –6; –5).

Вариант 25

1.        Даны векторы {4; –4; –5}, {–3; 3; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(8; 7; –6), В(–2; 1; –1), С(4; –5; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(6; 1; 12), В(1; 3; –2), С(–10; –7; –4),
D(–5; –9; 10).

Вариант 26

1.        Даны векторы {2; –2; –4}, {–3; 2; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 6; –3), В(–2; 1; –1), С(4; –1; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(7; –4; 9), В(8; 8; –3), С(–4; 5; –7),
D(–5; –7; 5).

Вариант 27

1.        Даны векторы {4; –2; –5}, {–3; 4; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(5; 8; –5), В(–1; 4; –1), С(5; –4; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(1; –4; 4), В(3; 2; –5), С(9; 9; 1),
D(7; 3; 10).

Вариант 28

1.        Даны векторы {2; –2; –5}, {–3; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 7; –4), В(–1; 4; –1), С(5; –2; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(2; –1; –2), В(0; –5; 2), С(4; –3; 6), D(6; 1; 2).

Вариант 29

1.        Даны векторы {6; –2; –4}, {–3; 2; –4}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 7; –5), В(–1; 3; –2), С(5; –3; 4).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–2; –6; 5), В(–1; –2; –3), С(3; 5; 1),
D(2; 1; 9).

Вариант 30

1.        Даны векторы {3; –4; –2}, {–5; 2; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(6; 6; –3), В(–1; 3; –1), С(5; –3; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(14; 3; 13), В(6; 2; –1), С(–6; –7; –7),
D(2; –6; 7).

Вариант 31

1.        Даны векторы {2; –2; –3}, {–2; 2; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(7; 5; –2), В(–1; 2; –3), С(5; –4; 3).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–2; –3; 5), В(0; 2; –9), С(10; 12; –4),
D(8; 7; 10).

Вариант 32

1.        Даны векторы {2; –2; –3}, {–4; 4; –2}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 5; –3), В(–1; 2; –2), С(5; –4; 4).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(10; 9; 5), В(5; 11; –9), С(–6; 1; –11),
D(–1; –1; 3).

Вариант 33

1.        Даны векторы {3; –2; –4}, {–2; 2; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(4; 3; –3), В(–1; 2; –1), С(5; –4; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(8; 4; 3), В(9; 16; –9), С(–3; 1; –25), D(–4; –11; –13).

Вариант 34

1.        Даны векторы {3; –2; –5}, {–4; 6; –5}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(5; 4; –2), В(–1; 2; –1), С(5; –4; 1).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси аппликат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — ромб, если
А(8; 8; 12), В(0; 7; –2), С(–12; –2; –8),
D(–4; –1; 6).

Вариант 35

1.        Даны векторы {2; –4; –2}, {–2; 4; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(3; 4; –3), В(–1; 2; –1), С(5; –2; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — прямоугольник, если А(3; 2; 8), В(4; 14; –4), С(–8; –1; –20), D(–9; –13; –8).

Вариант 36

1.        Даны векторы {2; –2; –5}, {–2; 2; –3}.

а)        Будут ли коллинеарными векторы  и  ?

б)        Вычислите .

2.        А(2; 3; –4), В(–1; 3; –1), С(3; –5; 5).

а)        Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

б)        На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек В и С.

3.        Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–1; 2; –1), В(1; –1; 5), С(4; 5; 7),
D(2; 8; 1).

Вариант 1

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {2п; –3; –6} и {3; –п; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {5; –2; 7} и {7; 5; 2}.

Вариант 2

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {5; 2п; –3} и {п; –1; 4} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {2; 1; 1} и {–1; –1; 0}.

Вариант 3

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {3; –2п; –п} и {2; 2; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {7; 0; –1} и {7; 4; 4}.

Вариант 4

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {1; –5; 3} и {2п; –4; –2п} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {7; 2; 1} и {1; 1; 0}.

Вариант 5

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {–2п; 1; –4} и
{2; –2п; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {4; 5; –2} и {–7; –5; –4}.

Вариант 6

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {–5п; 4; –3} и {1; –2; –п} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {–4; 1; 1} и {–1; –1; 0}.

Вариант 1

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {2п; –3; –6} и {3; –п; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {5; –2; 7} и {7; 5; 2}.

Вариант 2

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {5; 2п; –3} и {п; –1; 4} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {2; 1; 1} и {–1; –1; 0}.

Вариант 3

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {3; –2п; –п} и {2; 2; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {7; 0; –1} и {7; 4; 4}.

Вариант 4

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {1; –5; 3} и {2п; –4; –2п} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {7; 2; 1} и {1; 1; 0}.

Вариант 5

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {–2п; 1; –4} и
{2; –2п; –3} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {4; 5; –2} и {–7; –5; –4}.

Вариант 6

1.        Найдите скалярное произведение  ⋅ , если:

2.        При каком значении п векторы {–5п; 4; –3} и {1; –2; –п} будут перпендикулярными?

3.        Найдите угол между векторами {–4; 1; 1} и {–1; –1; 0}.