Линейная функция и ее график
занимательные факты по геометрии (7 класс) на тему

План – конспект  спаренного урока по алгебре в 7 классе

Тема: Линейная функция и ее график.

Цели:

Образовательная:

• Формирование у учащихся понятия линейной функции и ее графика.

Воспитательные:

• Воспитание аккуратности и внимательности при выполнении заданий;
• Способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.

Развивающие:

• Развитие умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, делать необходимые выводы;
• Развитие умений грамотно, четко и точно выражать свои мысли (формулировать ответ или вывод).

Задачи:

• Повторить понятия «функция», «функция прямой пропорциональности и ее график»;
• Дать понятие «линейная функция»;
• Познакомить с графиком линейной функции;
• Раскрыть применение математических знаний о графиках в различных профессиях;
• Показать возможность автоматизации работы с графиками функций.
• Закрепить полученные знания.

План:

1. Организационный момент (приветствие учеников, сообщение темы и цели урока).
2. Актуализация (примеры применения системы координат и графиков в жизни, сообщения учеников).
3. Повторение опорных знаний (функция, значение функции, аргумент, область определения функции, функция прямой пропорциональности, коэффициент к, график прямой пропорциональности).
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление полученных знаний.
6. Постановка домашнего задания.
7. Рефлексия и подведение итогов.

Оборудование:

• Компьютер, экран, проектор, классная доска, линейка, мел;
• Презентация «Линейная функция и ее график», электронная книга MS Excel «Линейная функция».

1) Организационный момент.

Инженер и математик

Станет лишь тогда богат,

Если применить сумеет

Он систему координат. [2]

И. Кушнир,

Л. Финкельштейн

Здравствуйте ребята. Сегодня мы продолжим изучение функций. Цель нашего урока – знакомство с линейной функцией и ее графиком.

Откройте пожалуйста тетради, запишите число и тему урока «Линейная функция и ее график».

2) Актуализация.

Но прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте рассмотрим возможные применения системы координат в жизни на примерах из художественной литературы.

***

Третий сигнал по радио:

«Немцы вокруг меня,

Бейте четыре, десять,

Не жалейте огня!»

Майор побледнел, услышав:

Четыре, десять, - как раз

То место, где его Ленька

Должен был быть сейчас… [2]

                               К. Симонов. Сын артиллериста

В данном отрывке показано применение системы координат на местности. На уроках географии вы наверняка сталкивались с мировой системой координат в ней используются широта и долгота.

Вот еще пример системы координат на местности.

***

Идите по лесу

Против столба тринадцатого

Прямехонько версту.

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны. [2]

                   Н. Некрасов. Кому на Руси жить хорошо

В этом случае в качестве координат используются столбы и версты. Система координат используется не только на местности, еще несколько примеров ее применения вам раскроют одноклассники. Они подготовили небольшие сообщения.

Доклады учащихся.

(1-е сообщение) Кардиограф — это специальный медицинский прибор, измеряющий биоэлектическую активность сердца. Используется для того, чтобы проводить электрокардиографические обследования. Применяется в кабинетах интенсивной терапии, функциональной диагностики, кардиологических отделениях, машинах скорой помощи. Также используется в частной практике. 

Основная задача данного вида оборудования — усиление сердечных сигналов и очищение их от посторонних шумов. Современные устройства обладают целым рядом положительных характеристик, таких как: многофункциональность, высокая степень точности, компактность, надежность, удобство и простота использования. В медицинской практике без такого оборудования не обойтись. [6]

С помощью кардиографа записывается кардиограмма (от кардио... и... грамма), кривая, получаемая на бумаге или фотоплёнке при регистрации сердечной деятельности — кардиографии. Эти записи являются очень важными, т. к. отражают работу сердца.[8]

(2-е сообщение) Термограф (от термо... и... граф), прибор для непрерывной регистрации температуры воздуха, воды и др. Чувствительным элементом термографа может служить биметаллическая пластинка, термометр жидкостной или термометр сопротивления. В метеорологии наиболее распространён термограф, чувствительным элементом которого является изогнутая биметаллическая пластинка, деформирующаяся при изменении температуры. Перемещение её конца передаётся стрелке, которая чертит кривую на разграфленной ленте. 1 мм записи по вертикали соответствует около 1 °С. По времени полного оборота барабана термографы подразделяются на суточные и недельные. Работа термографа контролируется по ртутному термометру.

Этим прибором записывается термограмма (лента термографа с непрерывной записью температуры за сутки, неделю и т. п.). Применяется в метеорологии, медицине и на производствах. [9]

(3-е сообщение) Барограф (из др.-греч. βάρος «тяжесть, вес» и γράφω «пишу») — самопишущий прибор для непрерывной записи значений атмосферного давления. Применяется на метеорологических станциях, а также на самолётах и аэростатах для регистрации высоты (по изменению давления).

При изменении атмосферного крышка перемещается вверх или вниз. Это перемещение передаётся перу, которое чертит кривую на разграфленной ленте. 1 мм записи по вертикали соответствует около 1 мбар (1 мбар=100 н/м2). По времени полного оборота барабана барографы подразделяются на суточные и недельные. Работа барографа контролируется сравнением его с ртутным барометром. 

Барограф с повышенной чувствительностью называется микробарографом, изменение давления в 0,1 мбар соответствует 1-3 мм вертикального перемещения пера. [3]

(4-е сообщение) Сейсмограф (от греч. seismos — колебание, землетрясение и grapho — пишу) — комплект приборов для записи колебаний грунта и сооружений, вызванных землетрясениями, взрывами, вибрацией или другими причинами. Состоит из сейсмометра, принимающего сейсмический сигнал, и устройств, формирующих и записывающих выходной сигнал.

Сейсмографы широко применяются для решения задач сейсмологии и сейсморазведки; в горном деле — для прогноза горных ударов и внезапных выбросов.[4]

3) Повторение опорных знаний.

Итак, мы видим, что графики очень разнообразны и используются в различных областях. А значит существует необходимость их изучения, ведь порой от их правильного составления и прочтения зависят человеческие жизни. Из множества существующих функций и их графиков на прошлых уроках мы познакомились с функцией прямой. Давайте вспомним то, что уже знаем.

• Что называют функцией?

- Функциональной зависимостью или функцией называется такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [1]

Зд. Посмотрите на экран, вашему вниманию представлены несколько рисунков. Ваша задача определить на каких из них даны функции.

• Как называют переменные в функции?

- Независимую переменную называют аргументом, а зависимую – функцией и ее значения называют значениями функции.

Зд. Внимание на экран. Даны функции. Необходимо вспомнить их названия и указать аргумент (независимую переменную) и функцию (зависимую переменную).

1. S=a2 (формула площади квадрата, S – функция, а – аргумент);
2. S=5ϑ (формула пройденного пути, зависимость пройденного пути от скорости; S – функция, ϑ – аргумент);
3. S=а2 (формула площади поверхности куба, S – функция, а – аргумент);
4. V=а3 (формула объема куба, V – функция, а – аргумент);
5. t=S/4 (формула зависимости времени от пройденного пути, t – функция, S – аргумент);
6. S=5b (формула площади прямоугольника, S – функция, b – аргумент).

• Что такое «область определения»?

Область определения формируется из всех значений независимой переменной. [1]

Зд. Назовите область определения предложенных функций. 

1. S=5ϑ (т.к. ϑ – скорость, то областью определения будут все неотрицательные числа);
2. S=3а (а – длина стороны прямоугольника, значит может принимать любые значения больше ноля);
3.  

(Дан график изменения температуры в течение суток, область определения от 0 до 24). 

• Какая функция носит название прямой пропорциональности?

- Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – не равное нулю число. [1]

• Что вы можете рассказать о ее графике?

- График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

- Для его построения необходимо найти координаты всего одной точки, отличной от начала координат.

- Расположение графика в координатных четвертях зависит от числа k. Если k положительное число, то график расположен в первой и третьей четвертях, а если k отрицательное, то – во второй и четвертой. (Можно сопровождать демонстрацией изменения графика в программе MS Excel).

- если IkI увеличивать, то «горка» станет более крутой (график станет приближаться к оси Оу), а если IkI уменьшать – более пологой (график станет приближаться к оси Ох). (Можно сопровождать демонстрацией изменения графика в программе MS Excel).

4) Изучение нового материала.

Молодцы. Переходим к изучению новой функции. Эта функция носит название линейной.

Рассмотрим примеры функций.

• На шоссе расположены пункты А и В удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t + 20км. Если расстояние обозначить буквой s расстояние (в километрах) от мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени можно выразить формулой s  = 50t + 20, где t ≽ 0. [1]

• Тетя Галя на день рождения сына купила торт за 80 р. и воздушные шары по 5 р. за штуку. Обозначим число купленных шаров буквой х, а стоимость всей покупки буквой у. Получим у = 5х + 80, где х > 0.

В этих случаях мы встретили функции, которые задаются формулой            у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа. Такие функции называют линейными.

Запишите пожалуйста в тетради определение:

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа. [1]

Зд. Вам даны функции. Определите, являются ли они линейными и назовите числа к и в.

1. у = 13х + 2 (к =13; в =2)
2. у = -0,2х + 4 (к = -0,2;  в = 4)
3. у = 7 + 6х (к = 6; в = 7)
4. у = 15 – 9х (к = -9 ; в = 15)
5. у = 2х2 + 1 (не линейная ф-я, т.к. х2)
6. у = 8х + 5 -2х (приведем подобные слагаемые и получим у = 6х + 5, к = 6, в = 5)
7.  у = 98х (к = 98, в = 0, т.к. у = 98х + 0)

Обратите внимание на последнюю функцию, что вы заметили?

- это функция прямой пропорциональности.

Замечание: прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции (у = кх + в, где в = 0).

Пришло время узнать, как выглядит график данной функции и почему она называется «линейной». Для этого найдем координаты некоторых точек и построим их в системе координат для функции у = 2х + 3.

Мы видим, что точки выстраиваются в одну линию, проведя прямую через них, мы получим график данной функции. (Построения выполняются на доске учителем и детьми в тетради) [10]

Как мы видим, графиком линейной функции является прямая. Значит для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

Проведем сравнение графиков функций у = 2х, у = 2х+1, у=2х=3 и       у=2х-2. Для этого построим их графики в одной системе координат.

Что вы заметили при построении?

- Графики словно «перемещаются» по оси  Оу на в «шагов» от начала координат.

Замечание: График функции у=кх+в, где к≠0, есть прямая, параллельная прямой у=кх. [1]

Замечание: в точке пересечения с осью Оу, ордината равна числу в.

Выполните следующее задание. Дана система координат с несколькими графиками функций. Запишите в своей тетради значения коэффициента в для каждой функции.

(Выполняют задание)

Сверим ваши результаты с правильными ответами (сверяют). Поднимите руки те, у кого нет ни одной ошибки. Молодцы.

Как было сказано, при в=0 формула имеет вид у=кх, и график – прямая проходящая через начало координат. А при к=0 формула принимает вид у=в. В данном случае графиком будет прямая, параллельная оси Ох при в≠0 или сама ось Ох при в=0. [1]

Пояснение: у=в, т.к. к=0, то функцию можно записать в виде у=0х+в.

Например. У=0х+4.  

Внимание на экран. Пронаблюдаем за графиками изменяя значения коэффициентов к и в. (Работа в excel)

• При изменении к меняется наклон графика. 

Число к называют угловым коэффициентом прямой – графика функции у=кх+в. [1]

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые, то прямые параллельные.

• Если изменять значение в, график будет «скользить» по оси Оу относительно начала координат. Будет меняться точка пересечения с этой осью. (Было сказано ранее)

Зд. На экране даны графики и функции. Вам предстоит сопоставить каждому графику подходящую функцию. В тетради у вас должны появиться пары, в которых первое число – номер графика, второе – номер функции. Затем сверимся.

Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, полупрямая или отрезок. [1]

5) Закрепление полученных знаний.

Выполнение заданий по учебнику. № 314, 316, 317, 319(а, в, д), 322

6) Постановка домашнего задания.

Повторить записи в тетради. По учебнику: пункт 16с. 70 – 74 читать, № 319(закончить), 328.

7) Рефлексия и подведение итогов.

Давайте проверим на сколько внимательны вы на уроке.

1. С какой функцией мы сегодня познакомились?

- Линейная функция.

2. Какая функция называется линейной?

- Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа.

3. Какие коэффициенты есть в данной функции и за что они отвечают?

- Коэффициент к – отвечает за угол наклона, в – отвечает за «смещение» по оси Ох.

Молодцы. Спасибо за урок.