Координатно-векторный метод
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

Векторно-координатный метод.

Решение задач.

Подготовка к ЕГЭ

по математике.

Учитель математики: Васильева Н. В.

2014-2015 уч.г.

1. Расстояние между точками А(, ),В, )

 равно =.

         2.   Уравнение плоскости

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка в декартовой системе

координат.

Плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Общее уравнение (полное) плоскости Ах + By + Сz + D=0

 Где А,В, С и D-постоянные, причем А, В, С и D одновременно не равны 0.

Вектор N(A,B, С) перпендикулярен плоскости  (нормальный вектор или вектор нормали).

Уравнение плоскости в отрезках:                  

  + + = 1          

Где   а=  -D/A; b = -D/B ; с = —D/С  -отрезки, отсекаемые плоскостью                          

на осях Ох, Оу и Oz        

z

х                                 

2.1 Особые случаи положения плоскости относительно системы координат

Уравнение Ах + By + Cz = 0 (свободный член D = 0) представляет плоскость, проходящую через начало координат

Уравнение Ах + By + D = 0 (коэффициент С = 0) представляет плоскость,

параллельную оси OZ.

Уравнение Ах + Cz + D = 0 - плоскость параллельную оси OY.

Уравнение By + Cz + D = 0 - плоскость, параллельную оси ОХ.

Полезно запомнить: если в уравнении нет буквы z, то плоскость параллельна оси OZ и т.п.

Уравнение Ах + D = 0 (В = 0, С = 0) представляет плоскость, параллельную как оси OY, так и оси OZ, т. Е. параллельную координатной плоскости YOZ.

Аналогично уравнение By + D = 0- плоскость, параллельную ZО

 - и  уравнение  Cz +D= 0- плоскость параллельную ХО Y.

 Уравнения х = 0, у = 0, z = 0 представляют соответственно плоскости YOZ, XOY, XOZ.

3. Нахождение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости- это наименьшее из расстояний между этой

точкой и точками плоскости.

Известно ,что  расстояние от точки равно длине перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Пусть А=( Х0, У0 , Z0) точка , расстояние от которой необходимо подсчитать.

Плоскость можно задать уравнением плоскости  в отрезках     + + = 1  

из которого легко получить полное уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0 с вектором нормали N(A, В, С). Для нахождения

расстояния от точки до плоскости используем следующую формулу :     

d=

Пример решения задачи                                               

Задача        

 Дано: единичный куб A...D1  

Найти: расстояние от точки А до плоскости АВ1Д1

                  х                          

         Решение:1. Вводим систему координат, точка А- начало

Z                                          координат, оси координат- прямыеА1D1,А1В1,А1А.

        2. Напишем уравнение плоскости АВ1D1 в отрезках и уравнение плоскости

         + + = 1        + + = 1   х + у+ Z -1=0

Коэффициенты А=1,В=1,С =1,D =-1

3. Найдём координаты точки А(0; 0; 0)

4. По формуле расстояния от точки до плоскости получаем

d= = =

Ответ:

Задача

        Найти расстояние между плоскостью 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и точкой M(0, 3, 6).

Решение: Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки

d =  = = = 3

Ответ:  3.        

4. Нахождение угла между плоскостями , прямой и плоскостью

4.1    Для нахождения угла между плоскостями необходимо провести в каждой  плоскости, пересекающиеся прямые, перпендикулярные линии пересечения плоскостей.

Угол между этими прямыми и равен линейному углу двугранного угла между плоскостями. Этот угол не зависит от точки проведения  прямых.

 Но можно рассматривать угол между векторами нормали к каждой плоскости.

Его значения отличается на 1800 от угла между плоскостями. Применяя формулу Cos (1800 –α ) = - Cosα  и учитывая угол между плоскостями рассматривается как острый , можно найти  |Cos (1800 –α ) |.

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Пусть наши плоскости  α1 и α2 заданы уравнениями:

α1:  А1х+В 1y+С 1z +d=0

α2:  А2х+В 2y+С 2z +d=0

Косинус угла  между плоскостями находится по формуле:

cos α =

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Алгоритм

 применение скалярного произведения для вычисления угла между плоскостями.

1. Нормальный вектор( нормаль)   для первой плоскости.
2. Нормальный вектор( нормаль)   для второй плоскости.
3. Вычисляем cos α по формуле cos α =
4. Найти угол α. Если значение косинуса не табличное , то записать ответ, используя арккосинус

Пример решения задачи                                               

Задача        

 Дано: единичный куб A...D1  

Найти: угол между плоскостью В 1С 1 CD и плоскостью АВ 1D 1

Решение:

                        х                    

        z 

1. Вводим систему координат, точка А 1- начало координат, оси координат- прямые А1D1 ,А1В1,А1А.

2. Напишем уравнение плоскости АВ1D1 в отрезках и уравнение плоскости

В 1С 1 CD в отрезках: + + = 1       

 + + = 1  - уравнение плоскости АВ 1D 1, плоскость В 1С 1 CD // XOZ , то

= 1 - уравнение  плоскости  В 1С 1 CD

3.Уравнение плоскости АВ 1D и плоскости В 1С 1 CD  x+y+z=1 и  х=1,а координата вектора нормали (1;1;1) и ( 0;1;1)

4.Найдём косинус угла между векторами нормали: cos α ===

4.2Для нахождения угла между прямой и плоскостью с применением известных формул мы находим угол между этой прямой и вектором нормали. В результате по формуле приведения получаем cos(90-α)= sin α.

Пример решения задачи                                               

Задача        

 Дано: единичный куб A...D1  

Найти: угол между прямой СС1 и плоскостью А В1D1 

Решение:

                                       x

        z

1.  Вводим систему координат, точка А1- начало координат, оси координат- прямыеА1D1, А1В1, А1А.

2. Напишем уравнение плоскости АВ1D1 в отрезках :

         + + = 1        + + = 1  

3.Уравнение  плоскости  х + у+ Z -1=0

 А=1,В=1,С =1 – координаты вектора нормали  (n)

4. Найдём координаты вектора СС1 , С(1;1;1) , С1 (1;1;0)     СС1 ( 0; 0; -1)

5.Найдём косинус угла между векторами n и СС1  угол β

        cos β = = ==        

      cos β= sinα = ; α = arcsin

2.1.2 Пример решения задачи

Задача

X

Дано: единичный куб A...D1

Найти: угол между A 1D1 и АС.

Решение:

1. Вводим систему координат, точка А1 - начало координат,  

               оси координат - прямые A 1D 1, A 1B 1 , А 1А.

2. Найдем  координаты векторов А1 D 1  и АС.  

A1 (0; 0; 0)    A(0;0;1)  D1  (1;0;0 )  С(1;1;1)    А1 D1   АС

3. Найдем косинус угла между A 1 D 1 и АС

        Сos α  =                             

  Сos α  =  =     α=450

2.2 Нахождение угла между плоскостями, прямой и плоскостью.

     2.2.1 Пример решения задачи        

Задача

Дано: единичный куб А…Д1                                                

Найти: угол между прямой СС1

 и плоскостью АВ1D1

          х

 У                                                                

z

Решение:

1. Вводим систему координат, точка А1 начало координат, оси координат-

прямые A 1D 1, A1 В1, A1 А.

    2.Напишем уравнение плоскости AB 1D 1 в отрезках:

    + + = 1                             + + = 1  

3.Уравнение плоскости

x+y+z-1=0;  А=1; В=1; С=1- координаты вектора нормали n

4.Найдём координаты вектора CC1

      С(1; 1; 1;)   С1(1; 1; 0)    С С1(0; 0;-1)

5. Найдём косинус угла между векторами  n  и  СС1, угол β

Сos β =   ===

Cos β = Sin α            

Ответ:  α = arcsin