Презентация по геометрии "Расположение прямых и плоскостей в пространстве"
презентация к уроку по геометрии на тему

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ СОШ №4 г.Покачи ХМАО-Югра Литвинченко Л.В.
Часть 1
ПЛАНИМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo  – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)
«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).
ГЕОМЕТРИИ
точка,прямая,плоскость,расстояние
А
Т
М
m
 = (РКС)
|PK|
A , KC   , P   , |PK| = 2 см
Р
К
С

Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?Какие прямые в планиметрии называются параллельными?
Аксиома параллельных прямых - ?
Через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллельная данной и притом только одна
Следствия аксиомы параллельных прямых - ?
Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
А-1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна
Р
К
С

 = (РКС)
А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

С
М
m
М, C  
m  
М, C  m,
Если
то
А-3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.


М
m
М  , М  , М  m
m  , m  
   = m
Т-1
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

m
м
А
В
Дано: Мm
Так как Мm, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..Таким образом, плоскость  проходит через прямую m и точку M и является искомой.Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости  и  проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость  единственна. Теорема доказана
Доказательство
Пусть точки A, B  m.
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

m
м
А
В
к
Т-2
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

N
м
m
n
Дано: m  n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.
Рассмотрим плоскость  =(n, N). Так как M  и N, то по А-2 m  . Значит обе прямые m, n лежат в плоскости  и следовательно , является искомойДокажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости  и проходящая через прямые m и n, плоскость .Так как плоскость  проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости  доказана.Теорема доказана
По трем точкам, не лежащим на одной прямойПо прямой и точке, не лежащей на этой прямойПо двум пересекающимся прямымПо двум параллельным прямым
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
А
B
C
D
А1
B1
C1
D1
AB и CDB1C и C1CAD1 и A1DBC и AA1B1C и A1D
II
?
∩
?
∩
?
?
?
Какие прямые в пространстве называются параллельными?
А
B
C
D
А1
B1
C1
D1
B1C и A1D
Параллельными называются прямые,лежащие в однойплоскости и неимеющие точекпересечения.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
К
a
b
Отрезки в пространстве называются параллельными, если …Лучи в пространстве называются параллельными, если …
Параллельные отрезки,параллельные лучив пространстве.
Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость?
a
b
Дано: Доказать: b и имеют общую точку, причем она единственная
a
b
a
b
с
Р
М
Дано: Доказать: b и имеют общую точку, причем она единственная
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
a
b
с
Дано:
Доказать:
и
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
a
b
с
Р
Доказать:Прямые а и b лежат в одной плоскости.2) Не пересекаются.
Дано: М – середина BD
A
B
D
C
N
M
Р
Q
N – середина CD
Q – середина АС
P – середина АВ
АD = 12 см; ВС = 14 см
Найти: PMNQP .
Ответ: 26 см.

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ СОШ №4 г.Покачи ХМАО-Югра Литвинченко Л.В.
Часть 2_1
α
а
α
а
А
α
а
α
1. Проведем плоскость α.
2. В данной плоскости проведем прямую а1.
а1
3. Возьмем вне плоскости т.А
А
4. Через точку А и прямую а1 проведем плоскость β
β
5. В плоскости β через точку А проведем прямую а парал- лельную прямой а1.
а
а – искомая прямая.
α
а1
А
β
а
Доказательство:
1) Пусть а ∩ α = B.
В
2) β ∩ α = а1 В € β В € α
В € а1, т.е. а ∩ а1=В, чтопротиворечитпостроению( а || а1 )
а и α не пересекаются.
ч.т.д.
Прямая и плоскость называются параллельными, если онине пересекаются.
α
а
а || α или α || а
α
а
α
а
А
α
а
а || α
а1
а
α
а || а1
а || α
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в даннойплоскости, параллельна какой-нибудьпрямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
DC || (AA1B1)
DC || (A1B1C1)
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
DD1 || (AA1B1)
DD1 || (B1C1C)
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
α
β
а
b
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.
а
b
с
С1
В1
С
В
А
α
Доказать, что точки А, В1, С1 лежат на одной прямой.
Дано: С € АВ; А € α;ВВ1 || СС1 ВВ1 ∩ α = В1; В1 € α; СС1 ∩ α = С1; С1 € α; АС : СВ = 3 : 2; ВВ1 = 20 см.Найти: СС1
2. Найти СС1 используя подобие треугольников.
12 см.
3
2
№ 26
Дано: АС || α, АВ ∩ α = М; СВ ∩ α = N.Доказать: ∆АВС подобен ∆МNВ.
α
А
С
В
М
N
Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А1 , В1 и С1. Вычислить длину отрезка СС1, если АА1= 5, ВВ1= 7.
α
А
В
С
А1
В1
С1
Ответ:6
Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке В. Через А и В проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и М1.
α
А
В
М
А1
М1
а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.
б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, АМ = 6.
Ответ:12
Дан треугольник МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК – в точке К1. Найдите М1К1, если МР : М1Р = 12 : 5, МК = 18 см.
α
М
К
Р
М1
К1
Ответ:7,5 см
Дано: АВСD – трапеция, ВС = 12 см, М (АВС), ВК = КМ.
???
А
В
С
D
М
К
Доказать: (АDК) ∩ МС = ННайти: КН.
Н
Ответ:6 см

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ СОШ №4 г.Покачи ХМАО-Югра Литвинченко Л.В.
Часть 2_2
Угол между прямыми.
а
а – граница полуплоскостей.
А
В
С
Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а.
Точки А и С лежат по разные стороны от прямой а.
?
О
А
О1
А1
Лучи ОА и О1А1 не лежат на однойпрямой, параллельны, лежат в однойполуплоскости с границей ОО1 →сонаправленные
А2
О2
?
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
О1
О
А1
В1
В
А
Дано: угол О и угол О1 с сонаправленными сторонами.
Доказать:
О1
О
А1
В1
В
А
Доказательство:
Отметим точки А, В, А1 и В1, такие чтоОА = О1А1 и ОВ = О1В1.
1. Рассмотрим ОАА1О1:
ОА|| О1А1ОА = О1А1
ОАА1О1–параллелограмм ( по признаку ).
2. Рассмотрим ОВВ1О1:
Значит, АА1|| ОО1 и АА1 = ОО1.
ОВ|| О1В1ОВ = О1В1
ОВВ1О1–параллелограмм ( по признаку ).
Значит, ВВ1|| ОО1 и ВВ1 = ОО1.
О1
О
А1
В1
В
А
Вывод:
АА1|| ОО1 и ВВ1|| ОО1,
АА1|| ВВ1
АА1 = ОО1 и ВВ1 = ОО1,
АА1 = ВВ1
Следовательно, четырехугольник АА1В1В – параллелограмм (по признаку).
АВ = А1В1
3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А1В1О1.
∆АВО = ∆А1В1О1 (по трем сторонам)
Вывод:
α
1800 - α
00 < α 900
1.
2.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1 и С1D1, при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
А
В
D
С
А1
В1
С1
D1
α
М1
Выбрать любую точку М2.Построить А2В2|| АВ и С2D2|| CD.Ответить на вопросы:
1. Почему А2В2|| А1В1 и С2D2|| C1D1?
2. Являются ли углы А1М1D1 и А2М2D2 углами с соответственно параллельными сторонами?
?
Вывод:
1.
Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.
3.
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
Дан куб АВСDА1В1С1D1.Найдите угол между прямыми:
1.
ВС и СС1
2.
900
АС и ВС
450
3.
D1С1 и ВС
900
4.
А1В1 и АС
450
Дано: ОВ || СD, ОА и СD – скрещивающиеся.Найти угол между ОА и СD, если:
О
В
C
D
A
а)
400
б)
450
в)
900
Треугольники АВС и АСD лежатв разных плоскостях. РК – средняялиния ∆АDC с основанием АС.Определить взаимное расположениепрямых РК и АВ, найти угол междуними, если
А
В
С
D
P
К
Ответ: 1) АВ и РК скрещивающиеся,2) 600
Скрещивающиеся прямые.
α
α
a
b
a
b
a ∩ b
a || b
Лежат в одной плоскости!
???
A1
B1
D1
A
B
D
C1
Дан куб АВСDA1B1C1D1
Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ? Почему?
АА1 || DD1, как противоположныестороны квадрата, лежат в однойплоскости и не пересекаются.
АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1по теореме о трех параллельных прямых.
2. Являются ли АА1 и DC параллельными? Они пересекаются?
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
a
b
Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ.
a
b
Доказательство:
Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.
Доказать, что АВСкрещивается с СD
А
В
С
D
α совпадает с β
Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СDпересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD несуществует и следовательно по определению скрещивающихсяпрямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
Определить взаимное расположение прямых АВ1 и DC.
2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА1В1В
3. Является ли прямая АВ1 параллельной плоскости DD1С1С?
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Дано: АВ скрещивается с СD.Построить α: АВ α, СD || α.
А
В
C
D
Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD.
Е
2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость.
Доказать, что α – единственная.
3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.
Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.
Построение:
Через точку К провести прямую а1 || а.
2. Через точку К провести прямую b1 || b.

а
b
К
а1
b1
3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.
А
В
С
D
M
N
P
Р1
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
А
В
С
D
M
N
P
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
г) МР и AС
д) КN и AС
е) МD и BС
α
a
b
М
N
Дано: a || b
MN ∩ a = M
Определитьвзаимное расположениепрямых MN u b.
Скрещивающиеся.
Плоскости имеют одну общую точку
Плоскости пересекаются по прямой
Плоскости параллельны


a
.
A
A   , A  
 ∩  = a, A  a


 װ 
Плоскости не имеют общих точек
Плоскости совпадают


 = 

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ СОШ №4 г.Покачи ХМАО-Югра Литвинченко Л.В.
Часть 3
Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.



а
Дано: ,   Доказать:   
Проведём в плоскости  прямую а, пересекающую плоскость  в некоторой точке В. Тогда по теореме: если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. Значит прямая а пересекает  в некоторой точке А. Следовательно, плоскости  и  имеют общую точку А, т.е. пересекаются.Теорема доказана



В
А
а
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны. Дано :║, ║. Доказать :║.



Пусть ∩  = с.
с



Пусть М с.
М   и М  .   .   
Это противоречит теореме, которая звучит так: через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну. Значит, предположение было неверным, следовательно  || . Теорема доказана.
М
Если две пересекающиеся прямые одной плоскостисоответственно параллельны двум прямым другой плоскости,то эти плоскости параллельны.
М
a
b
α
a1
b1
β
Дано: a   , b   , a ∩ b = M, a װ a1, b װ b1 , a1  β , b1  β.Доказать:  װ 
1)По условию известно, что a   , b   , a ∩ b = M и a ║ a1 , b ║ b1, a1  β , b1  β. Тогда по признаку параллельности прямой и плоскости имеем: a ║ a1 , a1  β => a ║ β ,b ║ b1 , b1  β => b ║ β . 2)Получили: a ∩ b = M , a ║ β , b ║ β по доказанному предыдущему признаку параллельности плоскостей. Теорема доказана.
М
a
b
α
a1
b1
β
  װ 
Тетраэдр
Параллелепипед
Правильный ТетраэдрТетра́эдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
СвойстваПараллелепипед симметричен относительно середины его диагонали, соединяющей противоположные вершины.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Плоскость – граньПрямая – реброТочка – вершина
грань
ребро
вершина
Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и
вся прямая лежит в этой плоскости.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
линии их пересечения параллельны.
1
2
3
1
2
1
1
2
2