Программа дополнительного образования по геометрии 8-9 класс
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 8-9 КЛАССА

НА 2014 / 2015 УЧЕБНЫЙ ГОД

«ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА:

ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

Магнитогорск

                                                                         2014

  Это есть умение решать задачи, причём

  не только стандартные, но и требующие

                                              известной независимости мышления,

                                              здравого смысла, оригинальности,

                                                    изобретательности»

                                                                                                     Д.Пойа

        Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определяет стиль мышления, вырабатываемый математикой.  

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

Умением решать задачи характеризуется   в первую очередь состояние математической подготовки учащихся, глубина усвоения учебного материала. Поэтому вполне оправдано то повышенное внимание, которое уделяется решению задач при обучении геометрии. Подсчитано, что за период обучения в школе учащиеся на уроках и при выполнении домашних заданий решают несколько десятков тысяч задач. При этом часто самым распространённым методом обучения решению задач является показ способов решения определённых видов и значительная практика по овладению ими. И в школьных учебниках, и во многих пособиях для учащихся задачи распределены по группам в соответствии с используемым для их решения математическим аппаратом. Такие задачи учащиеся, как правило, решают неплохо, так как их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Если же учащиеся лишены такого ориентира,  как указание на теорию, необходимую для решения задачи, то испытывают затруднения при решении даже несложных задач.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется, прежде всего, тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

В действующем учебнике геометрии есть специальные разделы с задачами повышенной трудности, для решения которых ученик сам, без подсказки названием главы или параграфа учебника должен определить какой математический аппарат необходимо применить. При прохождении итоговой аттестации по геометрии учащийся получает  набор задач для решения без указания каких-либо теоретических положений, что вызывает затруднения при поиске метода решения.

Решение задач по геометрии по сравнению с методами решения других задач по математике имеет ряд специфических особенностей. Во-первых, их достаточно много и они разнообразны. Во-вторых, методы решения задач по геометрии обладают возможностью взаимной замены. В-третьих, области применения конкретных методов четко не очерчены и потому ореол распространения велик. В-пятых, методы решения задач по геометрии с трудом поддаются формальному описанию. Более того, при решении задач часто применяется комбинация приемов и методов решения математических задачи.  

Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения геометрических задач.

Методы решения геометрических задач обладают некоторыми особенностями, а именно:

• большое разнообразие, трудность формального описания;
• взаимозаменяемость;
• отсутствие чётких границ области применения.

Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач.

Знакомство учащихся с методами решения геометрических задач стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение задач несколькими способами. Особое внимание уделяется аналитическому способу решения задач, доводится до понимания учащихся, что анализ условия задачи, анализ решения задачи – важнейшие этапы её решения. Учащиеся знакомятся со схемой восходящего анализа.

Знание методов решения геометрических задач позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво.

      Кроме того, предлагаемый курс позволяет создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, благодаря пониманию методов, приёмов решения задач. Поэтому, на наш взгляд, и возникла необходимость в разработке  курса «Практическое решение геометрических задач», направленного на формирование у учащихся навыка применения различных методов решения геометрической задачи.

      Конструирование программного содержания на занятиях по курсу может быть проведено по алгоритму:

• обобщение первоначальных знаний;
• систематизация, конкретизация и углубление теоретических знаний;
• проектирование и организация практической деятельности учащихся по применению базисных знаний.

Такая конструкция программного материала, законченность блоков содержания, помогает ученику достигать поставленных перед ним дидактических задач и позволяет осуществлять интеграцию разных видов и форм обучения.

      Важное значение при организации учебно-познавательной деятельности имеет обратная связь: внутренняя при взаимоконтроле, самоконтроле и внешняя.

Технологии, используемые в организации изучения предлагаемого курса по геометрии должны быть личностно-ориентированными, направленными на запланированный конечный результат. Содержание материала, поуровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата дают возможность создать ситуацию выбора для учителя и ученика, помогают ученику сформировать общеучебные умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением.

Цели и задачи курса:

- обобщение, систематизация, расширение и углубление математических знаний, необходимых для применения в практической деятельности, для продолжения обучения на физико-математическом или технологическом профиле;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе;

- формирование представления о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики;

- повышение методических и технических возможностей учащихся в процессе решения геометрических задач различной степени сложности;

- создание условий для формирования и развития практических умений

учащихся решать планиметрические задачи,  используя различные методы и

приемы;

- развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

- формирование математического мышления учащихся;

-  повышение уровня общей математической подготовки.

Курс строится на обучении решению планиметрических задач, тематика которых выходит за рамки школьного курса геометрии, но имеющих, однако,  большое прикладное значение.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению геометрических задач различными методами, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо прививать учащимся навыки не только логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления. При отыскании различных методов решения геометрической задачи у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.

      Решение поставленных задач происходит через достижение предметных целей:

- формирование методов решения геометрических задач и умение реализовывать их принципы  при решении задач;

- обобщение и систематизация теоретических знаний;

- формирование комплексного подхода к решению геометрических задач.

      Основная методическая установка курса – организация самостоятельной работы учащихся при  ведущей и направляющей роли учителя.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к решению планиметрических задач, выявлением их практической значимости. Широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения определяется с учетом углубленной направленности изучения геометрии и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе геометрии, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении повторения.

Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в основной школе.

      Особая установка курса – целенаправленная подготовка учащихся к глубокому усвоению материала в программе углублённого  изучении геометрии 8-9 класса.

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

- представление о роли математики в познании мира, математических

методах исследования;

- знания основных алгоритмов решения планиметрических задач, различных

методов и приёмов решения задач;

- умения:

• работать с различными источниками информации;

• анализировать результаты, делать умозаключения;

• представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссии;

• решать различными методами задачи с параметрами;

• выбирать рациональный способ решения;

Предполагаемый результат: повышение уровня развития коммуникативных качеств личности, значительное увеличение коэффициента мобильности мыслительной деятельности. Программа курса способствует формированию у учащихся системного подхода в решении задач с геометрическим содержанием. Это позволяет им при успешном усвоении программы курса, решать задачи как части «В» Единого Государственного Экзамена,

Преподавание курса строится  в соответствии с принципами Технологии обучения математике на основе решения задач.  

Административной проверки усвоения материала курса « Практические  методы решения геометрических задач» не предполагается. В технологии проведения занятий осуществляется обратная связь при взаимоконтроле и самоконтроле. Возможно проведение обучающих самостоятельных работ и итогового тестирования.

      Содержание и планирование курса: 8 класс - 2 часа в неделю, всего 70 часов; 9 класс - 2 часа в неделю, всего 68 часов

Основное содержание курса

8 класс

Раздел 1.  Методы решения  планиметрических  задач.  44 часа

1. Основные этапы решения геометрической задачи.

    Построение чертежа, выявление характерных особенностей полученной конфигурации, выбор пути и метода решения, техническая реализация, анализ полученного результата.

2. Опорные планиметрические задачи.

3. Основные геометрические приёмы и методы решения задач

   Дополнительные построения. Метод площадей. Метод подобия. Метод

   вспомогательной окружности.

Специфика решения задач по геометрии методом дополнительных построений проявляется уже на этапе построения чертежа. Довольно часто применяются так называемые «скелетные» чертежи. Чаще всего в задачах, в которых фигурируют окружности, сами окружности не чертятся, а лишь фиксируется центр и радиус.

 Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию: проводим либо два перпендикуляра к основе и получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим отрезок параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник.

Одним из красивейших приемов решения задач по геометрии является метод вспомогательной окружности. В решении задач он проявляется словами:

«Отметим, что точки А, В, С лежат на одной окружности» или «Проведем через точки А, В, С окружность».

4. Аналитические методы решения геометрических задач

Метод поэтапного решения. Метод составления уравнений.

Аналитический метод избавляет ученика о необходимости рассматривать различные варианты расположения элементов конфигурации. Обычно используются две разновидности этого метода: метод поэтапного решения и метод составления и решения уравнений. Правда, при этом собственно геометрии остается мало. Метод поэтапного решения математической задачи применим в случае, когда задача достаточно сложная и не всегда можно увидеть решение от начала до конца. Это похоже на решение математических задач по действиям.

Решение задачи составлением и решением уравнений переводит решение задачи по геометрии в аналитическую плоскость. Для получения уравнения какую-либо величину, угол, например, или длину отрезка дважды выражают разными способами через введенную неизвестную величину. Бывают задачи, когда решение уравнений есть только часть решения задачи.

5. Задачи на вычисление элементов геометрических фигур

6. Задачи на доказательство.

    Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет метод сведения: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать - это значит свести новую теорему (задачу) в конечном счете к аксиомам.

7. Задачи на геометрические места точек.

8. Методы решения задач на построение

Метод подобия.  Метод геометрических мест.

Раздел 2. Вычислительная практика.   26 часов

Решение планиметрических задач по текстам  ЦТ  (9 класс), по текстам  ЕГЭ  (11 класс). Задачи по геометрии  с применением тригонометрии. Решение конкурсных и олимпиадных задач по планиметрии.

        Большое внимание на этом этапе уделяется заданиям для самостоятельной работы учащихся, работе с рекомендованной литературой. Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения проводится на групповых защитах.  Самостоятельный подбор задач по темам курса с использованием дополнительной математической литературы позволяет приобщить учащихся к основам исследовательской деятельности. Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация позволяют развить творческую сторону личности учащегося..

Самоанализ когнитивной и креативной деятельности необходим для получения обратной связи как для учителя, так и для самих учащихся..

9 класс

Раздел 1.  Методы решения  планиметрических  задач.  46 часов

1. Опорные планиметрические задачи.

2. Основные геометрические приёмы и методы решения задач:

    Дополнительные построения ( проведение прямой параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке; удвоение медианы треугольника; проведение радиусов в точки касания окружности и прямой или двух окружностей). Метод подобия. Метод площадей. Метод вспомогательной окружности. Геометрические преобразования (использование параллельного переноса, симметрии и поворота).

3. Аналитические методы решения геометрических задач:

     Метод поэтапного решения. Метод составления уравнений.

4. Метод координат. Векторный метод.

Эти методы являются универсальными методами решения задач по геометрии. Но, к сожалению, в школьных учебниках практически нет задач, в которых бы метод координат выглядел предпочтительнее других методов. В этом методе главное - удачно выбрать систему координат. Как правило, в качестве осей выбирают прямые, участвующие в задаче.

5. Задачи на вычисление элементов геометрических фигур

   Метод опорного элемента. Метод введения вспомогательного параметра. Метод восходящего анализа.

6. Задачи на доказательство.

      Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

7. Задачи на геометрические места точек.

Использование свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Окружность как ГМТ.

8. Методы решения задач на построение

Метод геометрических мест. Метод подобия. Использование параллельного переноса, симметрии и поворота. Построение по формулам

Раздел 2. Вычислительная практика   22 часа

Решение планиметрических задач по текстам  ЦТ  (9 класс), по текстам  ЕГЭ  (11 класс). Задачи по геометрии  с применением тригонометрии. Решение конкурсных и олимпиадных задач по планиметрии.

        Задания для самостоятельной работы учащихся. Работа с рекомендованной литературой. Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения. Самостоятельный подбор задач по теме курса с использованием дополнительной математической литературы. Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.

Примерное тематическое планирование

8 класс

9 класс

Учебно-методическое обеспечение курса

1. Семёнов Е.Е.     За страницами учебника геометрии.- М., Просвещение, 1999 г.
2.  Сборник задач для проведения  письменного экзамена  по математике в 11 классе. – Йошкар-Ола, 1992 г.
3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г.

Задачи по геометрии – М., Просвещение, 2003 г.

4. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы (под  

     редакцией М.И.Сканави) – Киев, “Канон”, 1997 г.

5. Макуха А.С.  Письменные контрольные работы по геометрии  

     для 6-8 класса – Киев, 1970 г.

6. Крамор В.С.  Повторяем и систематизируем школьный курс

геометрии – М., Просвещение, 1992 г.

    8.  Цыпкин А.Г., Пинский А.И.    Справочник по методам

       решения задач по математике для средней школы – М., Наука,

       1989 г.

    9.  Мельникова Н.Б., Лудина Г.Б., Лепихова Н.М.

         Геометрия. Дидактические материалы для 7-9 классов. – М.,

         Мнемозина , 1998 г.

10.    Геометрия: Сб.задач для проведения экзамена в 9 и 11 кл.  

         / Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев, А.Р.Рязановский. –  

         М.: Просвещение, 2005

11.    Гусев В.А.   Сборник задач по геометрии. 5-9 кл.: Учеб.  

         пособие для общеобразоват. учреждений – М.: ООО

        « Издательский дом «ОНИКС 21 век » : ООО « Издательство

        « Мир  и Образование », 2005.

12.  Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1998.

13.  Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

14.  Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985.

15.  Пиголкина Т.С. Математическая энциклопедия абитуриента. – М.: изд. Российского открытого университета, 1992.

16.  Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение, 1959.

17.  Звавич Л. И.   Геометрия. 8- 11 кл.: Пособие ля школ и классов с углубленным изучением  математики. – М.: Дрофа, 2000. – 288 с.6 ил.

18. Углубленное изучение математики 8 – 11 классы // Первое сентября.  Математика. –1996. – № 41.- с. 2 – 3

19. Углубленное изучение математики 8 – 11 классы // Первое сентября. Математика. – 1996. – № 44.- с. 2 – 3

20.  Бовт Н.  Повторяем – решая. Треугольники // Первое сентября. Математика. - 995.– №16.

21. Бовт Н.  Повторяем – решая. Четырехугольники // Первое сентября. Математика.-1995. – № 17

22. Бовт Н.  Повторяем – решая. Окружность // Первое сентября. Математика. -  1995. – № 18.    

23. Гусев  В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.

     Практикум по элементарной математике. Планиметрия. – М.: Вербум – М, 2000, - 112 с.

24. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учеб. Пособие / В. К. Егерев и др.; п.ред. М. И. Сканави.- М.: «Столетие», 1997. – 560 с.: ил.

25. Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Геометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: Аст-Пресс: Магистр – S, 1998. – 256 с.

26.  Зубелевич Г. Задачи на вычисление площадей треугольников и четырехугольников // Первое сентября. Математика. -  1995. – № 4, 10, 11, 14.

27. КИМ ЕГЭ «Математика», 2010-2014 гг.