презентации "своя игра"
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме

Слайд 1

Материалы к урокам геометрии в 8 классе по теме: «Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников»

Слайд 2

Содержание: Теоретический материал Признаки подобия треугольников Примеры решения задач Это интересно… Задачи для самостоятельного выполнения

Слайд 3

Теоретический материал: Пропорциональные отрезки Определение подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников

Слайд 4

Признаки подобия треугольников: I признак II признак III признак Подобие прямоугольных треугольников

Слайд 5

Примеры решения задач: Задача 1 Задача 2 Задача 3

Слайд 6

Пропорциональные отрезки. Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. АВ. CD Говорят, что отрезки АВ и CD пропор-циональны отрезкам А 1 В 1 и C 1 D 1 , если АВ = CD. А 1 В 1 C 1 D 1 Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и C 1 D 1 , длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, АВ = CD = 2. А 1 В 1 C 1 D 1 3

Слайд 7

Определение подобных треугольников. Пусть у двух треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 соответствующие углы равны. В этом случае стороны АВ и А 1 В 1 , ВС и В 1 С 1 , СА и С 1 А 1 называются сходственными. Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. АВ ВС СА А 1 В 1 В 1 С 1 С 1 А 1 k Число k , равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия .

Слайд 8

Отношение площадей подобных треугольников. Теорема : Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Дано:  АВС ~  А 1 В 1 С 1 . Коэффициент подобия равен k . Доказать: S = S 1 k ² Доказательство: Пусть площадь  АВС равна S , а площадь  А 1 В 1 С 1 равна S 1 . Так как то (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Так как поэтому Теорема доказана.

Слайд 9

Первый признак подобия треугольников. Теорема : Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого , то такие треугольники подобны. Дано:  АВС,  А 1 В 1 С 1. Доказать :  АВС ~  А 1 В 1 С 1 . Доказательство: по теореме о сумме углов треугольника и, значит, Таким образом, углы  АВС соответственно равны углам  А 1 В 1 С 1. Докажем, что стороны  АВС пропорциональны сходственным сторонам  А 1 В 1 С 1. Т.к. то Из этих равенств следует, что Аналогично, используя равенства получаем Итак, стороны  АВС пропорциональны сходственным сторонам  А 1 В 1 С 1. Теорема доказана.

Слайд 10

Второй признак подобия треугольников. Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Дано:  АВС,  А 1 В 1 С 1, , у которых Доказать:  АВС ~  А 1 В 1 С 1 . Доказательство: Достаточно доказать, что Рассмотрим  АВС 2 , у которого Треугольники АВС 2 и А 1 В 1 С 1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому С другой стороны, по условию Из этих двух равенств получаем АС = АС 2 .  АВС и  АВС 2 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ – общая сторона, АС=АС 2 и ) Отсюда следует, что а так, как Теорема доказана.

Слайд 11

Третий признак подобия треугольников. Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Дано:  АВС,  А 1 В 1 С 1, , у которых Доказать:  АВС ~  А 1 В 1 С 1 . Доказательство: Достаточно доказать, что Рассмотрим  АВС 2 , у которого Треугольники АВС 2 и А 1 В 1 С 1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому Сравнивая эти равенства с равенствами, которые записаны в дано, получаем:  АВС=  АВС 2 по трем сторонам. Отсюда следует, что Теорема доказана. а так как

Слайд 12

Подобие прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны , если их катеты пропорциональны; 2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого; 3) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

Слайд 13

Задача 1. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания. Дано: АВ CD – трапеция. AD=8 см, ВС=5 см, АВ = 3,6 см, CD = 3,9 см. АВ пересекает CD в точке М. Найти: ВМ и СМ. Решение:  AMD ~  ВМС по I признаку подобия треугольников (угол М – общий, угол MAD = углу МВС как односторонние при параллельных прямых ВС и AD и секущей АМ). Значит их сходственные стороны пропорциональны. Пусть ВМ = x , тогда АМ = 3,6 + x . По определению подобных треугольников имеем По свойству пропорций получим: 8 x = 5(3,6 + x). Отсюда получаем, что x = 6 . Значит ВМ = 6 см. Аналогично составим пропорцию для стороны МС: По свойству пропорций получим: 8 x = 5(3,9 + x) . Отсюда получаем, что x = МС = 6,5 см. Ответ: 6 см и 6,5 см.

Слайд 14

Задача 2. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD . Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD . Дано: угол О, АВ II CD . АВ пересекает угол О, CD пересекает угол О. Доказать: Доказательство: Проведем через точку А прямую АС 1 II BD (С 1 – точка пересечения этой прямой с прямой CD ). Тогда  ОАВ ~  АСС 1 по первому признаку подобия треугольников ( и ), следовательно, Так как АС 1 = BD (по определению параллелограмма AC 1 DB ), то Что и требовалось доказать.

Слайд 15

Задача 3. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB ? Дано: угол А. АВ = 5 см, АС = 16 см, AD = 8 см, AF = 10 см. Проверить:  A С D ~  AFB ? Решение: Используем II признак подобия треугольников. Угол А общий, значит нужно проверить пропорциональны ли сходственные стороны треугольников, заключающие этот угол А. По определению подобных треугольников должно выполняться следующее равенство: Подставив данные мы получим верное равенство: Значит по второму признаку подобия треугольников  A С D ~  AFB . Ответ: да.

Слайд 16

Это интересно… История учения о подобии фигур. Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Еще в глубокой древности люди рисовали на скалах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы изображение правильно отражало естественную форму предмета. Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начала» Евклида. Символ, обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повернутая латинская буква S -первая буква в слове similis , что в переводе означает подобие.