Урок по теме "Вычисление объёмов тел вращения и многогранников методом коэффициентов"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Тип урока: изучение нового материала.

Форма урока: комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная,  индивидуальная.

Оборудование, наглядность, электронные приложения к уроку:

• Компьютер. Мультимедийный проектор.
• Флеш-ролик
• Листы с печатной основой для групповой работы.
• Чертёжные инструменты

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Амбарнская средняя общеобразовательная школа

Методическая разработка урока геометрии в 11 классе

«Вычисление объемов тел вращения и  многогранников методом коэффициентов»

Учитель математики и информатики

 Шабаева Мария Валерьевна

высшая квалификационная категория

 Пояснительная записка

к уроку по теме:  «Вычисление объемов тел вращения и  многогранников методом коэффициентов»

           Вашему вниманию представлен урок в 11  классе. Данный метод в учебнике не рассматривается, но является, очень прост в понимании, и быстром запоминании. Урок можно провести после изучения темы «Объемы тел вращения и многогранников».

ЦЕЛИ:

•        Образовательные:

1.        Организовать деятельность учащихся по восприятию темы «Вычисление объемов тел вращения и  многогранников методом коэффициентов» и первичному закреплению:

2.        Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных знаний и умений.

3. Учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических упражнений, закрепить знания в результате решения задач на применение метода коэффициентов;

•        Развивающие:

1.        Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы).

2.        Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них).

3.       Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю .

•        Воспитательные:

  Воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие математической речи, расширение математического кругозора у учащихся, научить учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные решения;

    Достижение этих целей выполняется с помощью ряда задач:

1. Формирование умения сочетать знания и навыки, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности;
2. Вести работу над развитием связанной речи учащихся, умением ставить и разрешать проблемы.

Оборудование урока:

       На уроке использовалась самостоятельная работа, работа в парах, все факты о геометрической фигуре конус  были взяты учителем в  Интернете с официальных сайтов СМИ и переработаны специально для данного урока с учётом темы урока. Мультимедийный проектор, флэш-ролик создан на сайте Prezi.com.

Содержание урока:

        Содержание урока соответствует программе и задачам урока.

Тип и структура урока:

      Данный урок  является уроком  освоения новых знаний и навыков поэтому рационально было  применить элементы исследовательской деятельности .

Реализация принципов обучения:

      На уроке были реализованы принципы:

• Научности обучения.
• Принцип систематичности и последовательности в обучении был осуществлён при постоянной опоре на ранее изученный материал.
• Сознательность, активность и самостоятельность учащихся достигалась в виде стимулирования познавательной активности с помощью эффективных приёмов и средств наглядности (таких как показ слайдов, предоставления сведений.
• На уроке был реализован принцип комфортности.

 Формы и методы обучения:

       Во время урока были применены различные формы  обучения – это  индивидуальная и фронтальная работа, взаимопроверка. Такие формы более рациональны для данного типа урока, так как позволяют ребёнку развивать самостоятельность мышления, критичность мысли, способность отстаивания своей точки зрения, умение сравнивать и делать выводы.

Метод наглядности – флэш ролик представляет собой, картинку с изображением кита, который окунается в огромное водное пространство, а затем выныривает (трехмерная графика), подобно тому, что учащиеся знакомятся, с новым метом решения задач ЕГЭ, отрабатывают навыки по его применению вместе с учителем, и наконец, самостоятельно выполняют задания.

Общие результаты урока:

     Считаю, что задачи, поставленные на урок, реализованы, дети применяли знания в новой ситуации, каждый мог высказать свою точку зрения. Использование наглядности в виде флэш ролика, индивидуальных печатных листов учащихся  позволяет мотивировать учащихся на каждом этапе урока и избегать перегрузки и переутомления учащихся

Тема  « Вычисление объемов тел вращения и  многогранников методом коэффициентов»

Цель урока:

1. Познакомиться с методом коэффициентов при решении задач;
2. Учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических упражнений, закрепить знания в результате решения задач на применение метода коэффициентов;
3. Воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие математической речи, расширение математического кругозора у учащихся, научить учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные решения;

Ход урока

Организационный  момент

Здравствуйте!

 Тема нашего урока« Вычисление объемов тел вращения и  многогранников методом коэффициентов»

Вычислить это значит получить число, ответ

Объем это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом в кубических единицах

Тело вращения это объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости стр.

Многогранник это это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками --- гранями стр.

А с методом коэффициентов мы познакомимся позже. Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

Опрос. Сейчас я вам предлагаю повторить известные вам из курса геометрии некоторые многогранники и тела вращения (Повторить известные многогранники и тела вращения– определения и чертежи – заранее заготовленных карточках.)

Соедините стрелкой название фигуры с соответствующим чертежом. Слайд 1

Какой фигуры здесь не хватает

 Конус

Как вы думаете какая связь между картиной Шишкина "Корабельная роща" и геометрическим телом, которое называется "конус". «konos»  слайд 2

   конус – «сосновая шишка»  ( с греческого)

 Дополнительная информация о конусе. Слайд 3

С конусом люди знакомы с глубокой древности.

В книге Архимеда (287–212 до н.э.) “ О методе”(найденной в 1906 г) , дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 г до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема конуса.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 г до н.э.) – учеником Евклида (III в. до н.э.) , который создал великий труд из 15 книг под названием “начала” . Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. . Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Тем больше ваша безопасность во время грозы

В физике встречается понятие “телесный угол”. Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

В геологии существует понятие “конус выноса” . Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

В биологии есть понятие “конус нарастания” . Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

“Конусами”называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Некоторые улитки конусы – изощренные хищники. Они подстерегая рыб, закапываются в песок и выставляют длинные хоботки, похожие на червей. Хоботки – приманка для рыб. Конусы убивают жертву сильным ядом и переваривают добычу в глотке-воронке, натягивая ее на рыбу как чулок. Живут в тропиках и субтропиках. Укус конусов для человека очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

ЕГЭ задача на вычисление объема конуса (слайд4)

Как решить такую задачу.

В подобных задачах   конус  растягивают или сжимают по разным направлениям. В результате чего объем новой конуса надо найти

Прежде всего  запомним

Конус рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения происходят по одной из трех осей. Ось ОХ, Ось OY, ось ОZ. (Слайд5)

Ось ОХ, Ось OY- это плоскость основания (В основании лежит круг- а это фигура двумерная, поэтому если менять радиус, изменение идет в обе стороны)

ось ОZ -это высота

конус растягивают или сжимают, варианты могут быть разными растягивать или сжимать высоту, растягивать или сжимать основание

Растяжение –это увеличение(пружина)

Сжатие -это уменьшение(пружина)

Теорема:  Vстар – объем фигуры, а,в,с- коэффициенты растяжения по осям ОХ,  OY, ОZ соответственно. Тогда V новый= Vстар*а*в*с, если по какой то оси происходит сжатие, то умножение заменяется делением. (Слайд6)

Вернемся к задачи. Слайд4

Единственное, что надо научиться определять по какой оси и во сколько раз  происходит растяжение или сжатие. Вот этим мы с вами сейчас и займемся.

Как изменится объем конуса, если радиус основания уменьшить вдвое? Уменьшиться  В 4 раза

Как изменится объем конуса, высоту увеличить в 9 раз? Увеличиться в 9 раз

Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а высоту уменьшить в 2 раз? В 4,5 раз

 Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а высоту уменьшить в 9 раз? Не измениться

Вернемся к нашей задачи

Задача:  Конус имеет объем 50 см3. Высоту конуса уменьшили в 5 раз, а радиус основания увеличили в 3 раза. В результате получился новый конус, объем которого надо найти.

50/5*3*3=90см3 на примере конуса мы рассмотрели эту теорему

Как изменится объем конуса, если радиус основания уменьшить вдвое?

Как изменится объем конуса, высоту увеличить в 9 раз?

Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а высоту уменьшить в 2 раз?

 Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а высоту уменьшить в 9 раз?

Параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 имеет объем 35 см3. Ребро АВ увеличили в 2 раза, ребро АС увеличили  в 5 раз, а ребро АА1 уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.

Объем шара 0,75 м3. Какой объем будет занимать шар, если его радиус в 2 раза больше.

Объем цилиндра равен 20 см3. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а образующую уменьшили в 4 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.

 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого?

Кубик весит 10 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, оба кубика изготовлены из одного и того же материала.

В сосуд имеющим форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого.

Дополнительные задачи

Объём данного правильного тетраэдра равен 2 см3. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.

Объем первого цилиндра равен 81 м3. У второго цилиндра высота в 4 раза больше, а радиус основания — в 3 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Во сколько раз увеличиться объем шара, если его диаметр увеличить в 5 раз.

Бетонный шар весит 0,5. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона.