Геометрия . Задачи
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

1.Периметр квадрата равен 60. Найдите площадь квадрата.

задание №F87741

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=61∘ и ∠OAB=8∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение задачи:

Проведем отрезки CO и продолжим отрезок AO до отрезка BC, пересечение обозначим буквой E (как показано на рисунке).
Рассмотрим треугольник ABE. По теореме о сумме углов треугольника запишем: 180°=∠OAB+∠ABC+∠BEA
180°=8°+61°+∠BEA
∠BEA=180°-8°-61°=111°
Смежный этому углу ∠OEC=180°-∠BEA=180°-111°=61° (запомним это)
Угол ABC является вписанным углом, следовательно градусная мера дуги, на которую он опирается, вдвое больше (по теореме о вписанном угле), т.е. градусная мера дуги AC равна 61°*2=122
Угол АОС является центральным и, соответственно, равен градусной мере дуги, на которую опирается. А опирается он на дугу AC, следовательно ∠AOC=122°
Смежный этому углу ∠COE=180°-∠AOC=180°-122°=58
Рассмотрим треугольник OCE.
По теореме о сумме углов треугольника запишем:
180°=∠OEC+∠COE+∠OCE
Вспомнив то, что запомнили ранее... 180°=        °+∠OCE
∠OCE=180°-      °=°
∠OCE и есть искомый угол BCO.
Ответ: ∠BCO=

Задание №FB1C3B

Сторона ромба равна 17, а расстояние от центра ромба до неё равно 6. Найдите площадь ромба.

бОозначим ключевые точки как показано на рисунке.
Проведем продолжение высоты OE к стороне AB и обозначим точку пересечения как F (как показано на рисунке).
Площадь ромба (как и параллелограмма) равна произведению высоты на сторону ромба.
Высота ромба = EF (т.к. EF перпендикулярна CD). Рассмотрим треугольники DOE и BOF.
DO=OB (по второму свойству ромба)
/DOE=/BOF (т.к. они вертикальные)
/EDO=/FBO (т.к. это внутренние накрест-лежащие)
Следовательно, треугольники DOE и BOF равны по второму признаку.
Тогда OE=OF => EF=2*OE=2*1=2
Sромба=EF*CD=2*9=18
Ответ: Sромба=18

4.В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=166∘. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

бозначим точку пересечения диагоналей как О.
По свойству параллелограмма AO=OC=AC/2.
AB=CD (по другому свойству).
А так как AC в 2 раза больше стороны AB (по условию задачи), то OC=AB=CD.
Следовательно треугольник OCD - равнобедренный.
По свойству равнобедренного треугольника /COD=/CDO.
По теореме о сумме углов треугольника: 180°=/COD+/CDO+/ACD=/COD+/CDO+166°
/COD+/CDO=14°, а так как /COD=/CDO (это мы выяснили ранее), то /COD=/CDO=14°/2=7°
/COD и есть острый угол между диагоналями.
Ответ: острый угол между диагоналями параллелограмма (/COD) равен 7°

№5   Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник ACD.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠CAB+∠ADC+∠ACD
180°=80°+∠ADC+∠ACD
∠ADC+∠ACD=100°
Так как AD=AC, то данный треугольник равнобедренный.
Тогда, ∠ADC=∠ACD (по свойству равнобедренного треугольника), получаем, что:
∠ADC=∠ACD=100°/2=50°
∠DCB=∠ACB-∠ACD=59°-50°=9°
Ответ: 9

Задание №F40E43

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=166∘. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ззадание №F87741

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=61∘ и ∠OAB=8∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Задание №FB1C3B

Сторона ромба равна 17, а расстояние от центра ромба до неё равно 6. Найдите площадь ромба.

Задание №0000C2

В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 146∘. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Задание №FE07C7

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 90.

Задание №F84E8E

Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 56∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Задание №FDEC7D

Площадь ромба равна 2, а периметр равен 8. Найдите высоту ромба

Задание №FE0565         В окружности с центром O   AC  и BD  – диаметры. Центральный угол AOD  равен 128∘ . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Задание №FFBC49      Площадь прямоугольного треугольника равна 183√3 . Один из острых углов равен 60∘ . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

В треугольнике ABC   BM – медиана и BH  – высота. Известно, что AC=40  и BC=BM . Найдите AH .