Проект "Объемы тел в жизни"
проект (геометрия, 11 класс) по теме

Проект

на тему:

«Объемы тел из жизни»

Выполняли ученики 11 класса

2014 года

Цель работы:

Научиться вычислять объемы тел в различных ситуациях, которые  встречаются в жизни.

Основополагающий вопрос

Как применяются формулы объемов тел в профессиональной деятельности?

Проблемные вопросы

1)Как взвесить без весов?

2)Сколько песка в "песочнице"?

3)Можно ли при помощи воды найти диаметр шара?

4)Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?

Учебные вопросы

1)Как найти объем? В чем измеряется объем?

2)Как найти объем призмы?

3)Как найти объём цилиндра?

4)Как найти объем пирамиды?

5)Как найти объем конуса?

6)Как вычислить объем шара?

Определение объема

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

       Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.

Дополнительная информация

По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса.некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но древо не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

В физике встречается понятие “телесный угол”.  Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

В биологии есть понятие “конус нарастания” . Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

“Конусами” называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Некоторые улитки конусы – изощренные хищники. Они подстерегая рыб, закапываются в песок и выставляют длинные хоботки, похожие на червей. Хоботки – приманка для рыб. Конусы убивают жертву сильным ядом и переваривают добычу в глотке-воронке, натягивая ее на рыбу как чулок.

Живут в тропиках и субтропиках. Укус конусов для человека очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

В геологии существует понятие “конус выноса” . Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

История изучения объемов тел

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

      В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением. Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит и ЕвдоксКнидский.

Архимед

В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением. 

Демокрит

Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.

Евклид

Основываясь на установленной Демокритом версии, Евдокс дал полное доказательство этой теоремы  в IV до н.э.

Свойства объемов тел:

• Объем тела есть неотрицательное число;
• Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих;
• Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице;
• Равные геометрические тела имеют равные объемы.
• Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 <V2.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

V = a3

где V - объем куба,

a - длина грани куба.

Задача

В Берлине создан проект о построении многоэтажного здания в форме куба с ребром 50м. Найдите объем здания.

Решение: Так как нам все дано, мы можем найти объем по формуле:  V = a3

V = (50м)3= 125000м3      Ответ: V = 125000м3

36Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

V = Sосн h

где V - объем призмы,

Sосн - площадь основания призмы,

h - высота призмы.

Задача

Из металлической заготовки в форме шестиугольной правильной призмы было заготовлено 20 ключей шестигранников , в основании ребро равно 5мм, а его высота в прямом состоянии равна 15см. Найдите объем металлической заготовки.

Решение:   V = Sосн h

1. Найдем площадь основания шестигранника по формуле: 3а2√3 /2.

S = 3 *(5мм)2  * √3 / 2 = 37,5√3мм2

2. Найдем объем шестигранника: 15см = 150мм

V = 37,5√3мм2 * 150мм = 5625√3мм3

Ответ: V = 5625√3мм3

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

V = a · b · h

где V - объем прямоугольного параллелепипеда,

a - длина,

b - ширина, h – высота

Задача

Кирпич имеет форму прямоугольного  параллелепипеда c измерениями 23см, 13см, 7,5см. Найдите объем кирпича.

Решение: Так как нам даны все три ребра,  то мы можем с легкостью найти объем кирпича, по формуле: V = a · b · h.

V= 23см * 13см * 7,5см= 2242,5см3

Ответ: V= 2242,5см3

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

V =  1/3Sосн · h

где V - объем пирамиды,

Sосн - площадь основания пирамиды,

h - длина высоты пирамиды.

Задача

Найдите объем  пирамиды Хеопса, если в основании лежит квадрат, и его сторона равна 230м, а высота пирамиды равна 146,6м.

Решение:  V =  1/3Sосн · h

1. Найдем площадь основания по формуле: S=a2

S= 230м2 = 52900м2

2. Найдем объем:

V= 52900м2 * 146,6м /3= 2585046,7м3

Ответ:V= 2585046,7м3

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра

V =(a3√2)/12

где V - объем правильного тетраэдра,

a - длина ребра правильного тетраэдра.

Задача

Американцы создают  проект на строительство плавающего города в форме правильного тетраэдра, с размерами: стороной в 200м и высотой в 150м. Найдите объем  этого города.

Решение: Так как все размеры нам даны, то мы можем с легкостью найти объем этого города, по формуле: V =(a3√2)/12

V= (200м)3* √2 /12= 933333,33м3

Ответ:V= 933333,33м3

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

V = π R2 h

V = Sосн h

где V - объем цилиндра,

Sосн - площадь основания цилиндра,

R - радиус цилиндра,

h - высота цилиндра,

π = 3.141592.

Задача

Сколько тонн нефти может перевезти поезд, имеющий в своём составе 15 цистерн, если диаметр котла каждой 3м, а длина 10,8 м, а плотность нефти составляет 850 кг/м3?

Решение: V = π R2 h

1. Найдем площадь основания котла по формуле: S= π R2

S= (1,5м)23,14= 7,065м2

2. Найдем объем котла по формуле: V = π R2 h

V= 7,065м2 * 10,8м= 76,302м3

3. Теперь найдем массу нефти,  вмещаемую в котел по формуле: m = pv

m = 850 кг/м3 * 76,302м3 = 64856,7кг, теперь переведем в тонны m = 64,8567т

Теперь умножаем на количество цистерн: 64,8567т * 15 = 972,8505т

Ответ: V = 972,8505т

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

V = 1/3(π R2 h)

V = 1/3 Sосн h

где V - объем конуса,

Sосн - площадь основания конуса,

R - радиус основания конуса,

h - высота конуса, π = 3.141592.

Задача

На карнавал Вова сделал себе шляпку в форме конуса. Радиус этой шляпы получился 10 см, а угол между радиусом и образующей равен 30о. Найдите объем шляпки.

Решение: V =  1/3Sосн · h

1. Найдем площадь основания шляпки по формуле: S= ПR2

S= (10см)2 * 3,14 = 314см2

2. Найдем высоту шляпки через tg30o. h= tg30o*10см= 10/ √3см
3. Найдем объем шляпки: V = 314cм2 * 10/ √3см = 3140√3см3

Ответ: V= 3140√3см3

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара

V = 4/3(π R3)

где V - объем шара,

R - радиус шара,

π = 3.141592.

Задача

Мише купили футбольный мяч в спущенном состоянии. Найдите объем этого мяча, если сказано, что в накаченном состоянии этот мяч имеет диаметр 25см.

Решение: V = 4/3(π R3)

Нам все дано для решения задачи, поэтому подставляем данные:

V =   4 * 3,14 * 12,5см3 /3 = 8177,0833см3

Ответ: V = 8177,0833cм3

ЗАДАЧНИК

Применения объемов к задачам из жизни:

№1. Кирпич имеет форму прямоугольного  параллелепипеда c измерениями 23см, 13 см, 7,5см. Найдите объем кирпича.

№2. Крыша дома имеет форму трехугольной призмы длиной 10 м, фронтон имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной равной 5 м и основанием 9 м. Найдите объем крыши.

№3.В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

№4.В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах

№5. Сколько тюков сена вместится в сеновал, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда и размеры   7 х 5 х 3 м? Тюк сена имеет размеры 36 х 50 х 90 см.

№6. Сколько тонн нефти может перевезти поезд, имеющий в своём составе 15 цистерн, если диаметр котла каждой 3м, а длина 10,8 м, а плотность нефти составляет 850 кг/м3?

№7. Пожарное ведро имеет коническую форму и предназначено для транспортировки воды и песка при локализации и ликвидации небольших загораний. Каков радиус ведра, если его объём составляет 0,01 м3 (10 л), а глубина 350 мм?

 №8. Из стального шестигранного прута длиной 3 метра можно изготовить 50 заготовок для болтов. Высота болта составляет 65 мм, высота головки болта – 10 мм, длина стороны 6 мм, а диаметр цилиндра – 8 мм. Сколько килограмм отходов стали получается при изготовлении таких заготовок? Плотность стали 8 г/см3.  

№9. Сколько тюков сена вместится в сеновал, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда и размеры 8 х 5 х 4 м? Тюк сена имеет форму цилиндра диаметром в 1 м и высотой в 1 м.

№10. Найдите объем внутренней шляпы, указанной на рисунке, радиус которой равен 10 см, а высота 15 см.

№11. Найдите объем ангара в форме полуцилиндра  ( часть цилиндра, сечение которого содержит высоту цилиндра равной 20 м), если длина фронтона (полуокружности) равна 36.

№12. Дан Самосвал, кузова которого представляет собой параллелепипед высотой в 2 м и длиной в 4 м, а шириной в 2,5 м. Сколько тонн  щебня войдет в кузов, если известно, что в 1 м3  входит  500 кг щебня  

№13. Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы которого соответственно равны 15 см и 10 см, высота ведра равна 30 см. Сколько литров воды вмещает в себя это ведро.

№14. На карнавал Вова сделал себе шляпку в форме конуса. Радиус этой шляпы получился 10 см, а угол между радиусом и образующей равен 30о. Найдите объем шляпки.

№15. Вова, играя в песочнице, строил фигуры из песка, у него есть форма для изготовления фигуры в форме усеченной пирамиды, в основаниях  которой лежит правильный шестиугольник, сторона нижнего основания 6 см, сторона верхнего 3 см и с высотой равной 2 радиусам лежащего рядом футбольного мяча  объемом в  707,5 см3. Найдите объем построенной фигуры, и массу, зная, что плотность песка равна 1500 кг/м3 .

№16.  Башня имеет форму правильного восьмигранного  заточенного карандаша, но в верхней части имеет форму конуса. Сторона восьмигранника равна 3м. В верхнем основании радиус конуса равен  2,5 м. Известно, что высота башни равна 20 м, а верхняя часть составляет   0,25 от всей башни. Найдите объем башни.

№17. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м.  Найдите массу земли, выбрасываемую бомбой,  если плотность  земли 1650 кг /м3.

№18. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

№19. Рассчитайте, сколько примерно понадобится оленьих шкур, площадью 3,8 кв. м., для покрытия чума, если диаметр основания равен 16 м., а основной шест – √20 м. Найдите объем чума.

№20. Пятачок приготовил подарок Винни‐Пуху на рождество. Полную банку душистого меда. Банка имеет цилиндрическую форму. Через некоторое время Пятачок решил перелить мед в другую цилиндрическую банку, диаметр которой в два раза больше, а высота в пять раз меньше. На сколько % меньше меда получит Винни‐Пух в этом случае?

№21. Дети слепили снеговика, традиционно состоящего из трех снежных шаров, причем на самую нижнюю часть радиусом 46см ушло 128 кг снега, диаметр каждого последующего шара в одно и то же число раз меньше предыдущего, на голову снеговика ушло всего 2 кг снега. Какой высоты получился снеговик? Найдите объем этого снеговика

№22. Найдите объем  пирамиды Хеопса, если в основании лежит квадрат, и его сторона равна 230м, а высота пирамиды равна 146,6м.

№23. В Берлине создан проект о построении многоэтажного здания в форме куба с ребром 50м. Найдите объем здания.

№24. Из металлической заготовки в форме шестиугольной правильной призмы было заготовлено 20 ключей шестигранников , в основании ребро равно 5мм, а его высота в прямом состоянии равна 15см. Найдите объем металлической заготовки.

№25. Американцы создают  проект на строительство плавающего города в форме правильного тетраэдра, с размерами: стороной в 200м и высотой в 150м. Найдите объем  этого города.

№26. Мише купили футбольный мяч в спущенном состоянии. Найдите объем этого мяча, если сказано, что в накаченном состоянии этот мяч имеет диаметр 25см.

 Задачник составили:

Кузнецов Алексей

Ушаков Сергей

Червинский Александр