Методическая разработка урока "Сумма углов треугольника"
методическая разработка по геометрии (7 класс) по теме

Тема урока  «Сумма углов треугольника»

Н.А. Логинова – учитель математики ГБОУ СОШ №2

п.г.т. Усть-Кинельский г.о. Кинель Самарской области

Организационная информация

Предмет: геометрия

Класс: 7

Цели урока:

образовательная: повторить открытие Евклида о сумме углов треугольника, организовать усвоение учащимися различных способов доказательства этой теоремы; сформировать умение применять полученные знания для решения типовых и творческих задач;
развивающая: развивать наблюдательность, геометрическую интуицию и глазомер, пространственное воображение, творческие способности и исследовательские навыки учащихся;
воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение работать в соответствии с намеченным планом.

Тип урока: урок изучение нового материала.

Оборудование: интерактивная доска, модели треугольников.

План урока

1. Организационный момент.
              Приветствие.
2. Теоретическая разминка.
3. Проверка творческой части домашнего задания.
4. «Открытие нового знания» (Изучение нового материала) .
   1. Выдвижение гипотезы.
   2. Совместная постановка цели.
   3. Решение подготовительной задачи.
   4. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника:
   - доказательство Прокла;
   - доказательство Евклида;
   5. Сравнение доказательств Прокла и Евклида.
   6. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника в школах Японии.
5. Минутка отдыха.
6. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач (закрепление изученного материала).
   1. Решение задач по готовым чертежам.
   2. Решение задач по учебнику №224.
   3. Решение практической задачи
7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент. (слайд №1)
   Учитель приветствует ребят и высказывает надежду, что совместная работа на уроке будет проникнута духом высказывания А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии как в поэзии», и предлагает перейти к теоретической разминке.
2. Теоретическая разминка. (слайд №2,3)
   1. Какой из треугольников  №1-№7 остроугольный, прямоугольный, тупоугольный? Почему вы так считаете?
   2. Сформулируйте для каждого из приведенных на слайде предложений обратное утверждение и установите, будет ли оно верным или нет.
   * Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
   * Если три стороны одного треугольника соответственно равным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   * Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
   Учитель: Сформулируйте ещё две теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, и к ним обратные утверждения. Верны ли они?
3. Проверка творческой части домашнего задания.
   Учитель проводит беседу:
   - Дома 3 творческие группы проводили исследование. В чем заключалось исследование,  и какой результат вы получили? Кто хочет рассказать?
   По желанию выступают участники групп:
   I группа. (демонстрируя разноцветные модели) Мы измеряли углы остроугольных треугольников: разностороннего, равностороннего и равнобедренного. Сумма углов получилась…
   II группа. Демонстрируя разноцветные модели прямоугольных разностороннего и равнобедренного треугольников, рассказывают об аналогичном исследовании и полученных результатах. Сумма углов получилась…
   III группа. Демонстрируя разноцветные модели равнобедренного и разностороннего тупоугольных треугольников, также делает свой вывод о сумме углов треугольников.
   Учитель предлагает проанализировать результаты исследования, обобщить и сделать вывод.
   Ученики делают вывод, что сумма углов независимо от вида треугольника у большинства равна 180 градусам, и только у некоторых больше или меньше 180 градусов.
4. Открытие нового знания. (Изучение нового материала).
   Учитель продолжает беседу:
   1. – Какую гипотезу мы можем выдвинуть по результатам исследования?
   Ученики: Сумма углов треугольника равна 180°.
   Учитель: Да, эта гипотеза имеет право на существование.  В каком случае гипотеза становится открытием, ведь у некоторых получились результаты отличные от 180°?
   -  Если мы докажем ее истинность.
   2. - Какую цель мы перед собой поставим?
   - Наша цель – доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.
   3. - Замечательно, но прежде чем перейти к доказательству этой теоремы решим задачу №1 (слайд №4).
   Учащиеся по готовому чертежу на слайде №4 оформляют решение в тетради. После чего один из учеников комментирует решение задачи, остальные учащиеся проводят коррекцию, используя интерактивную доску.
   Учитель продолжает беседу, предлагая доказать теорему.
   - Итак, какую теорему мы сейчас докажем?
   - Сумма углов треугольника равна 180°.
   - Что нам дано? Какой факт мы будет доказывать?

(учитель записывает на доске, ученики в тетради).
Дано:  ∆ABC
Доказать: A+B+C = 180°
Доказательство:
- Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы доказать теорему? 
- По аналогии с решением задачи №1 через вершину B провести прямую параллельную AC.
- Можем ли мы взять линейку и просто «на глазок» через точку B провести прямую, параллельную AC?
Ученики отвечают.
Вне зависимости от ответа ученика, учитель ставит вопрос: «Почему?», и приводит учеников к мысли, что геометрия наука точная, а человеческий глаз способен видеть иллюзии, в чем все недавно убедились, посетив сектор «Оптические Иллюзии» физико-математического эксперементариума. Поэтому искомую прямую нужно построить по законам геометрии.

1. Разделим отрезок BC пополам: BM = MC.
2. Соединим точку A с точкой M и на продолжении AM отложим отрезок MD = AM. Соединим точку D с точкой B.
3. Рассмотрим ∆AMC и ∆BMD. Что мы можем сказать об этих треугольниках?
BM = MC, т.к. AM – медиана;
AM = MD по построению;
BMD = AMC как вертикальные.
Следовательно, ∆AMC = ∆DMB по двум сторонам и углу между ними. Что из этого следует?
4. В равных треугольниках соответственные элементы равны: MAC = BDM, а они накрест лежащие при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, BD || AC.
Учитель продолжает беседу:
- Итак, мы провели BD || AC. Как вы думаете, какой будет ход доказательства теоремы?
Ученики: «Аналогично решению задачи №1».
- Кто желает доказать?(один ученик выходит к доске, остальные доказывают теорему в тетрадях, учитель по мере необходимости задает вопросы,
привлекает учеников класса к доказательству, слайд №5)
1. Обозначим углы 1,2,3,4,5.
2. 1 = 4 как накрест лежащие при BD || AC  и секущей AB
3. 3 = 5 как накрест лежащие при BD || AC  и секущей ВС
4.  4+2+5=180° образуют развёрнутый угол
5. 1+2+3 = 180° т.е  А +  В + С = 180° ,что и требовалось  доказать.
- Молодцы!Это доказательство еще в V веке привёл математик Прокл в комментариях к «Началам» Евклида.  Это же доказательство приводится и в наших учебниках. Сам Евклид в первой книге «Начала» доказывает эту теорему по-другому. Посмотрите на чертеж (слайд №6). Используя рисунок, обдумайте доказательство теоремы Евклида. Кто хочет доказать теорему?(Один ученик выходит к доске, остальные доказывают на своих карточках).
Доказательство:


1. СЕ || АВ      
2. 2 =5 (как накрест лежащие при АВ  || СЕ и секущей ВД)      
3. 1=4 (как соответственные при АВ ||  СЕ и секущей ВД)      
4. 3+5+4 = 180°  (образуют развёрнутый угол)        
5. 3 +2+1 = 180° т.е. А+ В+С= 180°, что и требовалось доказать.
- Давайте подумаем, есть ли принципиальная разница в доказательствах Евклида и    Прокла?Какая основная идея лежит в оснве этих доказательств?
- Принципиальной разницы нет, в основе доказательства лежит аксиома о параллельных прямых
- Дома один человек выполнял специальное задание, сейчас он покажет нам, как доказывают теорему о сумме углов треугольника в школах Японии.
Ученик выходит к доске.
- Возьмите модель треугольника, верхний угол сгибаем так, чтобы его вершина коснулась основания треугольника, получаем точку В1. Углы А и С сгибаем таким образом, чтобы точка А и С совпали с точкой В1. Тогда  A,  B и  C образуют развернутый угол, а значит их сумма равна 180°.
Учитель: Кому понравилось это доказательство?

5. А теперь – минутка отдыха (звучит музыка).
6. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач. (Закрепление изученного материала).
   1. Решение задач на закрепление теоремы о сумме углов треугольника по готовым чертежам (устный разбор задач по карточкам с готовыми чертежами на столах учащихся). (слайд 7)
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

2. Решение задач по учебнику: №224 (Ученики решают самостоятельно, а один, по желанию, у доски, взаимопроверка)
(В зависимости от хода урока этот пункт может быть дан на выбор с пунктом №3)
3. Решение практической задачи (слайд № 8-9).
Учитель: Четыре семьи получили вместе участок земли в форме правильного треугольника. На этом участке имеется 4 колодца. Как разделить этот участок на 4 участка одинаковые по форме,  равные по площади, и, чтобы на каждом из них, был колодец?
- Подумайте, как можно переформулировать условие задачи?
- Какие у кого идеи решения?
Дополнительные вопросы учителя:
- Какой дан треугольник (Равносторонний)
- Какими должны быть 4 треугольника? (Равными)
- Как разделить участок, чтобы на каждом было по колодцу? (МN,МР ,PN)
- Где поставить точки М ,N и Р? ( М, N и Р – середины сторон АВ ,ВС и АС – соответственно)
Учитель: Кто хочет решить задачу у доски? (Доказательство подробно разбирается на доске с участием класса)
Дано:  ∆АВС, АВ = ВС = АС, точки М, N и Р – середины сторон АВ, ВС и АС.
Доказать: ∆АМР = ∆МВN = ∆РМN = ∆РNС
Доказательство:
1. ∆ABC – равносторонний по условию.
2. Рассмотрим ∆MAP, т.к. M и P – середины

равных сторон AB и AC по условию, то
, значит

3. AM=AP => ∆MAP – равнобедренный,

  A=60° по условию, тогда  AMP= APM=(180°-60°):2=60°,

значит ∆MAP – равносторонний и AM=AP=MP.
4. Аналогично доказываем, что ∆MBN и ∆NCP -  равносторонние, поэтому BM=BN=MN, CN=CP=NP.
5. Получаем, что MP=MN=NP, т.е. ∆PMN – равносторонний.
6. Итак, все стороны равносторонних треугольников ∆MAP, ∆MBN, ∆NCP равны, следовательно, ∆MAP = ∆MBN = ∆NCP = ∆PMN по трем сторонам, что и требовалось доказать.
Учитель: Молодцы! Подведем итог урока.

7. Итог урока.
   Учитель: Какое великое открытие мы сегодня сделали?
   Ученики отвечают на вопрос учителя.
   Учитель: У кого остались какие-либо сомнения? Спросите.
   В зависимости от запросов учеников, учитель дает пояснения.
   Учитель: Проанализируйте сегодняшний урок. Что вам понравилось? Что бы вы хотели изменить? Учащиеся высказывают свое мнение.

- Оцените свою работу на уроке. Кто почувствовал себя первооткрывателем, ощутил, что стал интеллектуально богаче? У кого все получилось? Кто не смог раскрыть всех своих возможностей на данном уроке? Кто испытывал трудности и почему? Ответьте себе на эти вопросы. Учащиеся проводят рефлексию.

- Какую оценку вы бы поставили себе за работу на уроке? Учащиеся ставят в тетрадях оценку и сравнивают ее с той, которую озвучивает учитель. В случаях расхождения каждый аргументирует  свою позицию.

8. Домашнее задание:
   а) базовая часть – стр. 70 пункт 30, №223(а, в, г) стр. 89, вопрос 1;

б) творческая часть (на карточках)
* Проведите теоретическое исследование и найдите ответ на вопросы:
- могут ли в треугольнике все углы быть острыми, прямыми? Тупыми? Почему?
- если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то каковы два других угла? Почему?
* Проведите поиск других доказательств теоремы (по желанию)
Учитель: Урок окончен, спасибо за работу!

Информационные источники

1. Е.Е. Семенов – Изучаем геометрию. Москва, Просвещение, 1987.
2. В.Д. Чистяков – Старинные задачи по элементарной математике. Минск, Высшая школа, 1978.
3. И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7, теория, задачи. Москва, МИРОС, 1995.
4. Л.С. Атанасян – Геометрия 7. Москва, Просвещение, 2012.