Проектная деятельность в средней школе
проект по геометрии (8 класс) по теме

Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования  (повышения квалификации) работников образования Московской области

( ГОУ Педагогическая академия)

Итоговый практико-значимый проект

«Проектная  деятельность в средней школе»

по курсу инвариантного академического учебного модуля

«Образование и общество. Актуальные проблемы психолого-педагогической науки»

Слушатель:

Шустова Татьяна Викторовна,

Заместитель директора по УВР,

учитель математики

МБОУ гимназии 17  г. Мытищи

Московской области

2011

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение.

          стр.

       Проектная деятельность как новый метод организации

       обучения.. …………………………………………………………………..3 

2. Проектная деятельность. 

       2.1 Цели и задачи проектной деятельности…….……………………..4

       2.2 Принципы организации проектной деятельности……………….5

       2.3 Этапы работы над проектом……………………………………….6

3. Разработка проекта по теме: ”Теорема Пифагора и современность” для учащихся 8 классов.

 3.1 Цели и задачи проекта…………………………………………………..7

 3.2 Этапы работы над проектом………………………………………….8

 3.3 Результаты проектной деятельности. Критерии оценивания …..9   

4. Список литературы…………………………………………………………11

5. Приложение. Проект по теме”Теорема Пифагора и современность”..12

1. ВВЕДЕНИЕ.

         В  ряде методических источников, содержащих материалы о новых формах учебной деятельности в рамках Образовательных стандартов  второго поколения, отмечается, что  наша школа ориентирована на знания, умения и навыки, получаемые традиционным путём в процессе обучения. Эта модель образования в наше время переживает кризис, так как учащиеся относительно успешно выполняют задания, требующие воспроизведения материала и не демонстрируют сформированности отдельных компонентов учебной деятельности (понимание учебной задачи, самоконтроля), не умеют пользоваться имеющимися знаниями в незнакомой или нестандартной ситуации. Поэтому в задачи современного образования входят:

- формирование умения ориентироваться в информационном мире

- формирование целостного представления об окружающем мире

- развитие индивидуальности личности

- формирование креативного мышления.

    В основных документах Правительства РФ, касающихся образования, планируется осуществление компетентностного подхода в образовании, формирование общеучебных умений и навыков (умение самостоятельно добывать знания, обобщать материал, выдвигать гипотезы, строить выводы и умозаключения). Одной из приоритетных целей образования  – формирование проектно- ориентированного мышления, которое позволит применять имеющиеся знания для решения проблем, владение интеллектуальными стратегиями.

     Одним из методов, который, как предполагается, поможет решать поставленные задачи - организация проектной деятельности учащихся. Это направление предполагает создание условий учащимся для самостоятельного получения учебных знаний в ходе работы над проектом.  Ученик, работая над проектом, самостоятельно осуществляет планирование, анализ, синтез,

выдвигает  цели, выбирает средства для их достижения, обрабатывает информацию и представляет полученного результата (продукт).     Проектная деятельность должна способствовать более высокому               (компетентностному) уровню усвоения программного материала. В среднем звене планируется сделать проектную деятельность ведущей.

2. Проектная деятельность.

2.1 Цели и задачи проектной деятельности

 Модернизация образования предполагает погружение  ребёнка  в гибкую динамическую среду, которая развивала бы его индивидуальность, то есть        включение его в деятельность, предполагающую постановку проблемы, планирование этапов и результатов её решения, поиск методов для решения проблем на каждом этапе, создание собственного образа действия.

 Проектная деятельность учащихся и является одним из методов развивающего обучения, направленным на выработку самостоятельных исследовательских умений (постановка проблемы, сбор и обработка информации, проведение экспериментов, анализ полученных результатов). Она способствует развитию творческих способностей,  логического и вариативного мышления, обобщает и интегрирует знания, полученные в ходе учебного процесса,  приобщает к решению конкретных жизненно важных проблем.

Проектная деятельность должна быть направлена на духовное и профессиональное становление личности ребенка через организацию активных способов действий. Ученик, работая над проектом, проходит стадии планирования, поиска информации, анализа, прогнозирования, синтеза и активной деятельности.  Для этого необходима проблема, взятая из реальной жизни, знакомая и значимая для ребенка, для решения которой ему необходимо приложить полученные знания и  новые знания, которые еще предстоит приобрести. Всё это позволит обучающемуся приобрести коммуникативные навыки и умения, умения постановки задач, решения проблем, что повысит  мотивацию к проектной деятельности, разовьёт   инициативность, оригинальность в решении, неординарность подходов, интенсивность умственного труда и исследовательский опыт.

     Целью проектной деятельности является  понимание и умение применять учащимися знания, умения и навыки, приобретенные при изучении различных предметов, в том числе в интегрированном виде.

Задачи проектной деятельности:

- научиться планировать свою деятельность (учащийся должен уметь  определить цель, описать основные этапы для достижения поставленной цели, концентрироваться на достижении цели, на протяжении всей работы);

- сформировать навыки сбора и обработки информации (учащийся должен уметь выбрать нужную информацию и правильно ее использовать);

- научиться применять логические методы познания (анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, аналогия, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация и др.), вырабатывать креативность и критическое мышление;

- научиться составлять письменный отчет (учащийся должен уметь составлять план работы, презентовать полученные результаты, иметь понятие о библиографии);

- формировать позитивное отношение к работе (учащийся должен проявлять инициативу, энтузиазм, стараться выполнить работу в срок в соответствии с установленным планом и графиком работы).

2.2 Принципы организации проектной деятельности:

- проект должен быть посильным для выполнения;

- создавать необходимые условия для успешного выполнения проектов (формировать соответствующую библиотеку, медиатеку и т.д.);

- вести подготовку учащихся к выполнению проектов (наличие времени для выбора темы проекта, помощь учащихся, имеющих опыт проектной деятельности);

- обеспечение руководства проектом со стороны педагогов (обсуждение выбранной темы, плана работы  и ведение дневника, в котором учащийся делает соответствующие записи своих мыслей, идей);

- умение и возможность каждого  учащегося показать свой вклад в выполнение проекта, если он являлся групповым. Каждый участник проекта должен получить индивидуальную оценку.

- обязательная презентация результатов работы по проекту в той или иной форме.

К важным факторам проектной деятельности также относятся:

- повышение мотивации учащихся при решении задач, что должно быть обеспечено интересом,  посильностью проблемы и возможностью самостоятельного выбора;

- развитие творческих способностей (происходит благодаря необходимости   планирования деятельности и  выбора методов для достижения лучшего результата);

- формирование чувства ответственности (стремление самоутвердиться является главным фактором эффективности проектной деятельности;

- создание условий для отношений сотрудничества между учителем и учащимся.

При решении практических задач естественным образом возникают отношения сотрудничества с учителем, так как для обеих сторон задача представляет содержательный интерес и стимулирует стремление к эффективному решению.

2.3 Этапы работы над проектом.

Работа над проектом включает четыре этапа:

-  планирование;

-  аналитический этап;

-  этап обобщения информации;

-  этап представления полученных результатов работы над проектом (презентация).

I. Планирование.

Включает в себя коллективное обсуждение, обмен мнениями и согласование интересов учащихся, выдвижение первичных идей на основе уже имеющихся знаний. На этом этапе генерируются идеи, прогнозируется направление работы.

II. Аналитический этап.

Этот этап самостоятельного проведения исследования, получения и анализа информации, во время которого каждый ученик уточняет и формулирует собственную задачу, исходя из цели проекта, ищет и собирает информацию, анализирует и интерпретирует полученные данные.

III. Этап обобщения информации.

На этом этапе осуществляются структурирование полученной информации и интеграция полученных знаний, умений, навыков. Учащийся систематизирует полученные данные, объединяют в единое целое полученную  информацию, выстраивают общую логическую схему выводов для подведения итогов.  

IV. Представление полученных результатов работы.

На этом этапе учащиеся осмысливают полученные данные и способы достижения результата, обсуждают и готовят итоговое представление результатов работы над проектом. Это могут быть рефераты, доклады, проведение конференций, показ видеофильмов, спектаклей, выпуск стенгазет, школьных журналов, презентация в Интернете.          

Учащиеся представляют не только полученные результаты и выводы, но и описывают приемы, при помощи которых была получена и проанализирована информация, демонстрируют приобретенные знания и умения, рассказывают о проблемах, с которыми пришлось столкнуться в работе над проектом. Любая форма презентации также является учебным процессом, в ходе которого учащиеся приобретают навыки представления итогов своей деятельности.

3.  Разработка проекта по теме: ”Теорема Пифагора” для учащихся 8 классов.

    Я  выбрала  в качестве итогового практико- значимого проекта– руководство для учащихся  8 классов по организации индивидуальной проектной деятельности по теме: ”Теорема Пифагора и современность”.                                      

     Выбор данной темы обусловлен тем, что она доступна для   понимания всех учащихся и имеет практическое применение.

В основе проектов лежит познавательная деятельность учащихся, умение ориентироваться в информационном пространстве, анализировать полученную информацию, самостоятельно выдвигать гипотезы, умения принимать решения (поиск направления и методов решения проблемы); развитие критического мышления, умения исследовательской, творческой деятельности. Обучение в сотрудничестве является частью метода проектов. От успеха каждого ученика зависит успех всего проекта. Это огромный стимул к активной познавательной деятельности, к прочному усвоению знаний и поиску новой информации.

Проект предлагается учащимся 8-ого класса по теме “теорема Пифагора и современность” проект соответствует требованиям к уровню подготовки учащихся основной школы.

3.1 Цели и задачи проекта:

-  О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней присутствуют, в основном, современные доказательства, написанные математическим языком, но в большинстве случаев они мало понятны человеку с небольшим багажом математических знаний, поэтому мы хотели с помощью своей работы:

- доступнее преподать материал учебника, используя такие средства, как различную дополнительную литературу, сайты Интернета, собственные задумки и предложения, электронную презентацию и сайт.

-   Но основная цель нашей работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы;

-    познакомить учащихся с биографией  древнегреческого философа, расширить кругозор;

-  проследить межпредметные связи, а также познакомить учеников с применением теоремы Пифагора и в наши дни;

-   проанализировать полученный результат;

- подготовить презентацию, содержащую полученные результаты и                   продемонстрировать её другим учащимся на уроке.      

   Знания, умения и способы действия, необходимые в процессе работы:

-   владеть навыками поиска и отбора  информации;

-   владеть навыками самоконтроля;

-   иметь навыки написания компьютерных презентаций

Основополагающий вопрос проекта:

В чем состоит уникальность теоремы Пифагора?

Вопросы учебной темы:

Пифагор – кто он?

 История возникновения Теоремы Пифагора.

Какие способы доказательства теоремы Пифагора существуют?

Египетский треугольник.

Межпредметные связи теоремы Пифагора с химией , литературой, астрономией и т.д.

Применение Теоремы Пифагора в наши дни.

3.2. Этапы работы над проектом.

1. Подготовительный этап

    1. Обсудить с учащимися вопросы, связанные с проведением проекта, использованием домашних компьютеров, доступа к Интернету дома и в школе.

    2. Подготовить необходимые книги и электронные  материалы, ссылки.

    3. Продумать продукт проекта.

2. Процесс обучения

     1. Ознакомить учащихся с критериями оценивания.

     2. Организовать выполнение учащимися самостоятельных исследований и заданий учителя по теме проекта.

     3. Обсудить с учащимися организацию формы представления проекта.

     4. Оценить проведенную работу (самооценка учителя, отзывы учащихся).

     5. Выставить отметки по результатам учебной работы.

3. Заключительный этап

1. Организовать презентацию итогов проекта.
2. Продумать план следующих работ на основе проведенного анализа, учесть накопленный опыт.

                              3.3 Результаты проектной деятельности.

- Развитие способностей и творческого мыщления;

- Освоение интегрированного содержания учебного предмета;

- Направленность обучения посредством метода проектов на значимую практическую деятельность;

- Формирование проектно-технологической культуры, широкого переноса полученных знаний на решение нестандартных ситуаций;

- Развитие эрудиции и широкого кругозора;

- Формирование эмоционально-ценностного отношения к объектам познания и деятельности;

- Формирование устойчивой мотивации учебно-познавательной деятельности.

                                       Критерии оценивания.

      Оценивание процесса работы над проектом, полученный результат и его представление может быть осуществлено с помощью следующей таблицы

по трехбалльной шкале.

Ожидаемые результаты обучения.

После завершения проекта учащиеся смогут:

- формулировать теорему Пифагора и обратную ей теорему;

- знать значение теоремы в математике и в других науках;

- знать формулы для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника;

- применять теорему при решении геометрических и практических задач;

- определять вид прямоугольного треугольника аналитическим способом;

- владеть алгоритмом решения геометрических задач с применением  теоремы;

- ученики приобретут умения работать с информацией;

- продолжат процесс формирования компетентностей в сфере самостоятельной познавательной деятельности.

Список литературы.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Геометрия 7-9

Учебник 3-е изд.-М; Просвещение, 2007,- 335с.

2. Бородин А.И. Библиографический словарь в области математики.

     3. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова;

метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.  

      4. А.П.Киселёв ,Геометрия. Часть первая. Планиметрия,   Москва,               Просвещение, 1969                                                                  

      5.  Интернет-источники:
          http://bankreferatov.ru/
          http://th-pif.narod.ru/formul.html

           http://kvant.ru/

     6. М.В.Ткачева Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г.

                                                                                                   ПРИЛОЖЕНИЕ

                     Проект по теме “Теорема Пифагора и современность”.

Справка о Пифагоре

Родители – Мнесарх и Партенида (Пифаида) Самосские

Кем являлись – Мнесарх:

                         а)Камнерез (Диоген Лаэртский)

                         б)Богатый купец из Тира, получивший гражданство за

                           раздачу хлеба во время неурожайного года;

                         Партенида:

                         Происходила из знатного рода Анкея – основателя греческой колонии на Самосе

За что получил имя – Рождение Пифагора якобы предсказала Пифия в Дельфах (Пифагор – «тот, о ком объявила Пифия»). Она объявида Мнесарху,что его сын принесет столько пользы людям, сколько не при носил и не принесет в будущем никто, и обрадованный Мнесарх нарекает свою жену Пифиадой, а будущего сына Пифагором.

Место и дата рождения – Сидон, ок.570г.до н.э

В каких странах побывал – Египет( покинул остров в 18 лет, объехал всех мудрецов в разных частях света), где пробыл 22 года(набрался знаний у жрецов), до пленения вавилонянами в 525г.до н.э. Затем еще 12 лет в плену, где общался с магами. Вернулся на Самос в 56 лет и был признан своими соотечественниками самым мудрым человеком (по Ямвилиху).

История теоремы

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой- на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, а ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." 

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". 

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Карикатуры

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны во все стороны равны", рисовали карикатуры.

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2.

Теорема и ее доказательства

Доказательство №1 (простейшее)

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с2=а2+Ь2.

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

     Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°.     Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b)2 = c2 + 4*½a*b. Поскольку (a+b)2=a2+b2+2*a*b, то равенство (a+b)2=c 2+4*½a*b можно записать так: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.

Из равенства a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b следует, что с2=а2+Ь2.
           Что и требовалось доказать.

Доказательство №3

Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.

Доказательство №4

Площадь прямоугольного треугольника: S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника);
p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.
r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности.
½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);
a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);
a + b=x;
a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2) 
a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2)
a2 + b2 - c2 = 0, значит
a2 + b2 = c2

Доказательство №5

Дано: ΔАВС - прямоугольный треугольник, AJ - высота, опущенная на гипотенузу BCED - квадрат на гипотенузе ABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах.

Доказать: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).

Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но! SΔABC=½SBJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SΔFBS=½SABFH (BF-общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, что SΔABD= SΔFBS, имеем: SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Доказательство №6

Доказательство №7

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами BC и AC, гипотенузой AB. Докажем, что  АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.
Достроим треугольник до квадрата со стороной AC + ВС так, как показано на слайде. Sквадрата = (AC + BC) в квадрате. С другой стороны, этот квадрат составлен из 4-х равных прямоугольных треугольников, S каждого из них = (AC + BC) : 2 и квадрата, со стороной AB, поэтому
    S= 4 * ½ BC * AC + AB в квадрате=2 * BC * AC + AB в квадрате.
Таким образом,
    AC в квадрате + BC в квадрате = 2 * AC * BC + AB в квадрате,
откуда
AB в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.
Теорема доказана.

Обратная теорема

     Пусть в треугольнике АВС АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате. Докажем, что LС прямой. Рассмотрим  прям. треугольник A1 B1 C1 с LC1=90 градусов, у которого А1 С1 = АС и В1 С1 = ВС. По теореме Пифагора, А1 В1 в квадрате = А1 С1 в квадрате + В1 С1 в квадрате, и , значит, А1 В1 в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.

Но АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате по условию теоремы. Следовательно, А1 В1 в квадрате = АВ в квадрате, откуда А1 В1 = АВ. Треугольники АВС и А1 В1 С1 равны по 3-му признаку равенства треугольников, поэтому LС1 = LC ,т.е. АВС является прямоугольным треугольником. Теорема доказана.

Египетский треугольник

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э, греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Тайна египетского треугольника в … молекуле воды!

     В химии формула молекулы воды Н2О также популярна, как в математике 2 * 2 = 4. Молекула состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Каждый из этих атомов в отдельности выглядит графически так, как показано на рис. 1 а. У атома кислорода на внешней орбите всего шесть электронов, а для полного счастья ему не хватает еще двух, чтобы получился полный комплект: восемь электронов. Первым кандидатом на занятие свободных мест является электрон водорода. И все потому, что водород — самый распространенный элемент во Вселенной и самый вездесущий. Так. путем присоединения двух атомов водорода, и образуется выдающееся творение Создателя - молекула воды (рис. 1, б). Но вот что странно: эти два атома водорода не нашли ничего лучшего, как расположиться с одной стороны атома кислорода. Тем самым они создали в этом районе молекулярного пространства избыток положительных зарядов, определяемых протонами — зарядами своих ядер. Для компенсации положительных зарядов кислороду пришлось сосредоточить с противоположной стороны своего атома четыре электрона, создав тем самым отрицательный заряд. Так молекула стала диполем, то есть молекулой с двумя разноименными полюсами. Условно это можно представить так, как показано на рис. 1, в. Дипольная структура молекулы воды во многом определяет необычные свойства жидкости.

Рис. 1. Геометрия молекулы воды
а - атом водорода с одним электроном и атом кислорода с шестью электронами на внешней орбите,
б - два aтома водорода и один атом кислорода образовали молекулу воды. В ней с одном стороны избыток положительных зарядов, а с противоположной избыток отрицательных. Так у молекулы образуются два противоположных по знаку полюса. Из-зa чтого ее называют диполем.
в - общий вид диполя молекулы воды.
г - размеры молекулы воды в ангстремах для парообразного состояния.

     Для нас очень важно, как располагаются относительно друг друга ядра атомов водорода и кислорода. В молекуле воды они образуют равнобедренный треугольник, длина сторон которого и угол между ними изменяются в некоторых пределах при изменении окружающих условии.

Где-то здесь, среди геометрических рисунков молекул воды и льда спрятан знаменитый египетский треугольник. Попробуем разделить пополам угол, образованный равными сторонами треугольника. Получим: 104°27' : 2 = 52°13', 105°03' : 2 = 52°31', 109,5°: 2 = 54°32'. Как известно, угол в египетском треугольнике немного другой: 53°08'. Но он так близок. Не почувствовать, не ощутить его присутствие, — значит, не увидеть бревно в глазу. Здесь, где-то вблизи перехода в ледяной кристалл, когда структура воды приближается к закономерному строению кристаллического тела, находится египетский треугольник. Даже грубые расчеты указывают на это. Если, например, использовать геометрию молекулы воды для низшего колебательного уровня угол соответствует  53°08'. Полученная величина ровно столько, сколько в египетском треугольнике. Значит, многое зависит еще и от точности измерения геометрических параметров молекулы воды. Или от изотопного состава воды. И даже от тех. кто увидел в ней математическую фигуру —прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который точно или почти точно соответствовал неповторимому образу молекулы воды в определенном состоянии.

     А теперь подведем некоторые итоги. Они очень важные. Становится понятным, что знаменитый египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 «взят» из молекулы воды. Сама же геометрия молекулы воды образована двумя египетскими прямоугольными треугольниками, имеющими общий катет с соотношением стороны равным 3 (рис. 2, в). Истинным создателем молекулы воды, а значит и египетского треугольника, является сама природа. Именно поэтому в них и заложена та гармония, которая присуща всему космосу, и которая выражается, в частности, свойствами золотого сечения. Только этим можно объяснить, почему древние египтяне обожествляли числа 3,4, 5, а сам треугольник считали священным и буквально «нянчились» с ним, как с младенцем, стараясь заложить в любую конструкцию, в пирамиды, даже в разметку полей его божественные свойства, его гармонию.

     А он, в свою очередь, указал нам на молекулу воды. Ну, а молекула воды вообще не стала ничего скрывать: она показала нам на главного зачинщика, на космос. Вот и ищи ветра в поле... то есть в космосе. Пока же отметим, что мы имеем некую цепочку, где каждое предыдущее звено даёт информацию о последующем звене: пирамиды скрывают в себе информацию о треугольнике, треугольник —о молекуле воды, молекула -— о космосе... Как тут не вспомнить известные русские сказки про Кощея Бессмертного, содержание которых построено по тому же принципу. В них как бы зашифрован ответ на многие тайны природы. Судите сами. Жизнь и смерть Кощея заключена в игле. Игла спрятана в яйце, яйцо - в утке, утка — в зайце, а заяц — в ларце. Вот и попробуй раздобудь эту иглу, в которой, как в воде, заключена и жизнь и смерть.

И наконец, самый важный итог. Хотим мы того или не хотим, но нам придется признать, что изобретатели египетского треугольника знали молекулярную химию! И ясно одно: мы открываем заново то, что было давно открыто.

В химии формула молекулы воды Н2О также популярна, как в математике 2 * 2 = 4. Молекула состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Каждый из этих атомов в отдельности выглядит графически так, как показано на слайде. У атома кислорода на внешней орбите всего шесть электронов, а для полного счастья ему не хватает еще двух, чтобы получился полный комплект: восемь электронов. Первым кандидатом на занятие свободных мест является электрон водорода, и все потому что он — самый распространенный элемент во Вселенной. Так, путем присоединения двух атомов водорода, и образуется выдающееся творение - молекула воды. Но вот что странно: эти два атома водорода не нашли ничего лучшего, как расположиться с одной стороны атома кислорода. Тем самым они создали в этом районе молекулярного пространства избыток положительных зарядов, определяемых протонами — зарядами своих ядер. Для компенсации положительных зарядов кислороду пришлось сосредоточить с противоположной стороны своего атома четыре электрона, создав тем самым отрицательный заряд. Так молекула приобрела два разноименных полюса. Условно это можно представить так, как показано здесь же. Дипольная структура молекулы воды во многом определяет необычные свойства жидкости.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Применение Теоремы Пифагора

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими   окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.
Ответ: h ≥ (a2+b2)½

Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t' = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t' = s

Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, который мы тоже рассчитали.

Получаем уравнение:

s2 = l2 + d2

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) 

Решение: 
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB 
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.