Теорема о площади треугольника
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

Тема урока  «Теорема о площади треугольника»

Тип урока: урок изучения нового

Цели урока: В совместной деятельности с учащимися открыть новый способ нахождения площади треугольника.

В результате ученик

- знает новый способ вычисления площади треугольника – теорему о площади треугольника,

- знает какие данные нужны для нахождения площади треугольника по теореме о площади треугольника,

-умеет применять теорему о площади треугольника.

Конспект урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

Учитель: Здравствуйте ребята. Все справились с домашним заданием?

Ученики: да

Учитель: Вчера вечером я пошла в магазин и все думала, сколько купить краски для покраски прямоугольного пола. Вы мне не поможете? На 1 квадратный дециметр расходуется 2 грамма. Ширина пола 4м, а длина 5 м

Ученики: нужно найти площадь пола. Длину умножим на ширину. Получаем 20 квадратных метров. Переводим в дециметры. В одном метре 10 дециметров. 20кв м=2000 кв дм. На 1 квадратный дециметр используется 2 грамма краски, значит на 2000 кв дм нужно 2000*2 = 4000 граммов или 4 килограмма.

Учитель: спасибо, ребят, помогли. Одна торговая компания решила сделать рекламный щит вот такой неправильной формы. Как найти его площадь.

Ученики: можно разбить его на треугольники и прямоугольники, найти их площади и сложить их.

Учитель: Пусть задана система координат и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой (у). Скажите пожалуйста,

какие формулы используются для вычисления координат точки А? (чертеж на доске.)

Ученики: x = OA * cosα  ; y = ОА *sin α

Учитель: запишите основное тригонометрическое тождество

Ученики: cos² α + sin² α = 1

Учитель: Давайте вспомним формулы приведения

Ученики: sin ( 90° + α) = cos α ;  

  sin ( 180º – α) = sin α;   cos (180° – α) = - cos α ; cos ( 90º + α) = -sin α

Учитель: Вот обычный лист бумаги, его площадь 630 квадратных сантиметров, определите площадь заштрихованной части. (Заштрихован треугольник, образованный диагональю и смежными сторонами.)

Ученики: 630 делим пополам, получаем 315

Учитель: На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Ученики: 9кв см

Учитель: Дан прямоугольный треугольник гипотенуза 5 единиц, а основание 3 единицы. Найти его площадь.

Ученики: найдем сначала неизвестный катет, он равен 4. площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. 6

Учитель: Дан произвольный треугольник со сторонами 5, 6, и 7 единиц. Определить  площадь треугольника.

Ученики: воспользуемся формулой Герона. S=√p(p-а)(p-b)(p-c), где а,b,с- стороны треугольника,p- полупериметр. Полупериметр 9, тогда площадь равна 6√6

Учитель: Дан равнобедренный треугольник  основание которого 8 единиц, угол при основании равен 60°. Найти площадь треугольника.

Ученики: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Найдем высоту 4√3, тогда площадь 16√3

Учитель: Дан произвольный треугольник  стороны, которого 6 и 5 единиц, угол между ними = 30º.

Ученики: мы не можем решить эту задачу.

Учитель: попробуйте сформулировать цель сегодняшнего занятия

Ученики: получить новую формулу, для расчета площади треугольника.

II. Операционно-познавательная часть

Учитель: совершенно верно, сегодня мы с вами познакомимся с теоремой о площади треугольника. Открывайте тетради. Записываем сегодняшнее число, сегодня 4 декабря, классная работа, тема урока «Теорема о площади треугольника».

Давайте попробуем решить задачу, если стороны треугольника не конкретные числа, а некоторые переменные.

Пусть дан произвольный треугольник АВС, СВ = а, СА = в, ﮮС =ﮮα

Нужно найти площадь треугольника.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы  точка А лежала на положительной полуоси Сх,  а точка В имела положительную  ординату. Чертим рисунок в тетради.

По какой формуле определяется площадь треугольника?              

Ученики: половина произведения основания на высоту.

S   = 1/2* АС * ВН .    

Учитель: правильно. Что является высотой, что основанием?

Ученики: Основание треугольника АС, а высоту ВН нужно провести.

Учитель: Как определить координаты точки В?

Ученики: х = а * cos α     у = a * sin α

Учитель: Высота треугольника чему равна?  

Ученики: Ординате точки В у = а * sinα

Учитель: Теперь подставим в известную нам формулу площади полученные данные. Что получили?

Ученики: S   = 1/2* а * в* sinα

Учитель: правильно. Итак: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Мы только что доказали с вами теорему о площади треугольника. Запишем ее в тетрадь.

Вот вам еще одна формула для нахождения площади треугольника.

В формуле площади треугольника, где по отношению к сторонам а и в треугольника расположен угол?

Ученики: лежит между сторонами а и в

Учитель: вернемся к решению нашей задачи. Можем ее теперь решить?

Ученики: да, воспользуемся теоремой. S=1/2*5*6*1/2=7,5

Учитель: молодцы. Еще раз прочитайте теорему.

А теперь закрепим изученный материал.

Дан остроугольный треугольник со сторонами 4 и 5√2 и углом между ними 45° . Определите площадь.

Ученики: используем теорему о площади треугольника S=1/2/*4*5√2*√2/2=10

Учитель: хорошо. Дан тупоугольный треугольник со сторонами 8 и 2√3 и углом между ними 120º  

Ученики: воспользуемся теоремой о площади треугольника S=1/2*8*2√3*sin1200. по формулам приведения sin ( 180º – 600)= sin 600, sin1200=√3/2. тогда S=1/2*8*2√3*√3/2=12

III. Рефлексивно-оценочная часть

Учитель: молодцы. Какую цель мы перед собой ставили?

Ученики: найти новый способ вычисления площади треугольника.

Учитель: нашли мы его?

Ученики: да, теорема о пощади треугольника.

Учитель: сформулируйте ее

Ученики: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Учитель: откуда появилась эта теорема?

Ученики: из формулы площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Учитель:  что нам нужно знать, что бы воспользоваться этой теоремой?

Ученики: 2 стороны треугольника и угол между ними.

Учитель: молодцы ребята, хорошо работали на уроке. Домашнее задание: пункт 96 учить, № 1020

Самоанализ урока

        Все этапы урока были проведены.

Первый этап урока благодаря большому количеству нетрудных заданий прошел успешно, динамично и без заминок. Учащиеся успешно выполняли поставленные задания. Вместе с ребятами нам удалось поставит цель занятия, хотя немного скомкано.  

Второй этап урока прошел немного потруднее поскольку на вопросы отвечали только те ребята, которые посильнее. Но в итоге с теоремой разобрались все. И мы достигли цели урока, открыли новый способ подсчета площади треугольника. Задачи на этом этапе были не трудные, учащиеся их с радостью решают. Вообще ребятам нравится работать гораздо больше, если они понимают чем занимаются. С последней задачей возникли затруднения. Ребятам понадобилась подсказка как найти синус 120 градусов.

Третий этап, мне всегда дается тяжело. Поскольку разбирались мы с теоремой немного дольше чем хотелось бы, времени на рефлексию осталось мало. На этом этапе мы выяснили, что достигли поставленной цели. За время проведения урока почти все учащиеся выучили формулировку теоремы.

При подготовке к уроку, я старалась выбирать такие задания, с которыми ученики 9а класса справились бы наверняка, поэтому никто на уроке не успел заскучать.

За время урока ребята не успели утомиться.

Наглядных материалов на уроке было немного, только для первых заданий (на которых нужно было вычислить площадь).

На мой взгляд урок «Теорема о площади треугольника» прошел хорошо. Все, что было запланировано было сделано.