Методическая разработка "Итоговое повторение курса планиметрии"
методическая разработка по геометрии на тему

 Методическая разработка

по теме:

Подготовила  :

Учитель математики

Волхонщинского филиала

       МБОУ Пичаевской СОШ

                                                                Макеева В.И  

2012г

Итоговое повторение курса планиметрии.

   Обобщающее повторение часто рассматривают с позиции методики  итогового, заключительного повторения в конце учебного года.

   Заключительное повторение курса планиметрии преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур.

  Систематизацию знаний и умений обучающихся удобно построить в три этапа.

   На первом этапе рассматривается учебный материал, отражающий свойства одной из основных фигур планиметрии – треугольника: повторяются теоремы о свойствах и признаках различных треугольников,  в результате чего систематизируются умения учащихся проводить доказательные рассуждения.

   На втором этапе повторения учебный материал группируется вокруг многоугольников. Особенностью второго этапа является отработка умений учащихся проводить поиск логических закономерностей и обоснований свойств геометрических фигур на более сложных, по сравнению с первым этапом, геометрических конфигураций. Кроме того, здесь неизбежно ещё раз повторяются свойства треугольников.

   На третьем этапе повторяются свойства окружности (круга) и её элементов. Этот этап подводит итог изучения курса планиметрии.

Подробно рассмотрим работу на первом этапе.

Определение треугольника и его элементов.

Понятие о равных треугольниках.

Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника и его свойства.

Средняя линия треугольника. Теорема Фалеса.

Теорема Пифагора. Следствия из теоремы Пифагора. Решение прямоугольных треугольников.

Признаки подобия треугольников.

Решение и построение треугольников. Теорема синусов. Теорема косинусов. Неравенство треугольника. Векторы.

Площадь треугольника.

   Учебный материал этого этапа относится в основном к началу изучения курса планиметрии. Отсюда вытекает необходимость напомнить учащимся некоторые логические рассуждения. Например, схему доказательства от противного, структуру прямого и обратного утверждений, что такое свойство фигур и что такое признак. К тому же треугольник является одной из основных фигур в планиметрии, поэтому многие факты: определения, формулировки теорем, формулы для вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации повторения на первом этапе принять обзорные лекции, в которых следует кратко осветить весь теоретический материал, обращая внимание на логику и поиск доказательств, а так же на самостоятельную работу учащихся с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике.

   Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач: на лекции вместе с учителем либо самостоятельно на специально выделенных уроках.

Примерное планирование повторения (16ч)

Первый этап (7ч): введение в повторение-1ч, лекции – 2;  

 решение практических задач – 2ч; зачёт – 2ч.

Второй этап (3ч): беседы – 2ч; решение задач – 1ч.

Третий этап (2ч): самостоятельные работы – 2ч.

Решение задач – 4ч.

Методические рекомендации

   В зависимости от уровня подготовки класса возможны некоторые варианты проведения занятий. Учитель может после любой из лекций провести два часа решения задач, сократив тем самым число часов на решение задач в конце заключительного повторения, или прочитать все лекции подряд, тогда из указанных к ним задач можно сформулировать домашние задание.

   На лекции целесообразно доказывать только основополагающие или наиболее сложные в логическом построении теоремы. Во всех остальных случаях, как правило, рассматриваются только наиболее важные моменты доказательств.

   При проведении доказательных рассуждений и в процессе поиска решения задачи следует обращать внимание учащихся на выполнение чертежей.

   При самостоятельной работе учащихся необходимо по каждому законспектированному пункту решить одну – две задачи.

Введение  в повторение(1ч)

 На первом уроке повторения целесообразно провести входной контроль по определению как уровня сформированных знаний теоретического материала, так и умений выполнять решение практических задач.

Цель: осуществить проверку полученных знаний; по итогам проверки повторить и систематизировать знания обучающихся по теме   планиметрия( треугольник); применить полученные знания для решения задач связанных с треугольниками;

Работа в парах постоянного состава (15 мин)

1.   Какая фигура называется треугольником, элементы треугольника.

2.   Основные виды треугольников.

3.   Определение равных фигур.

4.  Сформулируйте признаки равенства для:

а) равносторонних треугольников  ;

б) равнобедренных треугольников ;

в) прямоугольных треугольников  

6.   Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

7. Сформулируйте свойство медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

8.Чему равна сумма углов треугольника?

9. Сформулируйте определение и свойство внешнего угла треугольника.

10. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

11. Сформулируйте теорему синусов.

12. Сформулируйте теорему косинусов.

13. Сформулируйте неравенство треугольника.

14. Сформулируйте определение вектора.

 Решите задачи (25мин)

а) Докажите, что если в треугольнике высота делит основание пополам, то треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то треугольник равнобедренный.

в) Докажите, что в равностороннем треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны.

г) Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника перпендикулярны.

д) Один угол равнобедренного треугольника равен разности остальных. Найдите углы треугольника.

е) Докажите, что если два внешних угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

ж) В равностороннем треугольнике АВС <А= 600, ВС= 10, отрезки ВМ и СК –высоты. Найдите отрезок КМ.

Итог урока.(5 мин)

Подводится итог самими обучающимися, выявляются вопросы темы, которые следует подробнее осветить; задачи, на  решения  которых нужно обратить внимание.

  Лекция.(2часа)

План:

1.Вводится определение треугольника, равных треугольников. Определяется равенство треугольников и проводится доказательство трёх признаков равенства треугольников.

   Перед формулировкой признаков равенства треугольников полезно сформулировать все аксиомы и теоремы, используемые в доказательствах признаков равенства. При этом целесообразно зафиксировать их на доске в виде рисунков.

        А                       а                        В

        А1                                а                                     В1

а) определение равенства отрезков;

                                         В

        α

            А                                 С

                                         В1

        α

            А1                                 С1

б) определение равенства углов;

        В                                                                       В1

А                                           С                        А1                                                                         С1

в) определение равенства треугольников;

          А                                     В (В1)

а

г) аксиома откладывания равных отрезков;

                                         В (В1)

        α

            А                                 С

д) аксиома откладывания равных углов;

        В                                                                   В1

А                                          С                         А1                                                     С1

е) аксиома существования треугольника, равного данному.

2.Вводятся определения равнобедренного и равностороннего треугольников и формулируется две теоремы: свойство и признак  равнобедренного треугольника, которые являются примерами прямой и обратной теорем.

     В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

     Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство прямой теоремы опирается на первый признак равенства треугольников, а обратной – на второй признак равенства треугольников или на соотношение между сторонами и углами треугольника. В качестве примеров прямой и обратной теорем можно предложить учащимся следующее задание.

     Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.

     Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению предыдущей задачи.

3. Напомнив учащимся определения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, следует сформулировать свойства медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведённой к основанию. При этом полезно решить задачи типа:

     Докажите, что если в треугольнике высота делит основание пополам,  то треугольник равнобедренный.

     Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то треугольник равнобедренный.

     Докажите, что в равностороннем треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны.

4. Для закрепления материала полезно сформулировать признаки равенства специфических треугольников (равнобедренных, прямоугольных, равносторонних), т.е. посмотреть, как изменяются формулировки признаков равенства треугольников, если по определению они обладают определёнными свойствами. В зависимости от уровня подготовки класса эти признаки могут сформулировать сами учащиеся или с помощью учителя (признаки равенства прямоугольных треугольников учащиеся знают из курса планиметрии):

     Докажите равенство равнобедренных треугольников по:

     а) боковой стороне и углу при вершине;

     б) основанию и углу при основании;

     в) основанию и боковой стороне.

5.Следствием из равенства треугольников является утверждение, что у равных треугольников все соответствующие элементы равны, а именно: соответствующие медианы, биссектрисы, высоты, средние линии, радиусы вписанных и описанных окружностей. Для проверки этого следствия можно предложить задачи типа:

     Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1:

     а) медианы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны;

     б) биссектрисы, проведённые из вершин равных углов, равны.

6.Для индивидуальной работы по карточкам можно предложить более сложные задачи:

     На прямой , пересекающей стороны угла, найдите точку, равноудалённую от сторон этого угла.

     Через данную точку (внутри или вне угла) проведите прямую, которая отсечёт на сторонах угла равные отрезки.

     Проведите прямую, перпендикулярную отрезку АВ, через точку В, при условии, что отрезок нельзя продлить за точку В.

Урок –практикум .Решение практических задач ( 2ч)

Цель: систематизировать и обобщить  умения применять изученные свойства треугольников к решению практических задач в ходе подготовки к ГИА  по геометрии.

Ход урока

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя

2. Актуализация знаний.

а) В равнобедренном треугольнике АВС АВ= ВС, медиана АD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Определите величину угла АСВ.

б) В  треугольнике АВС медиана АM перпендикулярна медиане ВN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN=n.

в) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=3см, ВС= 7 см, длина медианы ВM = 4 см.

г) Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите гипотенузу, высоту, проведенную из вершин прямого угла, и проекции катетов на гипотенузу.

д) Даны две стороны треугольника и его площадь S = bc. Найдите третью сторону.

е)В треугольнике АВС ВС = 0,5 см, АВ =0,6 см, < В = 230 28| . Найдите сторону АС этого треугольника.

 ж) Стороны треугольника  пропорциональны числам 3,4,6. Какими будут стороны подобного ему треугольника с периметром 58,5 см?

з)Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС = 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АH пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

3. Итог урока.

4.  В качестве д/з определяются темы на повторение теоретического материала о многоугольниках и окружности.

УРОК – ЗАЧЕТ

по итоговому повторению темы «Треугольники» (2 часа)

Цель: проверить качество умений и навыков, приобретенных при изучении и повторении темы «Треугольники»

Оборудование: раздаточный материал.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Выступление учителя.

Сегодня мы подводим итоги работы над первым этапом повторения, темы «Треугольники». Сейчас вы получите карточки с заданиями. Проверите себя, насколько вы готовы к сдаче ГИА по данной теме (раздаю карточки). Внимательно прочитайте каждое задание и задайте вопросы, если что – то непонятно. Желаю удачи!

2. Выполнение зачета

ВАРИАНТ 1.

1. Высоты АH и  ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО= 5, ОК=3. Найдите АH, если точкаH принадлежит основанию ВС, а точка К- боковой стороне АС.

2. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что <В +< С = < АКВ, АК = 5, ВК = 16, КС = 2 . (рис. 2).  Найдите сторону АВ.

3. В треугольнике АВС < В =135 0 ,АС =5, АВ =3.

Найдите площадь треугольника.

4. Биссектрисы АМ и ВК треугольника АВС пересекаются в точке О, АО=2, ОМ= 1, АК = 2, СК = 3. Найдите периметр треугольника.

5. Сторона АВ треугольника АВС равна 3. На стороне ВС отмечена точка К так, что < КАС = <В. Найдите площадь треугольника, если КВ = 9 , КС = 4.

ВАРИАНТ 2.

1. Высоты АH и  ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О, АК=  12, СК=8. Найдите АО.
2. Точки В и М лежат по разные стороны от прямой АС, < АВС = < САМ, <ВАС= <АМС, АВ=3, СМ =12. Найдите длину отрезка АС.
3. Из точки К катета АС прямоугольного треугольника АВС ( < С- прямой) проведен перпендикуляр КМ к гипотенузе АВ. Найдите площадь треугольника АКМ, если АВ =10, АК = 5, КС =3.

4. В треугольнике АВС: АВ = 13, ВС=21, АС = 20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной ВС и проведенными из вершины А высотой и медианой.
5. В остроугольном треугольнике АВС <А= 600, АВ=8, ВС = 7. Найдите периметр треугольника.

3.Итог урока. Молодцы, ребята. Вы очень серьезно отнеслись к работе. Спасибо. Результаты сообщу позже. Всего доброго!

Библиографический список

1. Математика в школе №3 2004г

2. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1954.

3. Осип А. А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1960.

4. Изучение геометрии в 7-9 классах. - М.: Просвещение, 2000.

5. Далингер В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения. // Математика в школе. - 1986. - №2.

6. Коротков В. И. Подготовка к проведению уроков повторения. // Математика в школе. - 1980. - №6.

7. Суворова М. В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики. // Математика в школе. - 1999. - №2.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. - М.: Просвещение, 1985.