Лекция по теме "Метод координат"
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

Лекция: «Аналитическая геометрия в пространстве». 10 класс.

Цель лекции: знакомство с координатами в пространстве, применение метода координат при решении задач, подробное и углубленное изучение векторного метода с целью более полного ознакомления учащихся с данными темами и их ролью в математике

1.Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия.

11. Актуализация знаний учащихся.

Повторить из планиметрии:

А) координатная плоскость, название осей, координаты точки;

Б)частные случаи расположения точек (на осях координат);

В) координаты середины отрезка;

Г) длина отрезка;

 Вектор и его координаты на плоскости.

111. Работа по теме урока.

1.1 Три взаимно перпендикулярных оси ОХ, ОУ, ОZ образуют прямоугольную систему координат в пространстве: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

1.2 Координатные плоскости: ХОУ, ХОZ? YOZ. Единичный отрезок – масштаб для всех трёх осей.

1.3 Различают левые и правые тройки расположения осей (большой, указательный и средний пальцы левой и правой рук)

1.4 Любая точка М в пространстве имеет три координаты: М(х;у;z)

Z                                Координатные квадранты, изменение знаков

                                Координат точек в зависимости от квадрантов

        М (х;у;z)

О.                        у

х

1.5 Расположение точки в зависимости от координат: М (1;2;3)

1.5.1 на осях координат

Ось ОХ – М (х;0;0)

Ось ОУ – М (0;у;0)

Ось OZ – М (0;0;z)

1.5.2 на координатных плоскостях:

Плоскость ХОУ – М (х;у;0)

Плоскость XOZ – M (x;0;z)

Плоскость YOZ – M (0;y;z)

1.5.3 Зеркальная симметрия относительно плоскостей и изменение координат:

(ХОУ) : М (х;у;z)                 (x;y;-z)

(XOZ):  M (x;y;z)                 (x;-y;z)

(YOZ): M (x;y;z)                 (-x;y;z)

1.5.4 Центральная симметрия относительно начала отсчёта:

 М(x;y;z)         (-x;-y;-z)

1.5.5 Осевая симметрия:

Ось ОХ:  M(x;y;z)                 (x;-y;-z)

Ось ОУ:  М(x;y;z)                 (-x;y;-z)

Ось OZ: M (x;y;z)                 (-x;-y;z)

2. Векторы на плоскости.

2.1. Определение вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы.

                                                        Коллинеарные векторы

2.1.1 Равные векторы:

2.1.2 Единичный вектор, нулевой вектор, свойство транзитивности для векторов6

Два вектора, сонаправленные  третьему, сонаправлены между собой;

Если первый вектор противоположно направлен второму, а второй противоположен третьему, то первый и третий сонаправлены

2.1.3 Сложение векторов, правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, правило параллелепипеда

.

2.1.4 Разность векторов

2.1.5 Умножение вектора на число

2.1.6 Свойства сложения и умножения

А) коммутативность:

Б) дистрибутивность:

2.2 Скалярное произведение вектором.

 2.2.1   - формула скалярного произведения

2.2.2 Свойства скалярного произведения:

        Коммутативность:

        Ассоциативность: к(а*в)=ка*кв=кв*кА

        Дистрибутивность: а(в+с)= ав+ас

.3 Операции с векторами, заданными координатами

3.1 Радиус – вектор

                                        единичные орты по координатным осям;

3.2 Операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Угол между векторами

Координаты вектора:

Пример. Найти координаты вектора АВ, угол между векторами ОА и ОВ, длину вектора АВ, если А(4;4;7), В (3;0;4)

3.3 Угол между осями координат и вектором

Пример. Найти углы, образованные вектором ОА (2;-2;-1) с осями координат. (48, 131, 109 градусов)

3.4 Координаты середины отрезка.

3.4.1

3.4.2 Деление отрезка в данном отношении.

Пример. Найти координаты точки А, делящей отрезок СД в отношении 2:3, если С(2;4;-1), Д(-3;-1;6).  Ответ: А(0;2;9/5).

3.4.3 Скалярное произведение единичных ортов

3.5 Векторное произведение векторов.

3.5.1 Определение. Векторным произведением векторов а (множимое) и в (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади  параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах;

2)его направление перпендикулярно плоскости параллелограмма;

3)направление вектора с выбирается так, чтобы он с векторами а и в составлял правую тройку.

Обозначение: .

3.5.2 Векторное произведение основных единичных ортов.

*∙i=0,  j*.i=-k, k*.i=j, i*j=k,  j*j=0,  k*j=-I,  i*k=-j,  j*k=I,  k*k=0

3.5.3 Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей6

Например. Найти векторное произведение векторов

3.5.4  Нахождение площади треугольника, заданного координатами вершин.

А(3;4;-1), В (2;0;4), С (-3;5;4)

3.5.5 Компланарные векторы – если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

3.5.6  Смешанное произведение.

3.6.1 Определение. Смешанным произведением (или векторно – скалярным) трёх векторов   (в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора ., т.е.  а∙(в×с). Обозначается: авс.

3.6.2 Признак компланарности : если авс=0, то векторы компланарны.   Если система а,в,с – правая, то авс>0, если левая – то  авс<0.

3.6.3 Геометрический смысл:  объём параллелепипеда, построенного на векторах – 𝕍=±а(в×с).

Например. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах   27.

4. Определитель третьего порядка (повторить)

Например. Вычислить определитель:  

4.1 Найти объём треугольной пирамиды АВСД, заданной координатами вершин: А (2;-1;1),

 В (5;5;4), С (3;2;-1), Д (4;1;3).  Решение:

5. Уравнения основных геометрических фигур и их взаимное расположение.

                                        Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали.                                Нормали.  

                                        Уравнение плоскости, проходящей через точку М        

                                        Или  Ax+By+Cz+D=0.

5.2 Особые случаи положения плоскости относительно системы координат.

5.2.1 Ax+By+Cz=0  - плоскость, проходит через начало координат.

5.2.2  Аx+By+D=0  - параллельна оси OZ? Ax+CZ +D=0 – параллельна оси ОУ,  By+Cz+D=0 – параллельна оси ОХ.

5.2.3 Параллельность плоскостям:   Ах+Д=0 – параллельна плоскости YOZ,  Ву+Д=0 – параллельна плоскости XOZ, Cz+D=0 – параллельна плоскости ХОУ. Уравнения х=0, у=0, z=0 – представляют соответственно плоскости YOZ, XOZ, XOY.

5.2.4 Взаимное расположение плоскостей.

А)плоскости

В) перпендикулярность плоскостей : если  скалярное произведение нормалей равно 0, или

  Например: 3x-2y-2z+7=0 и 2x+2y+z+4=0, 6-4-2=0, ⟹

В)Угол между плоскостями.

=0 и

Например: угол между плоскостями x-y+z+2=0 и x+y+z-3=0  равен 600или1200

, так как cosφ=± .

5.3 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

М0   (x0;y0;z0), M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)

                M1                                0

M0                        M(x;y;z)        Например: составить уравнение плоскости, проходящей

                        M2                через точки М0(1;2;3), М1(2;1;2), М2(3;3;1).  Ответ: x+z-4=0.

5.4 Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости.

М0(x0;y0;z0), M1(x1;y1;z1),   Ax+By+Cz+D=0

 , например, cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки М0(1;2;3) и М1(2;1;1) перпендикулярно плоскости 3x+4y+z-6=0.  Ответ: x-y+z-2=0.

5.5 Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно к двум плоскостям:

Например. М(1;3;2) и плоскости  x+2y+z-4=0, 2x+y+3z+5=0

5.6 Расстояние от точки до плоскости:

Например расстояние от точки М(3;9;1) до плоскости  x-2y+2z-3=0 равно :  

5.7  Уравнение прямой в пространстве: .

Например: найти направляющий вектор прямой .  

5.8 Угол между прямой и осями координат:

Например: найти углы, которые образует прямая

5.9.1 Угол между двумя прямыми – угол между их направляющими векторами.

5.9.2 Угол между прямой и плоскостью – угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой.

6. Уравнение сферы:  (x-x0)2+(y-y0)2+ (z-z0)2=R2.

7 Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой:

Литература.

1.А.В.Погорелов. Геометрия. 10 – 11 классы.

2.Б.Г.Зив. Дидактический материал по геометрии.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.

4. Т.Симакова. Основы аналитической геометрии.