Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. Площади плоских фигур.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) по теме

Задача В3

Найти площадь фигуры

Все задачи имеют один вопрос: Найти площадь какой-нибудь фигуры…

Отличие в другом – фигуры заданы по-разному:

либо на клетчатой бумаге:

либо в координатной плоскости:

Чтобы решить её, надо знать ФУНДАМЕНТ – площади основных фигур:

На самом деле, для В3 достаточно знать S прямоугольника и S треугольника (чаще прямоугольного). Остальные S очень редко используются.

Есть несколько способов найти S.

 Способ_1 (самый лучший и часто используемый)

1) достроить фигуру до прямоугольника или прямоугольного треугольника

2) Найти S1 полученной фигуры (прямоугольника или треугольника)

3) Найти S2 добавленных частей

4) Вычесть S1 – S2 = получим S нужной фигуры.

Пример: Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:
1) Достроим до квадрата:

2-3-4) Теперь 

Ответ: 17

Способ_1 замечательно подходит для фигур на клетчатой бумаге. Его можно использовать и для фигур на координатной плоскости.

 Способ_2 

1) ПО формуле – самый простой способ

Способ_2 используется тогда, когда чётко видно, что за фигура и легко найти величины для вычисления S.

Например, для ромба найти длины диагоналей и использовать формулу из Жёлтого фундамента.

Для круга найти радиус.

Для трапеции основания и высоту.

Для треугольника сторону и высоту к этой стороне и т.д.

Пример: Найдите площадь ромба, изображенного на рисунке.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Диагонали BD и АС найдем по теореме Пифагора из треугольников BED и AFC соответственно:
BD2 = BE2 + ED2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 16·2;   BD = 
AC2 = AF2 + FC2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 64·2;   AC = 

Ответ: 32

Ещё задача: Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с  

размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.). В ответе запишите 

Решение:
1) Найдем радиус окружности и посчитаем площадь всего круга по формуле 
В этой задаче сразу видно, что R = 3.

2)Теперь определим, какую часть круга составляет выделенный сегмент. Из рисунка видно, что четверть. Значит, его площадь равна 
Ответ: 2,25

И последний пример: Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.). В ответе запишите 

Решение:

1) Радиус вычислим по теореме Пифагора, как показано на рисунке.
(Выбрали точку на окружности, лежащую строго на границе клеток, и мысленно достроили прямоугольный треугольник.)
R2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 9·2

2) Выделенный сегмент можно разбить на две части. Одна часть составляет четверть круга, другая — половину четверти, то есть 1/8 круга.
Весь сегмент составит  круга.

Ответ: 6,75