Обучение учащихся 5-6 классов геометрии в рамках проектной деятельности.
материал по геометрии (5 класс) по теме

Обучение учащихся 5-6 классов геометрии в рамках проектной деятельности.

§ 1. Теоретико-методические основы метода проектов

 Урок геометрии - это прежде всего урок, развития личности ученика,  активного умственного роста,  формирования нравственных основ. Все большую популярность приобретает в последнее время «метод проектов». Многие ученые обращаются в своих исследованиях к этой теме : Касьяненко М.Д,                Обухов А.В., Насонкина Л.В., Баталина И.К, Игнатьев М.В., Гусев В.А. и многие другие.

 Задачу главы  можно определить как  изучение особенностей  проектной деятельности  учащихся на уроках математики в 5-6 классе,   психолого-педагогические основы проектирования,  представление  примеров конкретной реализации проектной деятельности школьников при изучении математики в 5-6 классе.

Проектная деятельность включает не только работу исследовательского характера, но и поиск, обработку данных по теоретической или практической проблеме, связанной с существующей реальностью. Такие проекты называются информационными и их способны выполнять все учащиеся.

Основные этапы метода проектов:

1.  Подготовительный этап: осознание проблемы и возможности её решения.  

2.     Исследовательский этап:  разбиение проекта на части; анализ

составляющих  частей.

3.     Реализация частей, составляющих  проект.

4.    Защита проекта.

 Учебный проекты бывают: индивидуальные, групповые, монопредметные  (по одному предмету), межпредметные; краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные; информационные, исследовательские, творческие, практико-ориентированные, ролевые.В практике чаще всего получаются смешанные типы проектов.

          Включение учащихся в создание учебных проектов дает им возможность осваивать новые способы человеческой деятельности. Возникают некоторые трудности при использовании метода проектов. Первая трудность - определение темы проекта, при выборе которой главным требованием является ее актуальность для учащихся и предполагаемая значимость результатов исследования учащихся. Метод проектов, в качестве дополнения к урокам, дает возможность расширить математический кругозор учащихся, подарить радость творчества детям.    

          На 1-м этапе -  учитель, совместно с учащимися, определяет цель и задачи проекта.

          На 2-м этапе - происходит  планирование работы по решению задач проекта.

          3-й этап – осуществление деятельности.  Учащиеся  самостоятельно проводят  поиск информации по теме,  знакомятся с разнообразной литературой в журналах, монографиях, в сети Интернет, отбирают, анализируют, систематизируют, обобщают  материал.  

        4-й этап - презентация проекта – как вариант  анализа проделанного,  самооценки и оценки со стороны, демонстрации результатов, а также возможности для школьников научиться четко и кратко изложить свои мысли, наглядно представить результаты своей работы.   Выполненное исследование должно воспитывать и расширять знания.

§ 2. Психолого-педагогические особенности метода проектов

Метод проектов, известный также как метод проблем, возник еще  в 1920 году в США. Учеными-методистами, как в зарубежной, так и в российской науке (Н. Видал, Р. Рибе, Д. Фрид-Буд, Т. Хатчинсон, И.А. Зимняя, Т.А. Сахарова, Е.С. Полат), метод проектов признан одной из наиболее эффективных учебных технологий для школы.

Важным достоинством метода является то, что он ориентирует самостоятельную  исследовательскую и творческую деятельность.

Метод проектов активизирует все стороны личности учащегося:  интеллектуальную и эмоциональную сферы,  индивидуальные особенности и влияет на развитие таких качеств характера, как целеустремленность, настойчивость, ответственность, коммуникативность, адаптивность, индивидуальность.

Научное мышление отличается  методом организации своей работы, ее упорядоченностью и целенаправленностью, возможностью проявить свои личностные качества. Возрастные предпосылки для развития научного мышления у подростка есть. Богатое                воображение подростков может оказывать уникальное влияние на познавательную деятельность, эмоционально-волевую сферу и саму личность

Данная форма деятельности является созвучной особенностям подросткового возраста и подростковой субкультуре, организационно способствуя разрешению ряда задач в развитии личности подростка.^[1] 

 Значимость метода проекта в образовательной деятельности состоит, прежде всего в том, что он пробуждает в детях их личную заинтересованность в приобретаемых знаниях, необходимость знаний для дальнейшей жизни и творчества. Для этого видимо важно, чтобы решаемая проектом проблема была близка к реальной жизни, знакома и важна для ребенка.

  Разработка проекта – это путь к саморазвитию личности через осознание собственных потребностей, через самореализацию в предметной деятельности.

§ 3 Вариант реализации обучения учащихся геометрии в рамках проектной деятельности.

Для проектной деятельности учащихся могут быть предложены разные темы.

Проект «Теорема Эйлера в практическом виде»                                                                                                                              

Теорема носит название Декарта-Эйлера. Эйлер нашел и проверил эту зависимость. За сто лет до Эйлера эта теорема была сформулирована Декартом, но не доказана. Теорема верна не только для правильных многогранников, но и для любых выпуклых и некоторых невыпуклых.

Знакомство с теоремой Эйлера проводилось по следующему плану:

Знакомство с многогранниками.

Взаимосвязь геометрических фигур и многогранников.

Графическое изображение многогранников.

Изготовление моделей многогранников.

Поиск закономерностей в конструкциях многогранников.

Нахождение площади поверхности некоторых многогранников.

Правильные многоугольники существуют с любым числом сторон, то правильных многогранников всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 и 20.

Признаки правильного многогранника: все  вершины, все  рёбра и все грани должны быть равноправны, все грани представляют собой правильные многоугольники. На протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм.

Правильный тетраэдр (рис. 1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.  

Рис.1                                             Рис. 2

Правильный октаэдр (рис. 2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.  

Рис. 3 

Правильный икосаэдр (рис. 3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.  

Рис. 4                                                  рис. 5

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.  

 Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Рассматривая изготовленные модели  многогранников, возникла мысль подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос:

 «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается. В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Замечаем следующую закономерность: сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 , т.е.

Г + В = Р + 2 

Эта особенность правильных многогранников была замечена Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752) и известна как формула Эйлера.  Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.^[2] 

Задачи на нахождение площади поверхности решались для куба, тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.

 Проект  « Геометрия вокруг нас»

Знакомство с геометрией, ознакомление с геометрическими фигурами, их свойствами наблюдением объектов окружающего мира.

Вокруг нас множество предметов,  которые по форме, конструкции напоминают или более того представляют собой знакомые геометрические фигуры, наблюдая окружающий мир мы знакомимся с геометрией.

Проблема. Геометрические фигуры в окружающей действительности. Вокруг нас множество геометрических фигур.

Цель. Знакомство с миром пространственной геометрии наблюдением окружающего мира, архитектурных сооружений района Академический.

Объект. Геометрические фигуры в окружающем мире: прямоугольники, окружности, параллельные прямые, круги, сферы, многогранники.

Предмет. Математика, 5 класс. Знакомство с предметом геометрия, посредством наблюдения и анализа окружающей действительности.

Задача. Увидеть геометрические фигуры и познакомиться с некоторыми их свойствами. Потребность в знании геометрии появилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов полученные из наблюдений и опытов. Из геометрии вышла наука, которая называется математикой.^[3]

Рабочая гипотеза. « Все вокруг - геометрия» М. Корбюзье.

Предполагаемая новизна.

Мы исследовали  и проанализировали присутствие  геометрических фигур в некоторых архитектурных сооружениях района Академический. Из проволоки, счетных палочек, деревянных реек изготовили различные многогранники: призмы (прямые и наклонные), пирамиды ( треугольные и четырехугольные, шестиугольные. В процессе работы заметили интересную закономерность для всех изготовленных  многогранников: сумма граней и вершин за вычетом ребер равна двум. В литературе мы нашли, что этот факт давно известен , как теорема Эйлера. И число два, в этом случае,  называют эйлеровой  характеристикой многогранника.

Этапы работы. Фотографирование архитектурных сооружений района Академический, изготовление моделей многогранников, работа с литературой, знакомство с  геометрическими терминами, теоремой  Эйлера для многогранников и  с историей возникновения и развития геометрии, решение  задач на нахождение площади поверхности многогранников, знакомство с теоремой Пифагора при решении практических задач.

Сроки выполнения. 1.09.10.-1.02.11.

Способы оценки.

Сообщение одноклассникам и преподавателям результаты  своей работы. В стихотворной форме представили рассказ о свойствах некоторых геометрических объектов.^[4] В процессе наблюдения окружающего мира возникли  вопросы и они требуют изучения свойств геометрических фигур.

       Проект  Теорема Пифагора 

1.Пифагор ученый древней Греции

2. История открытия теоремы

3. Простейшие доказательства теоремы

4.Применение для решения занимательных задач

          Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Он родился в 500 г до нашей эры и прожил 80 лет. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. Пифагор – это не имя, а прозвище, данное  ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

Знаменитая теорема Пифагора звучала так: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов построенных на его катетах.

Про картинку, иллюстрирующую эту теорему, сложена шутливая поговорка: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».

Теореме Пифагора можно дать равнозначную формулировку, применив понятие равносоставленных фигур.

- Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

-Чтобы сформулировать теорему Пифагора в современном изложении, давайте вспомним, как найти площадь квадрата? (сторону квадрата возвести в квадрат). Тогда площадь квадрата, построенного на гипотенузе – это …? (квадрат гипотенузы), а площади квадратов, построенных на катетах – это …? (квадраты катетов).

- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начертим прямоугольный треугольник, обозначим катеты и гипотенузу буквами а, b, с и запишем формулу, которую нам дает теорема Пифагора (с2 = а2+b2).

- Сейчас известно более трёхсот доказательств теоремы Пифагора. Эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве  храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении, написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки.

Различные способы наглядного представления справедливости теоремы Пифагора

        Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника.  Достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы (для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по 2 треугольника) Теорема доказана.

 Еще одно наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ!»

        Площадь серого квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей серых квадратов, построенных на катетах  ( Из двух одинаковых квадратов вычитаем по 4 площади одинаковых треугольников). Теорема Пифагора используется при решении многих занимательных задач. ( См. задачи сборника)

Список используемой литературы

1. Ресурсы интернет, ru.wikipedia.org

2. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении / А.М. Матюшкин. - М., - 1972. - 324 с.

3. Болтянский В.Г., Яглом И.М., Энциклопедия элементарной математики. Геометрия. 4 том, М., 1963 г.

4. Автор-составитель О.В.Панишева, «Математика в стихах», Волгоград,2009.

5. Шарыгин И.Ф. Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5-6 классы, Дрофа, М., 2010 с. 22-25.