Конспект урока по геометрии в 9 классе на тему:"Площадь трапеции"
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

Конспект урока по геометрии в 9 классе

по теме «Площадь   трапеции»

Учителя математики  МОУ «СОШ c. Большая Осиновка»

Фоминой Екатерины Александровны

I.Образовательные цели урока:

1.Ввести формулу площади трапеции;

2.Закрепить навыки её использования с помощью задач;

II .Развивающие цели урока :

 3.Развитие у детей умения обобщать, логически мыслить, применять в своих рассуждениях аналогию, наблюдение ,рационально применять свои знания;

III.Воспитательные цели урока:

4.Воспитание интереса к математике  с помощью элементов занимательности ,

знакомства с историей   возникновения понятия «площадь»

     Наглядные пособия к уроку:  демонстрационная таблица «Площадь трапеции», мел, циркуль , линейка, раздаточные карточки, слайды из презентации  к  уроку.

Содержание урока:

1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Проверка домашнего задания проводится с помощью самостоятельной работы, содержащей задачи , подобные заданным на дом. Взаимопроверка по «ключу».

                                            1 вариант

1.В треугольнике АВС АВ=5см; АС=10см;<А=45°Найдите площадь треугольника АВС.

          А)50см2     ;     б)  25см2 ;                 в)2         

2.В треугольнике АВС  а=13см; в=14см ;с=15см. Найдите площадь треугольника АВС.

         А)42см2 ;             б)162 см2 ;                      в)84см2 .

3.Найдите в прямоугольном треугольнике (

           А)4,2см ;             б)2,4 см ;                      в)1,2см

                                             2 вариант

1.В треугольнике АВС АВ=10см; АС=12см;<А=60°Найдите площадь треугольника АВС.

          А)120см2     ;     б)  30см2 ;                 в) 30см 2         

2.В треугольнике АВС  а=51см; в=52см ;с=53см. Найдите площадь треугольника АВС.

         А)234 см2 ;             б)1170 см2 ;                      в)90см2 .

3.Найдите в прямоугольном треугольнике (

           А)9,6см ;             б)4,8 см ;                      в)2,4см

       Ответы :

II .ИЗУЧЕНИЕ  НОВОГО   МАТЕРИАЛА.

Актуализация опорных знаний.

Вопросы классу:1. Дайте определение трапеции;

                             2.В чём заключается свойство средней линии трапеции ?;

                             3.Что называют высотой трапеции?

Проблемная ситуация: Найдите площадь трапеции ,представленной на рисунке:

 Возможное  предложение  решения №1:

№2:  

Возможные предложения детей:1.S =S+SАКМВ+SВМД (найти не представляется возможным)

2.SАВДС =SАВС +SСВД= 6•7•  +6•5• = •6.

Затем появляется у учащихся в тетрадях запись темы урока: « Площадь трапеции»

Теорема доказывается в соответствии с материалом учебника (площадь трапеции выражается через  сумму площадей  треугольников, аналогично способу, предложенному в задаче)

Можно показать ещё один способ:

В данном случае площадь трапеции разбивается на сумму площадей параллелограмма и треугольника  с  общей высотой

 SАВСД = SАВR+SDRВС =

=(b-a)∙h +a·h =(  bh-ah ) + a h =

=· h

Ш.ЗАКРЕПЛЕНИЕ  ИЗУЧЕННОГО:

1.В трапеции АВСД (ВС║АД) ВС=10см ;АД= 2дм; Высота5см.Найдите площадь трапеции.

( Решают устно по готовому чертежу:  Sтрап. =h = =75см2)

2.Средняя линия трапеции равна 10 см , а высота 5см. Найдите площадь трапеции.

( Решение на доске: Sтрап. =h = 10∙5= 50см2

3.Решение задач по готовым чертежам: (решают устно в парах , записи проводят  на черновиках)

1.

2.

3.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

1.Sтрап. =(10+6)∙4: 2 = 32(ед2)( высота равна половине гипотенузы из прямоугольного треугольника с углом 30)

2.найдём сначала высоту: противолежащий катет равен произведению гипотенузы и синуса угла в 45, т.е.4·=2, Sтрап.=(5+4)∙: 2=5(ед2)

3.Найдём высоту по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника  h =

=; Sтрап.=(8+14) : 2·4=44(ед2)

IV.Об истории понятия площади.(Сообщение делают ученики)

1.«Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Первоначальные геометрические знания были получены опытным путём. А получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений – доказательств началось с древнегреческого учёного Фалеса (6 век до нашей эры). Он установил свойства равнобедренного треугольника, свойства вертикальных углов, угла, опирающегося на диаметр окружности и т. д. Пифагор, соотечественник Фалеса и живший с ним  в одном и том же веке, доказал знаменитое свойство  гипотенузы прямоугольного треугольника.

В 4 веке до н.э. жили и создавали геометрическую науку Евдокс   и Теэтет.В 3 веке до н.э. древнегреческий учёный Евклид написал знаменитую книгу «Начала». В этой книге Евклид систематизировал накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написан этот труд  был настолько замечательно , что в течение 2000 лет по всему миру преподавание велось либо по переводам , либо по незначительно  переработанным книгам Евклида.

О самом ученом сохранились очень скудные  сведения. До наших времён дошли  лишь сведения о том, что он преподавал в Александрии , столице царя Птолемея, который царствовал с 306 по 283 год до н.э.

Формулы  для вычисления площадей земельных участков, имеющих формы прямоугольников, треугольников , трапеций приведены в клинописных таблицах Древнего Вавилона , относящихся к 2000 году до н.э.. И , если вести хотя бы приближённый учёт времени возникновения понятия площади , то получится более 4000 лет.

2.Об измерении площадей  в России.

Рукописи, дошедшие до нас из глубины веков, говорят о том , что уровень знаний науки «геометрии» на Руси  до начала 16 века был невысок.

Так известно , что в 1551 году царь Иван IV решил  впервые послать «смерить государство».Вероятно было известно по каким правилам надо было проводить измерения земельных угодий государства Российского и имелись люди , знающие геометрию. Но, первая книга , где излагаются правила измерения площадей , была книга «сошного письма», относящаяся к 1629 году. В те  далёкие времена также , как и мы в настоящее время ,измеряемые участки сложной формы разбивали на более простые- на треугольники , прямоугольники, квадраты , трапеции. Площадь прямоугольника , квадрата измеряли верно, а вот площади  треугольника , трапеции вычисляли с ошибками. Так , площадь треугольника измеряли как половину от произведения меньшей стороны на большую, а площадь равнобедренной трапеции принималась равной произведению  полусуммы  оснований на длину боковой стороны.

В Старинных русских рукописях содержатся ошибки в способах измерения площадей, также там утверждалось , что фигуры с равными периметрами замыкают равные площади, что тоже неверно. А  может быть в рукописях допущены ошибки переписчиками?.

И всё же трудно верить в невысокий уровень знаний геометрии на Руси, когда в 1553-1560 годах при  Иване Грозном  выстроен собор Василия Блаженного «мастерами каменных дел Посником , Яковлевым и  Бармой.  Невозможно представить себе , что создание такого архитектурного шедевра могло обойтись без широких геометрических знаний.

Конечно, трудно  поверить , но до конца XVвека в России математические книги были запрещены  как   «богомерзостные» .

И только в 1701 году Пётр  I основал в Москве школу «Математических и навигатских наук» , где впервые были введены арифметика , алгебра , геометрия и тригонометрия, и вскоре были переведены на русский язык и изданы «начала» Евклида под редакцией  англичанина Форварсьна.

V.Формула Герона для  равнобедренной трапеции.(  сообщение делает либо учитель , либо хорошо подготовленный ученик)

Для треугольника справедлива  формула Герона:

S=, где p –полупериметр треугольника, a,b,с – стороны треугольника. Интересна попытка индийского учёного Брамагупты  (595-660г.г.)получить подобную формулу для измерения площади четырёхугольника. Если мы обозначим площадь четырёхугольника через S, p-  его полупериметр ,a, b.с- стороны,то S трап.=  

Формула Брамагупты верна для прямоугольника . Тогда  как b=d,a=c, то  получим  

S=2 =(p-a) (p-b), но p-a=b,p-b=a, следовательно S=a.

Формула  Брамагупты остаётся верной и для  равнобокой трапеции:

 В  самом  деле :S=так как a=c, то S==(p-a).

Доказательство: S=(p-a) ==

=(p-a). По условию боковые стороны равны , следовательно , имеем из прямоугольного треугольника h=, а это означает , что S=(p-a)=== 

V.Практическая работа(выполняется  в парах)

1. В тетради соседа по парте начертить трапецию, обменять тетради.

2.Выполнить необходимые измерения  и   по формуле найти площадь трапеции,

3. Выполнить взаимопроверку в парах.

4.По заранее заготовленным учителем моделям   трапеции  выполнить необходимые измерения  и вычислить её площадь.

VI.Работа с учебником

Решение задач : №40 и №39

№40 Решение задачи полностью приведено в учебнике на странице221.

Решить её  удоски.

№39.(решение выполняется учащимся у доски)

Дано: АВСД-   равнобокая   трапеция , АД= 44см, СД=17см,АС=39см, АС-диагональ

  Найти: SABCD

                                  Решение:

SABCD=

Высоту CF найдём из площади треугольника АСД, SACD===330см2

h=CF===15см2  

По условию трапеция равнобедренная ВС=АС-2FD=44-2=28см.

 FDнайдём из прямоугольного треугольникаCFD: FD==

SABCD==

Можно предложить вторым способом по формуле Брахмагупта: p=,S==

=36=540cм2

VII.Подведение итога урока:

1.Как находится площадь трапеции?

2.Можно ли её применить для площади параллелограмма, для площади треугольника, для площади квадрата?

VIII.Домашнее задание:

Задачи  №37, №38  , п.126.

IX.Математический софизм :64=65!