Площадь многоугольника
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

ГЕОМЕТРИЯ, 8 класс

МАЛИКОВА ОЛЬГА ГЕОРГИЕВНА

МБОУ гимназия № 19 им.Н.З.Поповичевой г.Липецка

УМК Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010

Тема урока: «Площадь многоугольника»

Цели урока: 

1) Дидактические: сформировать у учащихся понятие площади многоугольника;

                                 рассмотреть свойства площади и закрепить их в ходе решения задач.

2) Развивающая: продолжить развитие логического мышления и мировоззрения

                              учащихся.

3) Воспитательная: продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к

                                    геометрии.

На уроке используются: мультимедийная установка, карточки для учащихся.

Ход урока:

1. Организационный момент.

             - Здравствуйте, ребята! Тему сегодняшнего урока вы сформулируете сами.

2. Актуализация знаний.

             - Для этого выполните следующие задания (раздаются карточки). Назовите букву, стоящую в скобках, соответствующую истинному высказыванию (буквы записать на доске).

I карточка. Ромб – это четырёхугольник, у которого…

                   - диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам (Б)

                   - диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся

                     пополам (Л)

                   - противоположные углы равны и противоположные стороны параллельны (У)

II карточка. Параллелограмм, это четырёхугольник, у которого…

                     - углы равны (Р)

                     - стороны равны (З)

                     - противолежащие стороны параллельны (Ь)

III карточка. Квадрат – это…

                      - параллелограмм с равными сторонами (Я)

                      - параллелограмм, у которого все углы прямые (Н)

                      - прямоугольник, у которого все стороны равны (О)

IV карточка. Любой ромб является…

                      - квадратом (Ю)

                      - прямоугольником (Е)

                      - параллелограммом (А)

V карточка. Диагонали равны у …

                     - трапеции (С)

                     - прямоугольника (Щ)

                     - ромба (Х)

VI карточка. Любой прямоугольник является …

                      - ромбом (В)

                      - квадратом (И)

                      - параллелограммом (П)

VII карточка. Диагонали пересекаются под прямым углом у …

                        - параллелограмма (Т)

                        - квадрата (Д)

                        - прямоугольника (У)  

             - Из записанных слов составьте слово. (Площадь)

             - Что вы понимаете под словом «площадь»? (Учащиеся приводят различные примеры)

             - Какое из значении площади используется в геометрии? (Площадь – это величина той части плоскости, которую занимает фигура) 

             В своей практической деятельности человек часто имеет дело с площадями:

чтобы найти урожайность, надо знать площадь поля; о площади, занимаемой каким-либо государством, вы узнаёте из курса географии;

площадь опоры и площадь поперечного сечения проводника вы должны уметь находить, решая задачи по физике.

             (слайд 1) – Как одним словом назвать фигуры изображённые на экране? (Многоугольники)  

             - Площади каких фигур вы умеете вычислять? (Прямоугольника, квадрата)   

             - Чему равна площадь прямоугольника, квадрата? (S = аb, S = а2)

             - Умеем ли мы вычислять площадь параллелограмма, ромба, трапеции? (Нет) 

             - Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока. (Площадь многоугольника)

             (слайд 2) Итак, запишите в тетради тему нашего урока. На последующих уроках геометрии мы выведем формулы для различных многоугольников.

III. Немного истории.

            (слайд 3) Понятие площади и в науке и на практике использовалось с незапамятных времён.

              Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которой имеют длины a,b,c,d, можно вычислять по формуле (т.е. полусумму длин противоположных сторон умножить на полусумму двух других сторон). Эта формула верна только для прямоугольников. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанной формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников.

IV. Изучение нового.

             - Вспомните, в чём измеряется площадь? (мм2, см2, м2, га, а)

             - Что означает 1 см2? (Квадрат со стороной 1 см) (слайд 4)

             При выбранной единице измерение площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

             (слайд 5) – Найдите  площадь многоугольника АВСD, взяв за единицу измерения закрашенный квадрат. (20 кв. ед.)

             Вычислять площадь многоугольника таким способом не всегда удобно, поэтому и нужны формулы для вычисления площадей. Вывод этих формул основан на свойствах площадей. Итак, рассмотрим свойства площадей.

             (слайд 6) – Какие фигуры называются равными? (Фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются)

              - Если многоугольники F1 и F2 равны, то, что можно сказать об их площадях? (Площади равны) Ответ объясните. (Площади равны, т.к. в равных фигурах единица измерения укладывается одинаковое число раз)

              - Сформулируйте первое свойство площадей. (Равные многоугольники имеют равные площади)

             (слайд 7) – Если многоугольник разбит на несколько частей, как можно найти его площадь? (Площадь равна сумме площадей его частей)

             - Сформулируйте второе свойство площадей. (Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников)

             (слайд 8) – Чему равна площадь квадрата со стороной а? (Sкв = а2)

             - Сформулируйте третье свойство. (Площадь квадрата равна квадрату его стороны)

             (слайд 9) – Итак, повторим ещё раз свойства площадей.

V. Закрепление.

             Аристотель говорил: «Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на деле».

             Примените полученные знания для решения следующих задач. (слайд 10)

             № 1 – 3 - решить устно, называя используемые в задаче свойства площадей.

             № 447 из учебника решить в тетради и 1 человек на доске.

       А                            В                           Дано: АВСD – параллелограмм,

                                   Е                                         D – С – М, DС = СМ.

                                                                    Доказать: SАВСD = SАМD.

D                                                     М        

                           С

Доказательство.

ВС АМ = Е. Рассмотрим ∆АВЕ и ∆МСЕ:

1) АВ = СМ (т.к. ДС = АВ по свойству параллелограмма)           

2) АВЕ = ЕСМ (накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DМ и секущей ВС)

3) ВАЕ = СМЕ (накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DМ и секущей АМ), ∆АВЕ = ∆МСЕ (по стороне и двум прилежащим углам).

SАВСD = SАВЕ + SАЕСD = SЕСМ + SАЕСD = SАМD. Ч.т.д.

             (слайд 11) Задачи № 4, 5 выполнить самостоятельно. (В конце урока тетради сдать на проверку)

IV. Итог урока. (слайд 12)

             Итак, на сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие площади.

             - Что нового вы узнали?

             - Что повторили?

             - Чью работу вы можете оценить?

             - Оцените свою работу. Выставите фигурку, которая покажет уровень понимания, того чем мы занимались на сегодняшнем уроке. Начертите отрезок, на одном конце 0 (ничего не понятно) на другом 1 (всё понятно).

           0                                                 1

Домашнее задание: п. 48, 49*( самостоятельно, для желающих),

                                     № 448, 449(а,б), 450 (а,б)

Для желающих: доказать, что египетская формула  верна для прямоугольника.                          b 

                                    а                                       с

                                                       d