Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого гоударственного экзамена по математике
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Творческое объединение учителей математики г.Улан-Удэ

Байкальский образовательный центр «Эврика»

                                                             Г.М.Конева

Математика

Использование метода координат в пространстве

для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Улан-Удэ

Бэлиг

2013

Содержание

I. Введение…………………………………………………………………

II. Основная часть

1. Нахождение угла между прямыми……….
2. Нахождение угла между прямой и плоскостью………………
3. Нахождение угла между двумя плоскостями…………………
4. Нахождение расстояния от точки до плоскости……………..

III. Заключение…………………………………………………………..

IV.Список использованной литературы

                                           I.Введение

Существует два способа решения задач С-2 ЕГЭ по математике.

Первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ  требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к  планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение.

Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Целью данного методического пособия  является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса.
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные  задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).
В рамках  данного пособия рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.

                                           II.Основная часть

1. Ключевые задачи

Применение метода координат даёт нам возможность для решения следующих задач:

1)Нахождение расстояния d между двумя точками A(x1; y1; z1) и  B(x2; y2; z2),

 заданными своими координатами:

2)Нахождение координат середины С(x; y; z) отрезка АВ, где    A(x1; y1; z1),  B(x2; y2; z2): ,      ,    

3) Нахождение угла между двумя векторами, заданными своими координатами:

где .

4)Нахождение угла между прямой l и плоскостью α:

 или в координатах , где

 - вектор нормали к плоскости α,

 - направляющий вектор прямой l

5)Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты :

 или

6)Нахождение расстояния от произвольной точки М0(х0, у0, z0)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0:

2.Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

1. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
2. 0˚<(a,α)<90˚.

Для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы  и  параллельны соотвественно этим прямым, используют формулу:  или в координатной форме .

В частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы  или .

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  AB=2, AD=4, AA1=3. Точка Е- середина ребра А1В1 . Найдите угол между прямыми ВС1 и АЕ

Решение: Пусть точка В(0;0;0)-начало координат. Тогда  С1(0;4;0), А(3;0;0), Е(1,5;0;3). Найдем координаты векторов           и   .

По формуле:    находим

.

3.Нахождение угла между прямой и плоскостью

1. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
2. 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле  или в координатах , где  - вектор нормали к плоскости α,  - направляющий векор прямой l;

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).

Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=, c=-d. Таким образом, уравнение примет вид  или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n  к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора  

Найдем угол между вектором  и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

4.Нахождение угла между двумя плоскостями

1. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
2. Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
3. Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
4. Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между  двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям  по формуле или в координатной форме , где  - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,    - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0),  F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (AE), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.

Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.

Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1

Составим уравнение плоскости (CF), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.

Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z – 3 = 0.   Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:       

.

Значит, угол между плоскостями равен 60̊.  Ответ: 60̊.  

5.Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

        Расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле , где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0.

Пример 1.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC).

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим уравнение плоскости (SBC), используя координаты точек В(2;2;0), С(0;2;0), S(1;1;4) и решив систему уравнений:

a∙2+b∙2+c∙0+d = 0

a∙0 +b∙2 +c∙0+d = 0

a∙1 +b∙1 +c∙4+d = 0.

Получим, что d= -2∙ b, a=0, c =  . Таким образом, уравнение плоскости примет вид:

0∙х +4∙у + z - 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d=- 8.

Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты:

А(2;0;0).  Значит, =2, = 0,  =0.  По формуле нахождения расстояния от точки до плоскости имеем:

Ответ: .