Презентация по теме "Вписанные и описанные многоугольники"
презентация к уроку по геометрии (11 класс) по теме

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.
Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180о.
Вписанные многоугольники Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник
Теорема 3. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.
Описанные многоугольники Теорема 5. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Теорема 7. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.
Теорема 6. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.
Вписанные и описанные треугольники Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Ответ: 1.
Упражнение 1 Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 2.
Упражнение 2 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. 
Ответ: 5.
Упражнение 3 Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.
Ответ: 20.
Упражнение 4 Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.
Ответ: 30о.
Упражнение 5 Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 1.
Упражнение 6 Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6.
Ответ: 12.
Упражнение 7 Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
Ответ: 1.
Упражнение 8 Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности. 
Ответ: 5.
Упражнение 9 Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата.
Ответ: 2.
Упражнение 10 Сторона ромба равна 4, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности. 
Ответ: 1.
Упражнение 11 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 
Ответ: 3.
Упражнение 12 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции.
Ответ: 5.
Упражнение 13 Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100о. Найдите угол C. 
Ответ: 80о.
Упражнение 14 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите больший из оставшихся углов.
Ответ: 120о.
Упражнение 15 В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника.
Ответ: 56.
Упражнение 16 Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон.
Ответ: 6.
Упражнение 17 В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
Ответ: 16.
Упражнение 18 Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5?
Ответ: 5.
Упражнение 19 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
Ответ: 3.
Упражнение 20 Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C.
Ответ: 45о.
Упражнение 21 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 4.
Упражнение 22 Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 2.
Упражнение 23 Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C.
Ответ: 150о.
Упражнение 24 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 25.
Упражнение 25 В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 2.
Упражнение 26 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 3.
Упражнение 27 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.
Упражнение 28 Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150о.
Ответ: 10.
Упражнение 29 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию. 
Ответ: 9.
Упражнение 30 В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен 75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов. 
Ответ: 15о.
Упражнение 31 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60о, большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.
Упражнение 32 Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. 
Ответ: 90о.
Упражнение 33 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. 
Ответ: 5.
Упражнение 34 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности.
Ответ: 2.
Упражнение 35 Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24.
Ответ: 9.
Упражнение 36 Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n.
Ответ: 10.
Упражнение 37 Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Ответ: 3.
Упражнение 38 Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника.
Ответ: 2.
Упражнение 39 К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника.
Ответ: 12.
Упражнение 40 В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.
Упражнение 41 В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10.
Ответ: 34.
Упражнение 42 Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 70о. Найдите угол D.
Ответ: 110о.
Упражнение 43 Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 72.
Упражнение 44 Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 12.
Упражнение 45 Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону.
Ответ: 7.
Упражнение 46 Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности. 
Ответ: 2.
Упражнение 47 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ: 5.
Упражнение 48 Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции.
Ответ: 14.
Упражнение 49 Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n.
Ответ: 9.
Упражнение 50